9 Variables aléatoires
Variables aléatoires
algebra
Activité d’introduction 1. On lance deux fois de
suite une pièce de monnaie et on note les côtés apparus : Pile ( ) ou Face ().
L’ensemble des issues est:
.
On convient du jeu suivant: on gagne chaque fois
que sort Pile et on perd chaque fois sort
Face.
Par exemple à l’issue on perd 2F et gagne 5F
donc le gain résultant est F.
On note par G un gain possible pour un joueur. Donner toutes les valeurs de G.
Justifier que G est une application et préciser son ensemble de départ et d’arrivée.
Pour chacune des valeurs de G, calculer la probabilité de gagner francs ?
On notera cette probabilité par .Vérifier que la somme des probabilités trouvées est égale à 1.
Définition 2. est
l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire sur
est une fonction qui, à chaque issue de ,
associe un nombre réel.
Notation 3. Une variable aléatoire est généralement
notée , ,
Lorsque désigne un nombre réel, dire << prend la valeur >> est un
événement, il est noté .
désigne l’événement << prend une valeur strictement inférieure à >>
désigne l’événement << prend au moins une fois la valeur >> , c’est le contraire de l’événement
précédent.
Exemple 4. On reprend l’exercice de
l’activité.
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie et on note les côtés
apparus : ou .
L’ensemble des issues est:
.
On gagne chaque fois que sort Pile et on perd chaque fois sort Face. On définit ainsi une variable
aléatoire sur qui prend
les valeurs ; ; et .
L’événement est réalisé par les issues et
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 5. Une loi de probabilité est définie sur
un ensemble d’issues.
est une variable aléatoire définie sur et est l’ensemble des valeurs prises par
Lorsqu’on associe à chaque valeur , la
probabilité de l’événement , on définit une
loi de probabilité sur
Cette loi est appelée loi de probabilité de variable aléatoire
.
Remarque 6. On présente souvent la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète à l’aide d’un tableau.
Valeurs de | ||||
---|---|---|---|---|
On a:
Exemple 7. On reprend l’exemple de l’activité d’introduction.
La probabilité de l’événement est la
probabilité de l’issue c’est-à-dire
La probabilité de l’événement est la somme
des probabilités des issues et c’est-à-dire .
La probabilité de l’événement est la
probabilité de l’issue c’est-à-dire
La loi de la variable aléatoire est résumée dans
le tableau ci-dessous.
Fonction de répartition
Définition 8. Soit une
variable aléatoire définie sur un univers
muni d’une probabilité P.
La fonction de répartition de est l’application
de vers définie par:
Exemple 9. Reprenons l’exemple de l’activité.
est définie par:
Remarque 10.
est une fonction croissante en escalier.
La représentation graphique de F correspond en statistiques à la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Paramètres d’une variable aléatoire
Espérance, variance et écart-type
Définition 11. Une loi de probabilité est définie
sur un ensemble d’issues.
est une variable aléatoire définie sur dont la loi de probabilité est résumée dans le
tableau ci-dessous.
Valeurs de | ||||
---|---|---|---|---|
L’espérance de la variable aléatoire est le nombre réel, noté E défini par :
La variance de la variable aléatoire est le nombre réel positif , noté V défini par :
L’écart-type de la variable aléatoire est le nombre réel positif , noté défini par :
Exemple 12. On reprend l’exemple de la variable
aléatoire précédent.
francs.
francs signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu , un
joueur peut espérer gagner francs en
moyenne.
et .
Remarque 13.
L’espérance mathématique correspond, en statistiques, à la moyenne.
L’espérance et l’écart-type sont exprimés dans la même unité que les valeurs prises par
Un jeu est dit équitable lorsque
Propriété 14. Soit une variable aléatoire. On a
Démonstration
On a V(X)
Or , et
V(X)
Propriété 15 (Admise). est une variable aléatoire. Pour tous nombres réels et .