5 Probabilités simples (TS2)
Probabilités simples (TS2)
algebra
En 1654, Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avec Pierre de Fermat (1601 ; 1665) des correspondances sur le thème des jeux de hasard et d’espérance de gain qui les mènent à exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s’intéressent à la résolution de problèmes comme par exemple celui du Chevalier de Méré: « Comment expliquer le fait qu’il était plus avantageux de parier sur l’apparition d’un 6 en lançant 4 fois le dé que de parier sur l’apparition d’un double-six, quand on lance 24 fois deux dés >> .
Aujourd’hui , le champ immense de leurs applications à la totalité des sciences et des techniques donne raison aux physicien et mathématicien Maxwell: <<La vrai logique du monde est celle du calcul des probabilités>>
Notion d’événement
Expérience aléatoire
Le calcul des probabilités s’appuie sur les expériences aléatoires.
Définition 1. Une expérience est dite aléatoire si :
on ne peut prédire le résultat avec certitude,
on peut décrire l’ensemble des résultats possibles.
Exemple 2.
Lancer d’une pièce de monnaie et s’intéresser à la face apparue.
Le jet d’un dé et regarder le numéro apparu.
Le choix d’une ou de plusieurs boules d’une urne contenant des boules.
Evénement
Définition 3. Tout résultat d’une expérience
aléatoire est appelé une éventualité.
L’ensemble des éventualités est appelé univers ; il est
noté en général .
Toute partie de est appelée
événement.
Ainsi :
est appelé l’événement
certain.
L’ensemble vide est appelé l’événement
impossible.
Un événement réduit à un singleton est appelé un événement
élémentaire. Il est noté ou .
Exemple 4.
Dans le lancer du dé, l’univers des possibles est
La partie est un événement de cette expérience aléatoire; on peut le décrire par: << un nombre pair sort lors du lancer >>
L’événement << le six apparaît >> est élémentaire; tandis que l’événement << un nombre supérieur à 7 apparaît >> est impossible et l’événement << un nombre inférieur ou égal à 7 apparaît >> est certain.
Remarque 5. Nous dirons qu’un résultat réalise l’événement si
L’événement certain est toujours réalisé tandis que l’événement
impossible n’est jamais réalisé.
Evénements particuliers
On considère une expérience d’univers et deux événements A et B liés à elle.
Définition 6. On appelle:
événement << A ou B >>, l’ensemble A B.
événement << A et B >> , l’ensemble A B.
événements incompatibles, deux événements A et B tels que A B .
En d’autres termes, il n’existe aucun résultat qui les réalise à la fois.événement contraire de l’événement A, le sous-ensemble complémentaire de A dans . Il est noté: .
En d’autres termes, si A est réalisé alors son contraire ne l’est pas et vice versa.
Remarque 7. Si deux événements sont contraires alors ils sont incompatibles. Mais la réciproque est fausse. Les événements et sont incompatibles car mais ils ne sont pas contraires.
Exemples d’événements particuliers.
Dans le lancer du dé, considérons les deux événements suivants:
: << obtenir un nombre pair>>
: << obtenir un nombre supérieur ou égal à 3>>
On écrit alors et
est l’événement:<<obtenir un nombre pair supérieur ou égal à 3>> donc .
est l’événement:<<obtenir un nombre pair ou un nombre supérieur ou égal à 3>> donc .
Probabilité d’un événement
( Approche expérimentale de la probabilité)
Activité d’introduction 8. On dispose d’une pièce de monnaie qu’on lance plusieurs fois. On recommence cette opération plusieurs fois , et à chaque fois on note le nombre de << Pile >> obtenu.
Faire l’expérience suivant ce modèle et remplir le tableau.
Représenter dans un repère les points de coordonnées (x,y), où x est le nombre de lancers et y est la fréquence de Pile. (1cm représente 100 sur l’axe des abscisses et 1cm représente 0.1 sur l’axe des ordonnées)
Tracer la droite d’équation . Quelle conjecture peux- tu faire sur la disposition des points par rapport à cette droite ?
Définition et propriétés
L’activité suggère, qu’en effectuant un nombre encore plus grand de
lancers, les fréquences se rapprocheraient de de façon encore plus évidente. On dit que
est la probabilité de l’événement
Pile.
D’une manière générale nous admettons le résultat suivant: les
fréquences obtenues d’un événement A se rapprochent d’une valeur
théorique lorsque le nombre d’expériences augmente (Loi des grands
nombres). Cette valeur s’appelle la probabilité de l’événement
A.
Définition 9. Soit
une expérience aléatoire d’univers fini, et
l’ensemble des événements de .
On appelle probabilité sur ,
toute application , telle que :
,
, pour tout couple d’événements incompatibles.
Si alors s’appelle la probabilité de l’événement
Remarque 10.
Pour tout événement , ( Une fréquence est toujours comprise entre et )
La somme des probabilités des événements élémentaires de est égale à 1 ( somme de fréquences):
Propriété 11. Soit une expérience d’univers . On considère et deux événements liés à cette expérience;
Lorsque l’événement est inclus dans alors, .
Cas où les événements élémentaires sont équiprobables
Définition 12. Lorsque les événements élémentaires ont la même probabilité , on dit qu’ils sont équiprobables.
Propriété 13. Dans un cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement quelconque est donnée par:
Démonstration
Soit un univers de cardinal et un événement de cardinal
On a .
Or pour chaque , donc
Par ailleurs
On en déduit que
Exercice 14. On lance un dé cubique
pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Ce dé est tel que les événements élémentaires ,
et ont la même probabilité, cette
probabilité étant le double de la probabilité de chacun des autres
événements élémentaires.
Quelle est la probabilité P définie sur l’univers de cette expérience aléatoire ?
Quelle est la probabilité d’avoir un chiffre pair ?
Solution. L’univers de cette
expérience aléatoire est défini par:
Le dé n’étant pas parfaitement équilibré, les événements élémentaires ne
sont pas équiprobables.
Calculons les probabilités:
Or
D’où donc et .Désignons par A l’événement << le numéro de la face supérieure est un chiffre pair >>
A et donc P(A)
◻
Exercice 15. Dans une urne se trouvent huit boules
indiscernables au toucher dont cinq rouges ,
, , , et trois noires , . On tire au hasard une boule de l’urne, on note
sa couleur, on ne la remet pas dans l’urne puis on tire au hasard une
deuxième boule, on note sa couleur.
Calculer les probabilités de chacun des événements suivants :
- A : << les deux boules tirées sont de la même
couleur>>.
- B: <<les deux boules tirées sont de couleur différente >>
.
Solution. L’expérience a lieu dans le cadre de
l’équiprobabilité des événements élémentaires.
Une éventualité est un ensemble ordonné de deux boules prises dans
l’ensemble des huit boules.
Désignons par l’univers des éventualités. On
a card
Probabilité de A.
A est constitué des 2 arrangements de ou des 2 arrangements de
D’où cardA
donc P(A)
Probabilité de B.
L’événement B est le contraire de A.
Donc P(B) P(A) ◻