6 Fonctions puissances d’exposant rationnel

Fonctions puissances d’exposant rationnel

algebra

Définition et propriétés

Définition 1. étant un nombre rationnel non nul, on appelle fonction puissance d’exposant r, la fonction :

Notation 2.

Propriété 3.

  1. et étant des nombres rationnels non nuls, et des réels strictement positifs.

Dérivabilité

La fonction est dérivable sur car composée des deux fonctions dérivables : et .
On a : .
Ainsi la fonction est dérivable sur et sa dérivée est la fonction .

Fonction composée

Soit un rationnel et une fonction strictement positive sur un intervalle I.
La fonction est la composée de la fonction suivie de la fonction .
De plus on a:
On en déduit la propriété suivante.

Propriété 4. Soit un rationnel et une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction est dérivable sur I et on a:

Exemple 5.
existe donc est dérivable sur

Conséquence 6. Soit un rationnel différent de et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction admet pour primitives sur I les fonctions .

Exemple 7. La fonction admet pour primitives sur les fonctions

Croissances comparées

Propriété 8. Soit un rationnel strictement positif. On a :

Remarque 9. Lorsqu’on ne peut pas conclure directement, on peut conjecturer la limite d’une fonction comportant des fonctions logarithmes, puissances ou exponentielles en remarquant que :

  • la fonction exponentielle << l’emporte >> sur la fonction puissance.

  • la fonction puissance << l’emporte >> sur la fonction logarithme.

Démonstration

  • Posons:on a :

  • Posons: on a :

  • Posons:on a :

  • On a:

Exemple 10.

  • , or et donc

  • or et
    Par suite

  • . On a:. Or par composée , il vient: