6 Fonctions puissances d’exposant rationnel

Fonctions puissances d’exposant rationnel

algebra

Définition et propriétés

Définition 1. $r$ étant un nombre rationnel non nul, on appelle fonction puissance d’exposant r, la fonction : $R_{+} x ⟶ ⟼ R_{+} x^{r}$

Notation 2. $x^{r} = e^{r l n x}$

Propriété 3.

$r$ et $r^{'}$ étant des nombres rationnels non nuls, $x$ et $y$ des réels strictement positifs.
- $x^{r} \times y^{r} = (x y)^{r}$
- $(x^{r})^{r^{'}} = x^{r r^{'}}$
- $\frac{x ^{r}}{y ^{r}} = (\frac{x}{y})^{r}$
- $x^{r} \times x^{r^{'}} = x^{r + r^{'}}$

Dérivabilité

La fonction $x \to x^{r}$ est dérivable sur $R_{+}^{*}$ car composée des deux fonctions dérivables : $x ⟼ r ln x$ et $x ⟼ e^{x}$ .
On a : $\forall x > 0, (x^{r})^{'} = (e^{r l n x})^{'} = \frac{r}{x} \times e^{r l n x} = \frac{r}{x} \times x^{r} = r x^{r - 1}$ .
Ainsi la fonction $x ⟼ x^{r}$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ et sa dérivée est la fonction $x ⟼ r x^{r - 1}$ .

Fonction composée

Soit $r$ un rationnel et $u$ une fonction strictement positive sur un intervalle I.
La fonction $x ⟼ (u (x))^{r}$ est la composée de la fonction $x ⟼ u (x)$ suivie de la fonction $x ⟼ x^{r}$ .
De plus on a: $(u (x))^{r} = e^{r l n (u (x))}$
On en déduit la propriété suivante.

Propriété 4. Soit $r$ un rationnel et $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction $u^{r}$ est dérivable sur I et on a: $(u^{r})^{'} = r u^{'} u^{r - 1}$

Exemple 5. $f (x) = 3 2 x + 1$
$f (x)$ existe $\Leftrightarrow 2 x + 1 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{2}$ donc $f$ est dérivable sur $] - \frac{1}{2}, + \infty [$
$f (x) = 3 2 x + 1 = (2 x + 1)^{\frac{1}{3}} ⟹ f^{'} (x) = \frac{2}{3} (2 x + 1)^{- \frac{2}{3}} = \frac{2}{3 3 ( 2 x + 1 ) ^{2}}$

Conséquence 6. Soit $r$ un rationnel différent de $- 1$ et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction $u^{'} u^{r}$ admet pour primitives sur I les fonctions $\frac{u ^{r + 1}}{r + 1} + C$ .

Exemple 7. La fonction $x ⟼ 2 x (3 - x^{2})^{\frac{1}{4}}$ admet pour primitives sur $] - 3, 3 [$ les fonctions $x ⟼ - \frac{( 3 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C$

Croissances comparées

Propriété 8. Soit $α$ un rationnel strictement positif. On a :

$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{α}} = 0$
$x \to 0^{+} lim x^{α} ln x = 0$
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{α}} = + \infty$
$x \to + \infty lim x^{α} e^{- x} = 0$

Remarque 9. Lorsqu’on ne peut pas conclure directement, on peut conjecturer la limite d’une fonction comportant des fonctions logarithmes, puissances ou exponentielles en remarquant que :

la fonction exponentielle << l’emporte >> sur la fonction puissance.
la fonction puissance << l’emporte >> sur la fonction logarithme.

Démonstration

Posons: $X = x^{α}$ on a : $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{α}} = x \to + \infty lim \frac{1}{α} \frac{ln x ^{α}}{x ^{α}} = X \to + \infty lim \frac{1}{α} \frac{ln X}{X} = 0$
Posons: $X = x^{α}$ on a : $x \to 0^{+} lim x^{α} ln x = x \to 0^{+} lim \frac{1}{α} x^{α} ln x^{α} = X \to 0^{+} lim \frac{1}{α} X ln X = 0$
Posons: $X = \frac{x}{α}$ on a : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{α}} = x \to + \infty lim \frac{1}{α} \frac{e ^{\frac{x}{α}}}{\frac{x}{α}}^{α} = X \to + \infty lim \frac{1}{α} (\frac{e ^{X}}{X})^{α} = + \infty$
On a: $x \to + \infty lim x^{α} e^{- x} = x \to + \infty lim \frac{x ^{α}}{e ^{x}} = x \to + \infty lim \frac{1}{\frac{e ^{x}}{x ^{α}}} = 0$

Exemple 10.

$x \to + \infty lim x - ln x = x \to + \infty lim x^{\frac{1}{2}} [1 - \frac{ln x}{x ^{\frac{1}{2}}}]$ , or $x \to + \infty lim (1 - \frac{ln x}{x ^{\frac{1}{2}}}) = 1 - 0 = 1$ et $x \to + \infty lim x^{\frac{1}{2}} = + \infty$ donc $x \to + \infty lim x - ln x = + \infty$
$x \to + \infty lim e^{x} - ln x = x \to + \infty lim ln x (\frac{e ^{x}}{ln x} - 1)$ or $x \to + \infty lim ln x = + \infty$ et $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{ln x} = x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} \times \frac{x}{ln x} = + \infty$
Par suite $x \to + \infty lim ln x (\frac{e ^{x}}{ln x} - 1) = + \infty$
$n \to + \infty lim n n$ . On a: $n n = n^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n} l n n}$ . Or $n \to + \infty lim \frac{ln n}{n} = 0$ par composée , $n \to + \infty lim e^{\frac{1}{n} l n n} = e^{0} = 1$ il vient: $n \to + \infty lim n n = 1$