9 Variables aléatoires

Variables aléatoires

algebra

Activité d’introduction 1. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie et on note les côtés apparus : Pile ( $P$ ) ou Face ( $F$ ).
L’ensemble des issues est:
$Ω = {(P, P); (F, F); (F, P); (P, F)}$ .
On convient du jeu suivant: on gagne $5 F$ chaque fois que sort Pile et on perd $2 F$ chaque fois sort Face.
Par exemple à l’issue $(F, P)$ on perd 2F et gagne 5F donc le gain résultant est $- 2 + 5 = 3$ F.

On note par G un gain possible pour un joueur. Donner toutes les valeurs $x$ de G.
Justifier que G est une application et préciser son ensemble de départ et d’arrivée.
Pour chacune des valeurs $x$ de G, calculer la probabilité de gagner $x$ francs ?
On notera cette probabilité par $P (G = x)$ .
Vérifier que la somme des probabilités trouvées est égale à 1.

Définition 2. $Ω$ est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire sur $Ω$ est une fonction qui, à chaque issue de $Ω$ , associe un nombre réel.

Notation 3. Une variable aléatoire est généralement notée $X$ , $Y$ , $Z$ $\dots$
Lorsque $x$ désigne un nombre réel, dire << $X$ prend la valeur $x$ >> est un événement, il est noté $(X = x)$ .
$(X < x)$ désigne l’événement << $X$ prend une valeur strictement inférieure à $x$ >>
$(X \geq x)$ désigne l’événement << $X$ prend au moins une fois la valeur $x$ >> , c’est le contraire de l’événement précédent.

Exemple 4. On reprend l’exercice de l’activité.
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie et on note les côtés apparus : $P$ ou $F$ .
L’ensemble des issues est:
$Ω = {(P, P); (F, F); (F, P); (P, F)}$ .
On gagne $5 F$ chaque fois que sort Pile et on perd $2 F$ chaque fois sort Face. On définit ainsi une variable aléatoire $X$ sur $Ω$ qui prend les valeurs ; $- 4$ ; $3$ et $10$ .
L’événement $(X = 3)$ est réalisé par les issues $(F, P)$ et $(P, F)$

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition 5. Une loi de probabilité est définie sur un ensemble $Ω$ d’issues.
$X$ est une variable aléatoire définie sur $Ω$ et $E = {x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ est l’ensemble des valeurs prises par $X .$
Lorsqu’on associe à chaque valeur $x_{i}$ , la probabilité de l’événement $(X = x_{i})$ , on définit une loi de probabilité sur $E .$
Cette loi est appelée loi de probabilité de variable aléatoire $X$ .

Remarque 6. On présente souvent la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète $X$ à l’aide d’un tableau.

Valeurs de $X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$P (X = x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{n}$

On a: $P (X = x_{1}) + P (X = x_{2}) + \dots + P (X = x_{n}) = p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = k = 1 \sum n p_{k} = 1$

Exemple 7. On reprend l’exemple de l’activité d’introduction.

La probabilité de l’événement $(X = - 4)$ est la probabilité de l’issue $(F, F)$ c’est-à-dire $P (X = - 4) = \frac{1}{4}$
La probabilité de l’événement $(X = 3)$ est la somme des probabilités des issues $(P, F)$ et $(F, P)$ c’est-à-dire $P (X = 3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .
La probabilité de l’événement $(X = 10)$ est la probabilité de l’issue $(P, P)$ c’est-à-dire $P (X = 10) = \frac{1}{4}$
La loi de la variable aléatoire $X$ est résumée dans le tableau ci-dessous.

$x_{i}$	$- 4$	$3$	$10$
$P (X = x_{i})$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Fonction de répartition

Définition 8. Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $Ω$ muni d’une probabilité P.
La fonction de répartition de $X$ est l’application $F$ de $R$ vers $[0, 1]$ définie par: $F (x) = P (X \leq x)$

Exemple 9. Reprenons l’exemple de l’activité.
$F$ est définie par: $⎩ ⎨ ⎧ F (x) = 0, si x < - 4 F (x) = \frac{1}{4}, si - 4 \leq x < 3 F (x) = \frac{3}{4}, si 3 \leq x < 10 F (x) = 1, si 10 \leq x$

$tikzpicture-1$

Remarque 10.

$F$ est une fonction croissante en escalier.
La représentation graphique de F correspond en statistiques à la courbe des fréquences cumulées croissantes.

Paramètres d’une variable aléatoire

Espérance, variance et écart-type

Définition 11. Une loi de probabilité est définie sur un ensemble $Ω$ d’issues.
$X$ est une variable aléatoire définie sur $Ω$ dont la loi de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous.

Valeurs de $X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$P (X = x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\dots$	$p_{n}$

L’espérance de la variable aléatoire $X$ est le nombre réel, noté E $(X)$ défini par : $E (X) = p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{n} x_{n} = k = 1 \sum n p_{k} x_{k}$
La variance de la variable aléatoire $X$ est le nombre réel positif , noté V $(X)$ défini par : $V (X) = p_{1} (x_{1} - E (X))^{2} + p_{2} (x_{2} - E (X))^{2} + \dots + p_{n} (x_{n} - E (X))^{2} = k = 1 \sum n p_{k} (x_{k} - E (X))^{2}$
L’écart-type de la variable aléatoire $X$ est le nombre réel positif , noté $σ (X)$ défini par : $σ (X) = V (X) .$

Exemple 12. On reprend l’exemple de la variable aléatoire $X$ précédent.
$E (X) = \frac{1}{4} (- 4) + \frac{1}{2} \times 3 + \frac{1}{4} \times 10 = 3$ francs. $E (X) = 3$ francs signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu , un joueur peut espérer gagner $3$ francs en moyenne.
$V (X) = \frac{1}{4} (- 4 - 3)^{2} + \frac{1}{2} (3 - 3)^{2} + \frac{1}{4} (10 - 3)^{2} = \frac{49}{2}$ et $σ (X) = \frac{7 2}{2}$ .

Remarque 13.

L’espérance mathématique correspond, en statistiques, à la moyenne.
L’espérance et l’écart-type sont exprimés dans la même unité que les valeurs $x_{i}$ prises par $X$
Un jeu est dit équitable lorsque $E (X) = 0.$

Propriété 14. Soit $X$ une variable aléatoire. On a $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$

Démonstration
On a V(X) $= k = 1 \sum n p_{k} (x_{k} - E (X))^{2} = k = 1 \sum n p_{k} x_{k}^{2} - 2 E (X) k = 1 \sum n p_{k} x_{k} + (E (X))^{2} k = 1 \sum n p_{k}$
Or $k = 1 \sum n p_{k} x_{k} = E (X)$ , $k = 1 \sum n p_{k} = 1$ et $k = 1 \sum n p_{k} x_{k}^{2} = E (X^{2})$
V(X) $= E (X^{2}) - 2 \times E (X) \times E (X) + (E (X))^{2} = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$

Propriété 15 (Admise). $X$ est une variable aléatoire. Pour tous nombres réels $a$ et $b$ . $E (a X + b) = a E (X) + b et V (a X + b) = a^{2} V (X)$