6 Fonction exponentielle (TS2)

Fonction exponentielle (TS2)

algebra

Introduction

Elle admet une bijection réciproque de vers .

Définition et propriétés

Définition 1. On appelle fonction exponentielle, notée exp ou e, la bijection réciproque de la fonction .

Notation 2.

Conséquence 3.

  • et

  • exp est continue et dérivable sur .

  • exp est bijective et strictement croissante sur . D’où :

Propriété 4 (fondamentale).

Démonstration


D’où

Conséquence 5.

Étude et représentation graphique

Les courbes de la fonction exp et de la fonction sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.

tikzpicture-1

Limites

Aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exp, on obtient les limites suivantes:

Propriété 6.

Démonstration

  • Soit la fonction définie par : .
    est dérivable sur et . est donc croissante sur or
    Donc càd . Or par comparaison

  • Pour calculer posons
    On a alors

Tableau de variations

Dérivée

On sait que .
Dérivons les 2 membres de cette égalité.

Propriété 7. La fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa propre dérivée:

Conséquence 8. Si est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction est dérivable sur I et

La fonction a pour primitive sur I, toute fonction du type .

Quelques limites classiques

Propriété 9.

Démonstration

  • Montrons que
    Pour , d’où par produit

  • Montrons que
     En posant ,on obtient

  • Montrons que
    Soit .