26 La fonction exponentielle
La fonction exponentielle
analysis
Combien de grains de sable faudrait-il pour remplir l’univers ?
C’est à partir de cette question qu’Archimède définit le premier, au III siècle avant J.C, un phénomène que nous qualifions aujourd’hui d’exponentiel.
Toute fois c’est Leonhard Euler (1707- 1784) qui donna son nom à cette fonction et qui la relia à des phénomènes temporels.
C’est aujourd’hui une fonction que l’on retrouve dans tous les domaines de la modélisation, que ce soit pour prévoir l’évolution d’une population, comprendre la trajectoire d’une particule etc.
Par exemple une chaîne de lettres demande à la personne qui la reçoit
de copier la lettre et de l’envoyer à quatre autres personnes. Supposant
que personne ne brise la chaîne, dresser un tableau de valeurs qui
montre le nombre de lettres dans la chaîne à chaque stade, à six stades.
La situation peut-être représentée une fonction exponentielle.
Elle admet donc une bijection réciproque de vers .
Définition et propriétés
Définition 1. On appelle fonction exponentielle, notée , la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.
Notation 2. Pour tout réel quelconque, le nombre se note ce qui se lit << puissance >>.
Exemple 3 ( calcul à l’aide de la calculatrice).
Conséquence 4.
Pour tout
Pour tout
Pour tout
est continue et dérivable sur .
Propriété 5. La fonction est strictement croissante sur .
Propriété 6. Pour tous et réels:
,
Exemple 7.
Étude et représentation graphique
Propriété 8 (Dérivée). La fonction exponentielle est
dérivable sur et est égale à sa propre
dérivée:
pour tout
Limites
Aux bornes de l’ensemble de définition de la fonction exp, on obtient
les limites suivantes:
Propriété 9.
Tableau de variation
La droite d’équation c’est-à-dire l’axe des
abscisses est une asymptote à la courbe de la fonction en .
Représentation graphique de la fonction exp
Les courbes de la fonction et de la fonction
sont symétriques par rapport à la première
bissectrice du repère.
Quelques limites classiques
Propriété 10.
Equations -Inéquations - Systèmes avec exp
Equations comportant exp
Méthode
Pour résoudre une équation comportant des exponentielles,
on détermine le domaine D de résolution;
on transforme si possible l’équation sous la forme ;
on résout l’équation ;
puis on retient que les solutions appartenant à D.
Exemple 11. Résoudre dans l’équation :
Solution. L’équation est définie pour tout réel .Ainsi D.
L’équation devient ce qui équivaut à soit dont les solutions sont et .
Donc S ◻
Exemple 12. Résoudre dans l’équation :
Solution. L’équation est définie lorsque .
Ainsi D.
L’équation devient
Ce qui équivaut à soit Donc S ◻
Equations du type
Poser puis résoudre l’équation E du
second degré ensuite les équations et où et sont les solutions de E.
Exemple 13. Résolvons dans l’équation : .
Pour , posons , l’équation devient d’où ou .
Ainsi et est impossible car la
fonction est strictement positive.
Donc S.
Inéquation comportant exp
Méthode
Pour résoudre une inéquation comportant des exponentielles,
on détermine le domaine D de résolution;
on transforme si possible l’inéquation sous la forme ou ;
puis on résout l’inéquation ou ;
et afin on retient que les solutions appartenant à D.
Exemple 14. Résoudre dans l’équation :
Solution. L’inéquation devient ce qui équivaut à
soit .
Donc S. ◻
Exemple 15. Résoudre dans l’inéquation :
Solution. L’inéquation devient
Ce qui équivaut à soit .
Donc S ◻
Exemple 16. Résoudre dans l’inéquation :
Solution. Pour , en posant , l’inéquation devient
Donc équivaut à équivaut à Donc S. ◻
Systèmes d’équations comportant exp
La méthode générale consiste à faire un changement de variable.
Exemple 17. Résolvons le système suivant.
Le système est défini pour et réels .
En posant et , le système devient:
En utilisant la méthode d’addition par exemple , on trouve et .
Puis et
D’où S
Exemple 18. Résolvons le système suivant.
Le système est défini pour et réels .
On peut réécrire le système sous la forme:
et en posant et on obtient:
Ainsi les réels et vérifient l’équation du second degré
On trouve et .
Ainsi et c’est-à-dire et .
d’où S
Etude de fonctions faisant intervenir exp
Soit une fonction définie sur un intervalle I.
On considère la fonction définie pour tout par : .
Domaine de définition
existe si et seulement si existe.
Exemple 19. existe si et seulement si existe.
existe si et seulement si existe.
Remarque 20. Attention le domaine de définition de n’est pas forcément celui de la fonction de la définition initiale.
Limites
Propriété 21. Si tend vers alors tend vers .
Si tend vers alors tend vers .
Si tend vers alors tend vers .
Exemple 22. donc
donc
donc
Dérivée
Théorème 23. Si est une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction est dérivable sur I et on a:
Ainsi le signe de la dérivée dépend de celui de car est strictement positif.
Exemple 24. La fonction
est dérivable sur donc la fonction est dérivable sur
et pour tout , et on a: .
Soit la fonction
définie par .
On a pour tout réel.
Soit la fonction
définie par .
On a pour tout réel.
Soit pour tout réel.