9 Variables aléatoires

Variables aléatoires

algebra

Activité d’introduction 1. On lance deux fois de suite une pièce de monnaie et on note les côtés apparus : Pile ( ) ou Face ().
L’ensemble des issues est:
.
On convient du jeu suivant: on gagne chaque fois que sort Pile et on perd chaque fois sort Face.
Par exemple à l’issue on perd 2F et gagne 5F donc le gain résultant est F.

  1. On note par G un gain possible pour un joueur. Donner toutes les valeurs de G.

  2. Justifier que G est une application et préciser son ensemble de départ et d’arrivée.

  3. Pour chacune des valeurs de G, calculer la probabilité de gagner francs ?
    On notera cette probabilité par .

  4. Vérifier que la somme des probabilités trouvées est égale à 1.

Définition 2. est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire sur est une fonction qui, à chaque issue de , associe un nombre réel.

Notation 3. Une variable aléatoire est généralement notée , ,
Lorsque désigne un nombre réel, dire << prend la valeur >> est un événement, il est noté .
désigne l’événement << prend une valeur strictement inférieure à >>
désigne l’événement << prend au moins une fois la valeur >> , c’est le contraire de l’événement précédent.

Exemple 4. On reprend l’exercice de l’activité.
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie et on note les côtés apparus : ou .
L’ensemble des issues est:
.
On gagne chaque fois que sort Pile et on perd chaque fois sort Face. On définit ainsi une variable aléatoire sur qui prend les valeurs ; ; et .
L’événement est réalisé par les issues et

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition 5. Une loi de probabilité est définie sur un ensemble d’issues.
est une variable aléatoire définie sur et est l’ensemble des valeurs prises par
Lorsqu’on associe à chaque valeur , la probabilité de l’événement , on définit une loi de probabilité sur
Cette loi est appelée loi de probabilité de variable aléatoire .

Remarque 6. On présente souvent la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète à l’aide d’un tableau.

Valeurs de

On a:

Exemple 7. On reprend l’exemple de l’activité d’introduction.

La probabilité de l’événement est la probabilité de l’issue c’est-à-dire
La probabilité de l’événement est la somme des probabilités des issues et c’est-à-dire .
La probabilité de l’événement est la probabilité de l’issue c’est-à-dire
La loi de la variable aléatoire est résumée dans le tableau ci-dessous.

Fonction de répartition

Définition 8. Soit une variable aléatoire définie sur un univers muni d’une probabilité P.
La fonction de répartition de est l’application de vers définie par:

Exemple 9. Reprenons l’exemple de l’activité.
est définie par:

tikzpicture-1

Remarque 10.

  • est une fonction croissante en escalier.

  • La représentation graphique de F correspond en statistiques à la courbe des fréquences cumulées croissantes.

Paramètres d’une variable aléatoire

Espérance, variance et écart-type

Définition 11. Une loi de probabilité est définie sur un ensemble d’issues.
est une variable aléatoire définie sur dont la loi de probabilité est résumée dans le tableau ci-dessous.

Valeurs de
  • L’espérance de la variable aléatoire est le nombre réel, noté E défini par :

  • La variance de la variable aléatoire est le nombre réel positif , noté V défini par :

  • L’écart-type de la variable aléatoire est le nombre réel positif , noté défini par :

Exemple 12. On reprend l’exemple de la variable aléatoire précédent.
francs. francs signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu , un joueur peut espérer gagner francs en moyenne.
et .

Remarque 13.

  • L’espérance mathématique correspond, en statistiques, à la moyenne.

  • L’espérance et l’écart-type sont exprimés dans la même unité que les valeurs prises par

  • Un jeu est dit équitable lorsque

Propriété 14. Soit une variable aléatoire. On a

Démonstration
On a V(X)
Or , et
V(X)

Propriété 15 (Admise). est une variable aléatoire. Pour tous nombres réels et .