6 Fonction exponentielle (TS2)

Fonction exponentielle (TS2)

algebra

Introduction

$La fonction ln :] 0, + \infty [x ⟶ ⟼ R ln x est continue et strictement croissante.$

Elle admet une bijection réciproque de $R$ vers $] 0, + \infty [$ .

Définition et propriétés

Définition 1. On appelle fonction exponentielle, notée exp ou e, la bijection réciproque de la fonction $ln$ .

Notation 2. $exp : R x ⟶ ⟼] 0, + \infty [exp (x) = e^{x}$

Conséquence 3.

$\forall x \in R, e^{x} > 0$
$e^{0} = 1$ et $e^{1} = e$
$\forall x > 0, e^{l n x} = x$
$\forall y \in R, ln e^{y} = y$
exp est continue et dérivable sur $R$ .
exp est bijective et strictement croissante sur $R$ . D’où :
$e^{a} = e^{b} ⟺ a = b$
$e^{a} > e^{b} ⟺ a > b$

Propriété 4 (fondamentale). $\forall a \in R et \forall b \in R : e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$

Démonstration
$ln (e^{a + b}) = a + b$
$ln (e^{a} \times e^{b}) = ln (e^{a}) + ln e^{b} = a + b$
D’où $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$

Conséquence 5.

$e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$
$e^{a - b} = \frac{e ^{a}}{e ^{b}}$
$(e^{a})^{r} = e^{r a} \forall r \in Q$

Étude et représentation graphique

Les courbes de la fonction exp et de la fonction $ln$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.

$tikzpicture-1$

Limites

Aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exp, on obtient les limites suivantes:

Propriété 6.

$x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$
$x \to - \infty lim e^{x} = 0$

Démonstration

Soit $φ$ la fonction définie par : $x ⟼ e^{x} - x - 1$ .
$φ$ est dérivable sur $[0, + \infty [$ et $\forall x > 0 φ^{'} (x) = e^{x} - 1 \geq 0$ . $φ$ est donc croissante sur $[0, + \infty [$ or $φ (0) = 0.$
Donc $\forall x \geq 0, φ (x) \geq 0$ càd $e^{x} \geq x + 1$ . Or $x \to + \infty lim x + 1 = + \infty$ par comparaison $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty$
Pour calculer $x \to - \infty lim e^{x}$ posons $y = - x$
On a alors $x \to - \infty lim e^{x} = y \to + \infty lim e^{- y} = y \to + \infty lim \frac{1}{e ^{y}} = 0$

Tableau de variations

Dérivée

On sait que $\forall x \in R, ln e^{x} = x$ .
Dérivons les 2 membres de cette égalité.
$ln^{'} (e^{x}) \times (e^{x})^{'} = 1$
$\frac{( e ^{x} ) ^{'}}{e ^{x}} = 1 ⟺ (e^{x})^{'} = e^{x}$

Propriété 7. La fonction exponentielle est dérivable sur $R$ et est égale à sa propre dérivée: $(e^{x})^{'} = e^{x} \forall x \in R$

Conséquence 8. Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction $f : x \mapsto e^{u (x)}$ est dérivable sur I et $f^{'} (x) = (exp^{'} (u (x))) \times u^{'} (x) = e^{u (x)} \times u^{'} (x) = e^{u (x)} \times u^{'} (x)$

La fonction $u^{'} e^{u}$ a pour primitive sur I, toute fonction du type $e^{u} + C$ $(C \in R)$ .

Quelques limites classiques

Propriété 9.

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$
$x \to - \infty lim x e^{x} = 0$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$

Démonstration

Montrons que $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty$
Pour $x > 0$ , $ln (\frac{e ^{x}}{x}) = ln e^{x} - ln x = x - ln x = x (1 - \frac{ln x}{x})$ d’où par produit $x \to + \infty lim x (1 - \frac{ln x}{x}) = + \infty$
Montrons que $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$
En posant $X = - x$ ,on obtient $x \to - \infty lim x e^{x} = X \to + \infty lim - X e^{- X} = X \to + \infty lim \frac{- X}{e ^{X}} = 0$
Montrons que $x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
Soit $φ (x) = e^{x}$ .
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = x \to 0 lim \frac{φ ( x ) - φ ( 0 )}{x - 0} = φ^{'} (0) = e^{0} = 1$