25 Fonction logarithme népérien (TL)

Fonction logarithme népérien (TL)

analysis

Avant l’invention des calculateurs (ordinateurs, calculatrices, ...) les mathématiciens ont cherché à simplifier les calculs à effectuer.

) Durant l’Antiquité (IIIème siècle avant J.C.), Archimède avait remarqué que pour multiplier certains nombres, il suffisait de savoir additionner! et qu’il était plus facile d’effectuer des additions plutôt que des multiplications!

2) John Napier (ou Neper), baron écossais (1550-1617), a repris et étendu l’idée d’Archimède et a mis au point une méthode générale qui permet d’effectuer

-des additions à la place de multiplications

-des soustractions à la place de divisions;

ce sont les logarithmes.

) Modéliser la forme d’un cyclone, d’un coquillage ou d’une fleur de tournesol, mais aussi représenter sur un même graphique les distances des planètes en fonction de leurs périodes de révolution , sont autant d’activités qui utilisent une même famille de fonctions: les logarithmes.

Définition et propriétés

Définition 1. On appelle fonction logarithme népérien, notée $ln$ , la fonction dérivable sur $] 0, + \infty [$ qui a pour fonction dérivée $x ⟼ \frac{1}{x}$ et qui s’annule pour $x = 1$ .

Exemple 2 (calcul à l’aide de la calculatrice). $x ln x - 3 \times - 1 \times 0 \times 0.2 - 1, 609 0.5 - 0, 693 10 2 0, 693 8 2, 079 50 3, 912 100 4, 605$

Conséquence 3.

Le domaine de définition de la fonction $ln$ est $] 0, + \infty [$ .
La fonction $ln$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ et pour tout $x > 0$ on a .
.
La dérivée de la fonction $ln$ étant strictement positive sur $] 0, + \infty [$ , donc la fonction $ln$ est strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ .

Propriété 4. $Pour tous a > 0 et b > 0, a < b ⟺ ln a < ln b a > b ⟺ ln a > ln b a = b ⟺ ln a = ln b$

Propriété 5 (Propriété fondamentale). $Pour tous a > 0 et b > 0, on a ln (ab) = ln a + ln b$

Conséquence 6 (propriétés algébriques). Soient $a > 0$ et $b > 0$ .

$ln (\frac{1}{a}) = - ln a$
$ln (\frac{a}{b}) = ln a - ln b$
$ln a = \frac{1}{2} ln a$
$ln a^{n} = n ln a pour tout n \in Q$

Étude de la fonction ln

Propriété 7 (Limites). $∙ x \to + \infty lim ln x = + \infty ∙ x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$

Tableau de variation
Des propriétés précédentes, on en déduit le tableau de variation suivant.

$tikzpicture-1$

Conséquence 8. La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $] 0, + \infty [$ cela entraîne que c’est une bijection de $] 0, + \infty [$ vers $R$ .

Donc pour tout $y \in R$ , il existe un unique $x \in] 0, + \infty [$ tel que $ln x = y .$

En particulier il existe un unique réel noté $e$ tel que: .
On démontre que $e ≃ 2, 718$ , il est appelé la constante d’ Euler.
On a alors pour tout $n \in Q, ln e^{n} = n ln e = n$
Ainsi:

$ln x = n ⟺ x = e^{n} ln x > n ⟺ x > e^{n} ln x < n ⟺ x < e^{n}$

Représentation graphique de la fonction $ln$

On construit les tangentes T $_{1}$ et T $_{2}$ à la courbe de $ln$ respectives aux points d’abscisses $x = 1$ et $x = e$ .

T $_{1} : y = ln^{'} (1) (x - 1) + ln 1$ soit T $_{1} : y = x - 1$

T $_{2} : y = ln^{'} (e) (x - e) + ln e$ soit T $_{2} : y = \frac{1}{e} x$

$tikzpicture-2$

Equations, inéquations et systèmes

Equations comportant ln
methode
Pour résoudre une équation comportant des logarithmes,

on détermine le domaine D de résolution;
on transforme si possible l’équation sous la forme $ln A = ln B$ ;
résout l’équation $A = B$ ;
puis on retient que les solutions appartenant à D.

Exemple 9. Résoudre dans $R$ l’équation: $ln (2 x - 3) - ln x = 0$

L’équation est définie lorsque $2 x - 3 > 0$ et $x > 0$ c’est-à-dire $x > \frac{3}{2} .$ Ainsi D $=] \frac{3}{2}, + \infty [$ .

L’équation devient $ln (2 x - 3) = ln x$ ce qui équivaut à $2 x - 3 = x$ soit $x = 3$ qui est bien dans D. Donc S $= {3}$

Exemple 10. Résoudre dans $R$ l’équation : $ln (x + 5) + ln (x + 3) = ln 15$

L’équation est définie lorsque $x + 5 > 0$ et $x + 2 > 0$ c’est-à-dire $x > - 5$ et $x > - 3$ .
Ainsi D $=] - 3, + \infty [$ .

L’équation devient $ln (x + 5) (x + 3) = ln 15$
Ce qui équivaut à $(x + 5) (x + 3) = 15$ soit $x^{2} + 8 x + 15 = 0$ ou encore $x^{2} + 8 x = 0$ soit $x = 0$ ou $x = - 8$ Donc S $= {0}$

Equations du type $a ln^{2} x + b ln x + c = 0$
Poser $ln x = X$ puis résoudre l’équation E du second degré $a X^{2} + b X + c = 0$ et enfin les équations $ln x = X_{1}$ et $ln x = X_{2}$ où $X_{1}$ et $X_{2}$ sont les solutions de E.

Exemple 11. Résolvons dans $R$ l’équation : $(ln x)^{2} - 6 ln x + 5 = 0$ .

Pour $x > 0$ , posons $ln x = X$ , l’équation devient $X^{2} - 6 X + 5 = 0$ d’où $X = 1$ ou $X = 5$ .

Ainsi $ln x = 1 ⟺ x = e$ ou $ln x = 5 ⟺ x = e^{5}$ d’où S $= {e, e^{5}}$

Inéquation comportant ln
methode
Pour résoudre une inéquation comportant des logarithmes,

on détermine le domaine D de résolution;
on transforme si possible l’inéquation sous la forme $ln A < ln B$ ou $ln A \geq ln B$ ;
résout l’inéquation $A < B$ ou $A \geq B$ ;
puis on retient que les solutions appartenant à D.

Exemple 12. Résoudre dans $R$ l’équation : $ln (2 x - 3) - ln x < 0$ .

L’inéquation est définie lorsque $2 x - 3 > 0$ et $x > 0$ c’est-à-dire $x > \frac{3}{2} .$ Ainsi D $=] \frac{3}{2}, + \infty [$ .

L’inéquation devient $ln (2 x - 3) < ln x$ ce qui équivaut à $2 x - 3 < x$ soit $x < 3$ qui est bien dans D. Donc S $=] \frac{3}{2}, + \infty [\cap] - \infty, 3 [=] \frac{3}{2}, 3 [$

Exemple 13. Résoudre dans $R$ l’inéquation: $ln (x + 5) + ln (x + 3) \leq ln 15$

L’inéquation est définie lorsque $x + 5 > 0$ et $x + 2 > 0$ c’est-à-dire $x > - 5$ et $x > - 3$ .
Ainsi D $=] - 3, + \infty [$ .

L’inéquation devient $ln (x + 5) (x + 3) \leq ln 15$
Ce qui équivaut à $(x + 5) (x + 3) \leq 15$ soit $x^{2} + 8 x + 15 \leq 0$ ou encore $x^{2} + 8 x \leq 0$ . $x x^{2} + 8 x - \infty < x < - 8 + x = - 8 0 - 8 < x < 0 - x > 0 +$

Donc S $=] - 3, + \infty [\cap [- 8, 0] =] - 3, 0]$

Systèmes d’équations comportant ln

Exemple 14. Résolvons le système suivant.

${2 ln x + 3 ln y = 2 5 ln x - ln y = 22$

Le système est défini pour $x > 0$ et $y > 0$ .

En posant $X = ln x$ et $Y = ln y,$ le système devient: ${2 X + 3 Y = 2 5 X - Y = 22$

En utilisant la méthode d’addition par exemple, on trouve $X = 4$ et $Y = - 2$ .

Puis $ln x = 4 ⟺ x = e^{4}$ et $ln y = - 2 ⟺ y = e^{- 2}$
D’où S $= {(e^{4}, e^{- 2}), (e^{- 2}, e^{4})}$

Exemple 15. Résolvons le système suivant.

${ln x + ln y = ln 12 ln (x + y) = ln 2 + ln 4$

Le système est défini pour $x > 0$ et $y > 0$ .

On peut réécrire le système sous la forme:

${ln x y = ln 12 ln (x + y) = ln 8$ soit ${x y = 12 x + y = 8$

Ainsi les réels $x$ et $y$ vérifient l’équation du second degré $X^{2} - 8 X + 12 = 0$

On trouve $X_{1} = 2$ et $X_{2} = 6$ d’où S $= {(2, 6), (6, 2)}$

Etude des fonctions faisant intervenir ln

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle I.

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in I$ par : $f (x) = ln (u (x))$ .
Domaine de définition
$f (x)$ existe si et seulement si $u (x) > 0$

Exemple 16. $f (x) = ln (x^{2} - 1)$ existe si et seulement si $x^{2} - 1 > 0$ c’est-à-dire $x < - 1$ ou $x > 1$

$D f =] - \infty, - 1 [\cup] 1, + \infty [$

Remarque 17. $∙$ Attention le domaine de définition de $ln u$ n’est pas forcément celui de la fonction $ln x$ de la définition initiale.

$∙$ $f (x) = ln ∣ u (x) ∣$ existe si et seulement si $u (x) \neq = 0$

Exemple 18. $f (x) = ln \frac{x - 3}{x - 2}$ existe si et seulement si $\frac{x - 3}{x - 2} \neq = 0$ si et seulement si $x \neq = 3$ et $x \neq = 2$ c’est-à-dire $x \in R ∖ {2, 3} .$ Ainsi $D f =] - \infty, 2 [\cup] 2, 3 [\cup] 3, + \infty [$

Propriété 19 (Limites).

Si $u$ tend vers $L$ alors $ln u$ tend vers $ln L$ .
Si $u$ tend vers $+ \infty$ alors $ln u$ tend vers $+ \infty$ .
Si $u$ tend vers $0^{+}$ alors $ln u$ tend vers $- \infty$ .

Exemple 20.

$x \to + \infty lim \frac{x + 3}{x - 8} = x \to + \infty lim \frac{x}{x} = 1$ donc $x \to + \infty lim ln (\frac{x + 3}{x - 8}) = ln 1 = 0$
$x \to - \infty lim \frac{x + 3}{x - 8} = x \to - \infty lim \frac{x}{x} = 1$ donc $x \to - \infty lim ln (\frac{x + 3}{x - 8}) = ln 1 = 0$
$x \to 1^{+} lim x^{2} - 1 = 0^{+}$ donc $x \to 1^{+} lim ln (x^{2} - 1) = - \infty$
$x \to 1^{-} lim x^{2} - 1 = 0^{+}$ donc $x \to 1^{-} lim ln (x^{2} - 1) = - \infty$

Dérivée
Nous admettons le théorème suivant.

Théorème 21.

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction $ln u$ est dérivable sur I et on a: $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$
Si $u$ est une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I alors la fonction $ln ∣ u ∣$ est dérivable sur I et on a: $(ln ∣ u ∣)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

Exemple 22.

La fonction $x ⟼ 2 x - 1$ est dérivable et strictement positive sur $] \frac{1}{2}, + \infty [$ donc la fonction $x ⟼ ln (2 x - 1)$ est dérivable sur $_{;}] \frac{1}{2}, + \infty [$ et pour tout $x > \frac{1}{2},$ on a: $ln^{'} (2 x - 1) = \frac{2}{2 x - 1}$ .
Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = ln (x^{2} + 3 x - 4)$

$ln (x^{2} + 3 x - 4)$ existe si et seulement si $x^{2} + 3 x - 4 > 0$ .

On recherche les racines de $u (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

$Δ = 3^{2} - 4 \times 1 (- 4) = 25 = 5^{2}$ . Le trinôme a deux racines : $x_{1} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4 et x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1$ .

$u (x)$ est du signe de $a = 1$ , soit positif sauf entre les racines.

Donc $f$ est bien définie sur $] - \infty; - 4 [\cup] 1; + \infty [$ .

$u$ est dérivable ( car polynôme) et strictement positive sur $] - \infty; - 4 [\cup] 1; + \infty [$ .

Donc $f^{'} (x) = ln^{'} (x^{2} + 3 x - 4) = \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 3 x - 4}$