6 Fonctions puissances d’exposant rationnel
Fonctions puissances d’exposant rationnel
algebra
Définition et propriétés
Définition 1. étant un nombre rationnel non nul, on appelle fonction puissance d’exposant r, la fonction :
Notation 2.
Propriété 3.
et étant des nombres rationnels non nuls, et des réels strictement positifs.
Dérivabilité
La fonction est dérivable sur
car composée des deux fonctions
dérivables : et .
On a : .
Ainsi la fonction est dérivable
sur et sa dérivée est
la fonction .
Fonction composée
Soit un rationnel et une
fonction strictement positive sur un intervalle I.
La fonction est
la composée de la fonction
suivie de la fonction .
De plus on a:
On en déduit la propriété suivante.
Propriété 4. Soit un rationnel
et une fonction dérivable et strictement positive
sur un intervalle I.
La fonction est dérivable sur I et on a:
Exemple 5.
existe donc est
dérivable sur
Conséquence 6. Soit un
rationnel différent de et u une fonction
dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction
admet pour primitives sur I les fonctions .
Exemple 7. La fonction admet pour primitives sur les fonctions
Croissances comparées
Propriété 8. Soit un rationnel strictement positif. On a :
Remarque 9. Lorsqu’on ne peut pas conclure directement, on peut conjecturer la limite d’une fonction comportant des fonctions logarithmes, puissances ou exponentielles en remarquant que :
la fonction exponentielle << l’emporte >> sur la fonction puissance.
la fonction puissance << l’emporte >> sur la fonction logarithme.
Démonstration
Posons:on a :
Posons: on a :
Posons:on a :
On a:
Exemple 10.
, or et donc
or et
Par suite. On a:. Or par composée , il vient: