31 Calcul intégral

Calcul intégral

analysis

Primitives d’une fonction numérique

Activité d’introduction 1. Soit la fonction $f : x ⟼ 2 x + 3$ .

Calcule la dérivée de chacune des fonctions F ; G ; H définies par :

F $(x) = x^{2} + 3 x + 7$ ; G $(x) = x^{2} + 3 x - 30$ et H $(x) = (x + \frac{3}{2})^{2} + 10$ . Que remarques-tu ?

Pour tout $x \in D_{f},$ F $^{'} (x) = f (x),$ H $^{'} (x) = f (x),$ G $^{'} (x) = f (x)$ .

On dit que F ; G ; H sont des primitives de f sur Df.

Définition 2. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ .

On appelle fonction primitive de $f$ sur $I$ , toute fonction $F$ telle que :
$pour tout x \in I, F^{'} (x) = f (x) .$

Exemple 3. Vérifions que la fonction : $F (x) = \frac{e ^{2 x} + 1}{e ^{x} + 5}$ est une primitive sur $R$ de la fonction $f$ définie sur $R$ par:
$f (x) = \frac{e ^{3 x} + 10 e ^{2 x} - e ^{x}}{( e ^{x} + 5 ) ^{2}}$

Pour cela dérivons la fonction $F$ .

On a $F^{'} (x) = \frac{2 e ^{2 x} ( e ^{x} + 5 ) - e ^{x} ( e ^{2 x} + 1 )}{( e ^{x} + 5 ) ^{2}} = \frac{2 e ^{3 x} + 10 e ^{2 x} - e ^{3 x} - e ^{x}}{( e ^{x} + 5 ) ^{2}} = \frac{e ^{3 x} + 10 e ^{2 x} - e ^{x}}{( e ^{x} + 5 ) ^{2}}$

Ainsi $F$ est une primitive de $f .$

Propriété 4. Si $F$ est une primitive de $f$ sur I alors toute autre fonction de la forme $F (x) + c$ où $c$ est une constante est aussi primitive de $f$ sur I.

Primitives des fonctions usuelles

$Fonctions f a un r \overset{e}{ˊ} el x^{n} \frac{1}{x} \frac{1}{x} e^{x} Primitives F a x \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} 2 x ln ∣ x ∣ e^{x}$

Opérations sur les primitives

Propriété 5. Si F est une primitive de $f$ sur I et G est une primitive de $g$ sur I alors:

$∙$ F $+$ G est une primitive de $f + g$ sur I.

$∙$ Pour tout réel $k$ , $k$ F est une primitive de $k f$ sur I.

Le tableau suivant découle des règles de dérivation des fonctions.

$u$ désigne une fonction dérivable sur un intervalle I.

$Fonction u^{'} u^{n} \frac{u ^{'}}{u} \frac{u ^{'}}{u} u^{'} e^{u} \frac{u ^{'}}{u ^{n}} Primitive \frac{u ^{n + 1}}{n + 1} 2 u ln ∣ u ∣ e^{u} - \frac{1}{n - 1} \frac{1}{u ^{n - 1}}$

Exemple 6. Déterminons une primitive de chacune des fonctions suivantes.

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$
$g (x) = 2 x (x^{2} + 3)^{2}$
$h (x) = e^{x} (e^{x} + 2)^{2}$
$i (x) = \frac{2 e ^{x}}{e ^{x} + 1}$
$j (x) = 2 + \frac{3}{( 3 x + 4 ) ^{2}}$
$k (x) = x + 2 - \frac{4}{2 x - 2}$

Solution.

On a: F $(x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 5 x$
$g (x) = 2 x (x^{2} + 3)^{2}$ est de la forme $f (x) = u^{'} u^{n}$ .

Par suite G $(x) = \frac{1}{3} (x^{2} + 3)^{3}$ .
$h (x) = e^{x} (e^{x} + 2)^{2}$ est de la forme $f (x) = u^{'} u^{n}$ .

Par suite $H (x) = \frac{1}{3} (e^{x} + 2)^{3}$ .
$i (x) = \frac{2 e ^{x}}{e ^{x} + 1}$ est de la forme $\frac{a u ^{'}}{u}$ .

Par suite I $(x) = ln (e^{x} + 1)$ .
$j (x) = 2 + \frac{3}{( 3 x + 4 ) ^{2}}$ est une somme de deux fonctions: l’une étant une constante égale à $2$ et l’autre de la forme $\frac{u ^{'}}{u ^{2}}$ .

Par conséquent J $(x) = 2 x - \frac{1}{3 x + 4}$ .
$k (x) = x + 2 - \frac{4}{2 x - 2}$ on fait la somme des deux primitives d’où:

K $(x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 2 ln (2 x - 2)$

◻

Intégrale d’une fonction

Définition 7. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle I et $F$ une de ces primitives, soient $a$ et $b$ deux réels de I.

Le nombre réel $F (b) - F (a)$ est appelé intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ et est notée $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Ainsi on a: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Vocabulaire et notations

Le réel $\int_{a}^{b} f (x) d x$ se lit << intégrale de $a$ à $b$ f $(x) d x$ >>
Le nombre $a$ est appelé borne inférieure et $b$ la borne supérieure de l’intégrale
Pour toute primitive F de f, on écrit $\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .
L’expression $[F (x)]_{a}^{b}$ se lit << $F (x)$ >> pris entre a et b.
Dans l’écriture $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , on peut remplacer la lettre $x$ par n’importe quelle lettre et on peut écrire $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (u) d u = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . On dit que $x$ est une variable muette, elle n’intervient pas dans le résultat.

Exemple 8. Calculons $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x$ et $\int_{- 1}^{0} e^{- 2 x} d x$ .

$∙$ Une primitive de la fonction $x ⟼ x^{2} - 1$ sur $[0, 1]$ est la fonction F: $x ⟼ \frac{1}{3} x^{3} - x$
On a donc $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x = [\frac{1}{3} x^{3} - x]_{0}^{1} = F (1) - F (0) = - \frac{2}{3}$ .

$∙$ Une primitive de la fonction $x ⟼ e^{- 2 x}$ sur $R$ est la fonction G: $x ⟼ \frac{- e ^{- 2 x}}{2}$
On a donc $\int_{- 1}^{0} e^{- 2 x} d x = G (0) - G (- 1) = \frac{e ^{2} - 1}{2}$

Propriétés de l’intégrale

Propriété 9. Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle I contenant les réels $a$ , $b$ et $c$ . Alors:

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$
$\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

(Relation de Chasles)
$\int_{a}^{b} α f (x) d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x$ ; $α \in R$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) + g (x) d x$

Calculs d’aires

Le plan est muni d’un repère orthogonal $(O; i, j)$ .
L’unité d’aire notée par u.a, est l’aire du rectangle de dimensions $∣∣ i ∣∣$ et $∣∣ j ∣∣$ .

$tikzpicture-1$

Définition 10. Le plan est muni d’un repère orthogonal.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a, b]$ .
L’aire ( en u.a) de la partie du plan délimitée par la courbe de $f$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = a$ et $x = b$ , est égale à l’intégrale $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Remarque 11. Lorsque $f$ une fonction continue et négative sur un intervalle $[a, b]$ .
L’aire ( en u.a) de la partie du plan délimitée par la courbe de $f$ , l’axe des abscisses et les droites d’équations $x = a$ et $x = b$ , est égale à l’intégrale $- \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Exercice 12. Soit la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{3} - 3 x$ .
Etudier les variations de $f$ et construire sa courbe dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.
En déduire l’aire en cm $^{2}$ de la partie comprise entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = 3$ , l’axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ .

Solution. $f$ est une fonction dérivable sur $R$ et $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ . D’où le tableau de variation suivant.

$tikzpicture-3$

$tikzpicture-4$

Sur l’intervalle $[0, 3]$ la fonction $f$ est continue et négative et a pour primitive $F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2}$ .

Une unité d’aire est égale à 4 cm $^{2}$ .

L’aire de la partie en question est égale à:

$A = - \int_{0}^{3} f (x) d x = - \int_{0}^{3} (x^{3} - 3 x) d x = - (F (3) - F (0)) = 2.25$

Soit en unité d’aire $A = 2.25 \times 4 c m^{2} = 9 c m^{2}$ ◻