4 Logarithme népérien (TS2)

Logarithme népérien (TS2)

algebra

Définition et propriétés

Définition 1. On appelle fonction logarithme népérien, notée , la primitive sur de la fonction et qui s’annule pour .

La touche de la calculatrice permet de calculer le logarithme d’un réel.

Conséquences immédiates

  1. Le domaine de définition de la fonction est .

  2. La fonction est dérivable sur et pour tout on a .

  3. .

  4. La dérivée de la fonction étant strictement positive sur , donc la fonction est strictement croissante sur .

Propriété 2.

Propriété 3 (fondamentale).

Démonstration

Soit la fonction et fixé.

g est définie et dérivable sur et d’après le théorème de dérivation d’une fonction composée, on a :

On a donc donc .

Il en résulte que la fonction est une constante sur .

Il existe donc tel que

Pour on a donc . D’où .

Conséquence 4. Soit et .

Démonstration

  1. d’où

  2. d’où .

  3. Pour on a
    Supposons la propriété vraie pour un entier naturel quelconque.
    On a
    Il en résulte que la propriété est vraie
    Supposons que . Posons donc

    Donc pour tout on a .
    Soit on a d’où
    Soit alors

Étude de la fonction

Limites

Les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction ln, sont données ci-dessous:

Propriété 5.

Démonstration

  • La fonction est croissante et n’est pas majorée sur .
    Si elle était majorée sur , elle admettrait une limite finie en . En posant , on obtiendrait :

    , on aboutit à une contradiction.

  • Pour la limite en , on fait le changement de variable
    Donc

Tableau de variation

Des propriétés précédentes, on en déduit facilement le tableau de variation suivant.

Conséquences

La fonction est continue et strictement croissante sur cela entraîne que c’est une bijection de vers .

Donc , il existe un unique tel que En particulier il existe un unique réel noté tel que: . On démontre que et que .
est appelé la constante d’Euler.
On a alors

Ainsi:

Exercice 6. Résoudre dans l’équation:

Solution. Cette équation est définie lorsque: et c-à-d
Donc le domaine de résolution est D

Si D alors l’équation équivaut à
Posons . On a: soit ou
c-à-d ou
D’où ou d’où S ◻

Représentation graphique de la fonction

On construit les tangentes T et T à la courbe de respectives aux points d’abscisses et .

T soit T

T soit T

tikzpicture-2

Dérivée de la fonction

Soit une fonction dérivable sur un intervalle et telle que: .
Donc la fonction est dérivable sur à valeurs dans
Donc la fonction g est définie et dérivable sur I.
Si : g et g’.

Si : g et g’.
Dans tous les cas:

Conséquence 7.

  • Si est dérivable et strictement positive sur I alors la fonction est dérivable sur I.

  • Il en résulte que les primitives de la fonction , sont les fonctions du type .

Quelques limites classiques

Propriété 8.

Démonstration

  • Montrons que
    Soit g la fonction définie sur par g.
    g est dérivable sur et et g est donc strictement décroissante sur or g.
    D’où soit .
    En particulier ,. D’où
    En divisant par , on a or et d’après le théorème des gendarmes on a .

  • Montrons que
    En posant ,on obtient

  • Montrons que
    Soit . On a et .
    Par suite

Fonction logarithme décimal

Définition 9. On appelle fonction logarithme décimal ( ou de base ), notée Log ou log , la fonction définie sur par:

Remarque 10. et