6 Fonction exponentielle (TS2)
Fonction exponentielle (TS2)
algebra
Introduction
Elle admet une bijection réciproque de vers .
Définition et propriétés
Définition 1. On appelle fonction exponentielle, notée exp ou e, la bijection réciproque de la fonction .
Notation 2.
Conséquence 3.
et
exp est continue et dérivable sur .
exp est bijective et strictement croissante sur . D’où :
Propriété 4 (fondamentale).
Démonstration
D’où
Conséquence 5.
Étude et représentation graphique
Les courbes de la fonction exp et de la fonction sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.
Limites
Aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exp, on obtient les limites suivantes:
Propriété 6.
Démonstration
Soit la fonction définie par : .
est dérivable sur et . est donc croissante sur or
Donc càd . Or par comparaison
Pour calculer posons
On a alors
Tableau de variations
Dérivée
On sait que .
Dérivons les 2 membres de cette égalité.
Propriété 7. La fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa propre dérivée:
Conséquence 8. Si est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction est dérivable sur I et
La fonction a pour primitive sur I, toute fonction du type .
Quelques limites classiques
Propriété 9.
Démonstration
Montrons que
Pour , d’où par produitMontrons que
En posant ,on obtientMontrons que
Soit .