3 Suites numériques (TS2)

Suites numériques (TS2)

algebra

Généralités

Définition 1. On appelle suite numérique toute fonction de vers ou .

Notation et vocabulaire

  • est notée (lire u indice ) est appelé le terme d’indice ou le terme de rang ou terme général de la suite .

  • La suite est notée ou .

  • La suite est dite positive (respectivement négative) lorsque tous ses termes sont positifs (respectivement négatifs).

  • Lorsque la suite est à valeurs dans l’ensemble ; elle est appelée suite numérique complexe .
    Sauf mention contraire, nous entendons par << suite >> dans ce cours une suite réelle.

Attention :
désigne la suite alors que désigne la valeur du terme de rang .

Remarque 2. Si les indices de la suite commencent à partir d’un entier naturel alors on dit que la suite est définie à partir du rang ou que le domaine de définition de la suite est l’ensemble des entiers naturels tels que .
Dans ce cas on notera la suite par ou par .

Modes de définition d’une suite

On distingue deux modes de définition usuels:

  1. Suite définie par une formule explicite
    Une suite explicite est une suite dont le terme général s’exprime en fonction
    de . Elle est du type est une fonction définie sur .

    Exemple 3. Soit la suite définie par :
    Calculons les quatre premiers termes de la suite ainsi que .

    Réponse : , , ,et

  2. Suite définie par une relation de récurrence
    Une suite récurrente est définie par la donnée des premiers termes et la relation liant des termes consécutifs de la suite en général du type :
    ou

    Exemple 4. Soit la suite définie par et
    Calculons les quatre premiers termes de la suite ainsi que .

    Réponse :
    ,,
    Pour calculer cette fois-ci , il faut connaître car puis pour calculer ,il faut connaître ... ainsi de suite pour calculer un terme il faut connaître le précédent : on dit que la suite est définie par récurrence ou qu’elle est héréditaire. On ne peut calculer directement la valeur de contrairement à l’exemple précédent.

    Remarque 5. Une suite récurrente peut aussi être définie par la donnée de et et une relation de récurrence du type ou

    Exemple 6. La suite définie par :
    , et

    L’objet de certains exercices est de transformer une suite donnée par une relation de récurrence en une suite écrite par une formule explicite pour pouvoir calculer directement la valeur d’un terme de rang donné. Pour cela on utilise une autre suite appelée suite auxiliaire qui soit arithmétique ou géométrique (qu’on verra ultérieurement).

Représentation graphique d’une suite récurrente

Méthode
On représente les premiers termes sur un axe (celui des abscisses par exemple) en s’appuyant sur la courbe représentative de la fonction définissant la relation de récurrence.
On procède alors ainsi :

  • On trace les représentations graphiques de et de la première bissectrice d’équation ;

  • On place le premier terme sur l’axe des abscisses;

  • On utilise pour construire sur l’axe des ordonnées ;

  • On reporte sur l’axe des abscisses à l’aide de la première bissectrice,

  • On utilise pour construire sur l’axe des ordonnées ;

  • etc.

On obtient un diagramme en << escalier>> ou en << escargot >>. On peut alors faire des conjectures en termes de variation, de convergence , etc.

Exemple 7. Prenons comme exemple la suite définie par :
et pour tout de .
Le terme général de cette suite est définie par la relation de récurrence .

Plaçons sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite sans les calculer.

tikzpicture-1

Ici la suite semble être croissante et, plus devient grand, plus ses termes semblent se rapprocher de 4.

Suites monotones

Une suite est une fonction particulière, on retrouve donc naturellement la notion de sens de variation pour une suite.

Définition 8. Soit une suite, un entier naturel. On dit que :

  • la suite est croissante à partir du rang si, pour tout entier : ;

  • la suite est décroissante à partir du rang si, pour tout entier : ;

  • la suite est constante à partir du rang si, pour tout entier : .

Remarque 9. On dit que est monotone si son sens de variation ne change pas (elle reste croissante ou décroissante à partir d’un rang ).
Étudier la monotonie d’une suite c’est donc étudier ses variations.
On obtient les définitions de strictement croissante, décroissante ou monotone en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.

Méthodes
Signe de la différence de
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut étudier le signe de la différence .

Si alors est croissante.

Si alors est décroissante.

Si alors est constante.

Exemple 10. Soit la suite définie, pour tout par .
On a, pour tout :

Pour tout , donc donc . La suite est croissante.

Comparaison de à 1
Pour étudier le sens de variation d’une suite à termes strictement positifs , on peut comparer à 1.

Si alors est croissante.

Si alors est décroissante.

Si alors est constante.

Exemple 11. Soit la suite définie, pour tout , par .
La suite est à termes strictement positifs .
On a :. La suite est donc décroissante.

Cas d’une suite en mode explicite
Soit une suite définie par est une fonction définie sur .

  • Si est croissante alors est croissante.

  • Si est décroissante alors est décroissante.

Cas d’une suite définie par récurrence
On démontre par récurrence que (suite croissante ) ou (suite décroissante).

Suites bornées

Définition 12. Une suite est dite :

  • majorée s’il existe un réel tel que pour tout entier naturel , .
    est dit majorant de la suite.

  • minorée s’il existe un réel tel que pour tout entier naturel , .
    est dit minorant de la suite.

  • bornée si elle est majorée et minorée.

Remarque 13. Une suite est bornée si et seulement si il existe un réel positif tel que .
Une suite positive est minorée par et une suite négative est majorée par .
Une suite croissante est minorée par son premier terme et une suite décroissante est majorée par son premier terme .

Suites périodiques

Définition 14. Une suite est dite périodique s’il existe un entier naturel non nul tel pour tout entier naturel : On dit est une période de la suite .

Exemple 15. , .
On a : donc
Il en résulte que est périodique et 5 est une période.

Le raisonnement par récurrence

Pour montrer qu’une propriété est vraie pour tout entier supérieure ou égal à un entier naturel donné , on utilise un raisonnement de type particulier, appelé raisonnement par récurrence .
Principe

  1. Montrer que est vraie.

  2. Montrer que si est vraie alors l’est aussi .

Exemple 16. Montrons que pour tout entier Réponse 1) s’écrit égalité qui est vérifiée, donc est vraie .
2) Supposons la propriété vérifiée pour un certain c’est à dire : Montrons que est vérifiée c’est à dire : ce qui prouve que est vraie .

Le principe du raisonnement par récurrence permet d’affirmer que est vérifiée pour tout , c’est à dire: .

Remarque 17. Pour comprendre le mécanisme de ce raisonnement, il suffit de se rappeler que d’après 1) est vérifiée et que d’après 2) puisque est vraie, alors est vraie.
Toujours d’après 2) puisque est vraie alors est vraie, etc.
On comprend ainsi que puisse être vérifiée quel que soit l’entier .
Dans ce cas la propriété est héréditaire .
Lorsqu’on vérifie que est vraie ; on initialise la récurrence .
La supposition (H) est appelée hypothèse de récurrence.

Exercice 18. Soit la suite définie par et .
Montrer que pour tout ,

Solution :
Nous allons procéder à un raisonnement par récurrence
donc la propriété est vraie pour .
Supposons que pour un certain entier , .
Or pour tout réel , et puisque par hypothèse donc
c’est à dire .
Conclusion : Pour tout ,

Exercice 19. On considère la suite , définie pour tout par :
Prouver que pour tout ,

Solution:
donc la propriété est vérifiée pour .
Supposons que pour un certain entier c’est à dire .
Alors, on a
Conclusion : Pour tout ,

Suites arithmétiques

Définition 20. Définition par récurrence Une suite est dite suite arithmétique s’il existe un réel tel que pour tout entier naturel on ait : est appelé la raison de la suite arithmétique.

Remarque 21. La raison d’une suite arithmétique est un réel indépendant de On passe d’un terme au terme de rang suivant en ajoutant toujours .

Exemple 22. La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
La suite des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.

Méthode

  • Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on peut montrer que la différence ( ou ) est constante.

    Exemple 23. Soit la suite définie, pour tout , par . Montrons que cette suite est arithmétique:
    . De plus
    La suite est arithmétique de premier terme 1 et de raison .

  • Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on peut aussi exprimer en fonction de et vérifier que se met sous la forme .
    (C’est la même chose d’exprimer en fonction de et vérifier que se met sous la forme ).

Expression du terme général en fonction de n

Théorème 24. Soit une suite est arithmétique de premier terme et de raison . Alors pour tout ,

Démonstration On a : En additionnant membre à membre ces égalités, on obtient : après simplification on obtient : .

Exemple 25. Soit la suite arithmétique de premier terme et de raison , d’après le théorème pour tout de , . On peut alors directement calculer n’importe quel terme à partir de son rang.
Par exemple .

Remarque 26. Toute suite de terme général et sont deux réels, est une suite arithmétique de premier terme et de raison .

Théorème 27. Soit une suite est arithmétique de premier terme et de raison . Alors pour tous et de ,

Démonstration
Pour tous et de , et .
On en tire d’où

Exemple 28. Soit une suite est arithmétique telle que et , on se propose de calculer . Pour cela, on commence par calculer la raison de la suite .
On a , soit d’où: On en tire :

Sens de variation

Théorème 29. Soit une suite est arithmétique de raison .

  • si alors la suite est strictement croissante;

  • si alors la suite est strictement constante;

  • si alors la suite est strictement décroissante.

Moyenne arithmétique

Trois réels , et sont les terme consécutifs d’une suite arithmétique si, et seulement si . On dit que , , sont en progression arithmétique et que, est la moyenne arithmétique de et .

Somme de termes consécutifs

Nombre de termes d’une somme

Soit une suite. , tels que . On retiendra le résultat suivant :
La somme comporte termes .

Exemple 30. La somme contient termes.

Somme de termes consécutifs d’une suite est arithmétique

Théorème 31. Soit la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison , le premier terme de cette somme et le dernier terme. On a :

Démonstration
Ecrivons de deux façons différentes : En additionnant membre à membre ces deux égalités ,on obtient: On en déduit que : A retenir
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la demi somme des termes extrêmes. Cas particulier
La somme des premiers nombres entiers naturels non nuls est: .
En d’autres termes:

Exemple 32.

Suites géométriques

Définition 33. (Définition par récurrence)
Une suite est dite suite géométrique s’il existe un réel tel que pour tout entier naturel on ait : est appelé la raison de la suite géométrique.

Remarque 34. La raison d’une suite géométrique est un réel indépendant de On passe d’un terme au terme de rang suivant en multipliant toujours par

Exemple 35. La suite des puissances entières de 3 est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3 .
La suite définie par et est la suite géométrique de premier terme et de raison .

La suite de terme général est une suite géométrique de premier terme et de raison .
La suite définie par n’est pas une suite géométrique car , , , .
On ne passe pas d’un terme au terme de rang suivant en multipliant toujours par une même constante.

Méthode

  • Pour montrer qu’une suite de termes non nuls est géométrique, on peut montrer que le quotient (ou ) est constant.

    Exemple 36. Soit la suite définie, pour tout , par . Montrons que cette suite est géométrique .
    .De plus
    La suite est géométrique de premier terme 3 et de raison .

  • Pour montrer qu’une suite est géométrique, on peut exprimer en fonction de et vérifier que se met sous la forme .
    (C’est la même chose d’exprimer en fonction de et vérifier que se met sous la forme ).

Expression du terme général en fonction de n

Théorème 37. Soit une suite est géométrique de premier terme et de raison . Alors pour tout ,

Démonstration En multipliant membre à membre ces égalités, on obtient : après simplification on obtient :

Exemple 38. Soit la suite est géométrique de premier terme et de raison , d’après le théorème pour tout de , . On peut alors directement calculer n’importe quel terme à partir de son rang.
Par exemple .

Remarque 39. Toute suite dont le terme général est de la forme et sont deux réels, est une suite géométrique de premier terme et de raison .

Théorème 40. Soit une suite géométrique de premier terme et de raison .
Alors pour tous et de ,

Démonstration
Pour tous et de , et .
On en tire d’où .

Exemple 41. Soit la suite géométrique telle que et .
On se propose de calculer .
On a

Sens de variation

Théorème 42. Soit une suite est géométrique de raison et de premier terme strictement positif.

  • si alors la suite est strictement croissante;

  • si alors la suite est strictement constante;

  • si alors la suite est strictement décroissante.

Moyenne géométrique

Trois réels , et sont les termes consécutifs d’une suite géométrique si, et seulement si . On dit que , , sont en progression géométrique et que, est la moyenne géométrique de et .

Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Théorème 43. Soit la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison et le premier terme de cette somme. On a :

Démonstration Multiplions les deux membres de cette égalité par ; on obtient En soustrayant membre à membre ces deux égalités ,on obtient: On en déduit que :

Remarque 44. si alors

A retenir
Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique :

Exemple 45. Soit la suite est géométrique de premier terme et de raison .
On se propose de calculer la somme .
Elle comporte termes . D’après le théorème on a :

Cas particulier
Pour tout réel on a :

Convergence d’une suite

Définition 46. Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie lorsque tend vers .
On dit la suite converge vers .
Dans le cas contraire, la suite est dite divergente.

Exemple 47. Soit
donc la suite converge vers .

Remarque 48. Dire qu’une suite est divergente peut signifier qu’elle n’a pas de limite, par exemple ou que sa limite est ou par exemple

Cas d’une suite géométrique

Soit suite est géométrique de raison .

  • si alors la suite est convergente et converge vers .

  • si , n’a pas de limite , alors la suite est divergente.

  • si on a , alors la suite est divergente.

  • si alors est une suite constante et converge vers .

Exercice 49. Soit est la définie par : ,

  1. Etudier la convergence de la suite .

  2. Soit la suite définie par .

    1. Exprimer en fonction de . En déduire la nature de la suite .

    2. La suite est -elle convergents ?

Solution.

  1. Calculons .
    On a , donc d’où , la suite converge vers

    1. la suite est donc une suite géométrique de raison .

    2. Or on a donc
      Donc la suite converge vers

 ◻

Remarque 50.

  • Si alors

  • Si alors

  • Soient et deux suites telles que : si alors

Théorèmes de convergence

On admettra les théorèmes suivants :

Théorème 51.

  • Toute suite croissante majorée est convergente

  • Toute suite décroissante minorée est convergente

Remarque 52. Ce théorème particulièrement important, permet de savoir si une suite converge ou pas. Mais s’il donne l’existence de la limite de la suite, il ne donne pas la valeur de la limite.
Il ne faut pas confondre majorant ( ou minorant) et limite: une suite peut être croissante et majorée par sans que sa limite soit égale à
Si une suite positive converge alors sa limite est positive.

Théorème 53. Si converge vers et si est une fonction continue en alors la suite converge vers .

Théorème 54. Soit une suite définie par la relation .
Si converge vers et si est une fonction continue en alors est solution de l’équation .

Remarque 55. On commence donc par montrer que la suite converge, puis on résout l’équation .

Exercice 56. Soit la suite définie par :

  1. Démontrer que la suite est croissante .

  2. Démontrer que la suite est majorée par 2.
    En déduire la convergence de la suite .

  3. On se propose de calculer la limite de cette suite par deux méthodes .

    1. En utilisant le théorème , calculer la limite de la suite .

    2. Montrer que pour tout de on a: En déduire la limite de la suite .

Solution

  1. Pour étudier la monotonie de cette suite, au lieu d’étudier le rapport , étudions la différence .
    Démontrons par récurrence que : . Supposons que pour un certain entier naturel , alors: Donc . La suite est croissante.

  2. Démontrons par récurrence que la suite est majorée par 2.
    On a
    Supposons que pour un certain entier naturel , alors:
    puis donc c’est à dire
    Donc . La suite est majorée par 2.
    La suite étant croissante et majorée par 2 donc converge.

    1. La suite étant croissante et majorée par 2, admet une limite qui est positive car la suite est à termes positifs.
      La fonction est continue sur donc au point
      D’où d’après le théorème 1.11 on a; c’est à dire
      On trouve , la limite de la suite est 2.

    2. On peut écrire pour tout de : Ecrivons l’inégalité précédente pour l’indice variant de à Par produit membre à membre et après simplification , on obtient : Or donc
      Et puisque on en déduit que
      d’où .