26 La fonction exponentielle

La fonction exponentielle

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Combien de grains de sable faudrait-il pour remplir l’univers ?

C’est à partir de cette question qu’Archimède définit le premier, au III siècle avant J.C, un phénomène que nous qualifions aujourd’hui d’exponentiel.

Toute fois c’est Leonhard Euler (1707- 1784) qui donna son nom à cette fonction et qui la relia à des phénomènes temporels.

C’est aujourd’hui une fonction que l’on retrouve dans tous les domaines de la modélisation, que ce soit pour prévoir l’évolution d’une population, comprendre la trajectoire d’une particule etc.

Par exemple une chaîne de lettres demande à la personne qui la reçoit de copier la lettre et de l’envoyer à quatre autres personnes. Supposant que personne ne brise la chaîne, dresser un tableau de valeurs qui montre le nombre de lettres dans la chaîne à chaque stade, à six stades. La situation peut-être représentée une fonction exponentielle.

Elle admet donc une bijection réciproque de vers .

Définition et propriétés

Définition 1. On appelle fonction exponentielle, notée , la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Notation 2. Pour tout réel quelconque, le nombre se note ce qui se lit << puissance >>.

Exemple 3 ( calcul à l’aide de la calculatrice).

Conséquence 4.

  • Pour tout

  • Pour tout

  • Pour tout

  • est continue et dérivable sur .

Propriété 5. La fonction est strictement croissante sur .

Propriété 6. Pour tous et réels:

  • ,

Exemple 7.

Étude et représentation graphique

Propriété 8 (Dérivée). La fonction exponentielle est dérivable sur et est égale à sa propre dérivée:
pour tout

Limites
Aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exp, on obtient les limites suivantes:

Propriété 9.

Tableau de variation

La droite d’équation c’est-à-dire l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe de la fonction en .
Représentation graphique de la fonction exp
Les courbes de la fonction et de la fonction sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère.

tikzpicture-2

Quelques limites classiques

Propriété 10.

Equations -Inéquations - Systèmes avec exp

Equations comportant exp
Méthode
Pour résoudre une équation comportant des exponentielles,

  • on détermine le domaine D de résolution;

  • on transforme si possible l’équation sous la forme ;

  • on résout l’équation ;

  • puis on retient que les solutions appartenant à D.

Exemple 11. Résoudre dans l’équation :

Solution. L’équation est définie pour tout réel .Ainsi D.

L’équation devient ce qui équivaut à soit dont les solutions sont et .

Donc S ◻

Exemple 12. Résoudre dans l’équation :

Solution. L’équation est définie lorsque .
Ainsi D.

L’équation devient
Ce qui équivaut à soit Donc S ◻

Equations du type
Poser puis résoudre l’équation E du second degré ensuite les équations et et sont les solutions de E.

Exemple 13. Résolvons dans l’équation : .

Pour , posons , l’équation devient d’où ou .

Ainsi et est impossible car la fonction est strictement positive.
Donc S.

Inéquation comportant exp
Méthode
Pour résoudre une inéquation comportant des exponentielles,

  • on détermine le domaine D de résolution;

  • on transforme si possible l’inéquation sous la forme ou ;

  • puis on résout l’inéquation ou ;

  • et afin on retient que les solutions appartenant à D.

Exemple 14. Résoudre dans l’équation :

Solution. L’inéquation devient ce qui équivaut à soit .
Donc S. ◻

Exemple 15. Résoudre dans l’inéquation :

Solution. L’inéquation devient
Ce qui équivaut à soit .

Donc S ◻

Exemple 16. Résoudre dans l’inéquation :

Solution. Pour , en posant , l’inéquation devient

Donc équivaut à équivaut à Donc S. ◻

Systèmes d’équations comportant exp
La méthode générale consiste à faire un changement de variable.

Exemple 17. Résolvons le système suivant.

Le système est défini pour et réels .

En posant et , le système devient:

En utilisant la méthode d’addition par exemple , on trouve et .

Puis et
D’où S

Exemple 18. Résolvons le système suivant.

Le système est défini pour et réels .

On peut réécrire le système sous la forme:

et en posant et on obtient:

Ainsi les réels et vérifient l’équation du second degré

On trouve et .
Ainsi et c’est-à-dire et .
d’où S

Etude de fonctions faisant intervenir exp

Soit une fonction définie sur un intervalle I.

On considère la fonction définie pour tout par : .
Domaine de définition
existe si et seulement si existe.

Exemple 19. existe si et seulement si existe.

existe si et seulement si existe.

Remarque 20. Attention le domaine de définition de n’est pas forcément celui de la fonction de la définition initiale.

Limites

Propriété 21. Si tend vers alors tend vers .

Si tend vers alors tend vers .

Si tend vers alors tend vers .

Exemple 22. donc

donc

donc

Dérivée

Théorème 23. Si est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction est dérivable sur I et on a:

Ainsi le signe de la dérivée dépend de celui de car est strictement positif.

Exemple 24. La fonction est dérivable sur donc la fonction est dérivable sur
et pour tout , et on a: .

Soit la fonction définie par .
On a pour tout réel.

Soit la fonction définie par .
On a pour tout réel.

Soit pour tout réel.