4 Logarithme népérien (TS2)
Logarithme népérien (TS2)
algebra
Définition et propriétés
Définition 1. On appelle fonction logarithme népérien, notée , la primitive sur de la fonction et qui s’annule pour .
La touche de la calculatrice permet de calculer le logarithme d’un réel.
Conséquences immédiates
Le domaine de définition de la fonction est .
La fonction est dérivable sur et pour tout on a .
.
La dérivée de la fonction étant strictement positive sur , donc la fonction est strictement croissante sur .
Propriété 2.
Propriété 3 (fondamentale).
Démonstration
Soit la fonction où et fixé.
g est définie et dérivable sur et d’après le théorème de dérivation d’une fonction composée, on a :
On a donc donc .
Il en résulte que la fonction est une constante sur .
Il existe donc tel que
Pour on a donc . D’où .
Conséquence 4. Soit et .
Démonstration
d’où
d’où .
Pour on a
Supposons la propriété vraie pour un entier naturel quelconque.
On a
Il en résulte que la propriété est vraie
Supposons que . Posons donc
Donc pour tout on a .
Soit on a d’où
Soit alors
Étude de la fonction
Limites
Les limites aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction ln, sont données ci-dessous:
Propriété 5.
Démonstration
La fonction est croissante et n’est pas majorée sur .
Si elle était majorée sur , elle admettrait une limite finie en . En posant , on obtiendrait :, on aboutit à une contradiction.
Pour la limite en , on fait le changement de variable
Donc
Tableau de variation
Des propriétés précédentes, on en déduit facilement le tableau de variation suivant.
Conséquences
La fonction est continue et strictement croissante sur cela entraîne que c’est une bijection de vers .
Donc , il existe un
unique tel que En particulier il existe un unique réel noté
tel que: . On démontre que et que .
est appelé la constante
d’Euler.
On a alors
Ainsi:
Exercice 6. Résoudre dans l’équation:
Solution. Cette équation est définie lorsque: et c-à-d
Donc le domaine de résolution est D
Si D alors l’équation équivaut à
Posons . On a: soit ou
c-à-d ou
D’où ou d’où S ◻
Représentation graphique de la fonction
On construit les tangentes T et T à la courbe de respectives aux points d’abscisses et .
T soit T
T soit T
Dérivée de la fonction
Soit une fonction dérivable sur un intervalle
et telle que: .
Donc la fonction est dérivable sur à valeurs dans
Donc la fonction g est définie et dérivable
sur I.
Si : g et g’.
Si : g et g’.
Dans tous les cas:
Conséquence 7.
Si est dérivable et strictement positive sur I alors la fonction est dérivable sur I.
Il en résulte que les primitives de la fonction , sont les fonctions du type .
Quelques limites classiques
Propriété 8.
Démonstration
Montrons que
Soit g la fonction définie sur par g.
g est dérivable sur et et g est donc strictement décroissante sur or g.
D’où soit .
En particulier ,. D’où
En divisant par , on a or et d’après le théorème des gendarmes on a .
Montrons que
En posant ,on obtientMontrons que
Soit . On a et .
Par suite
Fonction logarithme décimal
Définition 9. On appelle fonction logarithme décimal ( ou de base ), notée Log ou log , la fonction définie sur par:
Remarque 10. et