25 Fonction logarithme népérien (TL)

Fonction logarithme népérien (TL)

analysis

Avant l’invention des calculateurs (ordinateurs, calculatrices, ...) les mathématiciens ont cherché à simplifier les calculs à effectuer.

) Durant l’Antiquité (IIIème siècle avant J.C.), Archimède avait remarqué que pour multiplier certains nombres, il suffisait de savoir additionner! et qu’il était plus facile d’effectuer des additions plutôt que des multiplications!

2) John Napier (ou Neper), baron écossais (1550-1617), a repris et étendu l’idée d’Archimède et a mis au point une méthode générale qui permet d’effectuer

-des additions à la place de multiplications

-des soustractions à la place de divisions;

ce sont les logarithmes.

) Modéliser la forme d’un cyclone, d’un coquillage ou d’une fleur de tournesol, mais aussi représenter sur un même graphique les distances des planètes en fonction de leurs périodes de révolution , sont autant d’activités qui utilisent une même famille de fonctions: les logarithmes.

Définition et propriétés

Définition 1. On appelle fonction logarithme népérien, notée , la fonction dérivable sur qui a pour fonction dérivée et qui s’annule pour .

Exemple 2 (calcul à l’aide de la calculatrice).

Conséquence 3.

  1. Le domaine de définition de la fonction est .

  2. La fonction est dérivable sur et pour tout on a .

  3. .

  4. La dérivée de la fonction étant strictement positive sur , donc la fonction est strictement croissante sur .

Propriété 4.

Propriété 5 (Propriété fondamentale).

Conséquence 6 (propriétés algébriques). Soient et .

Étude de la fonction ln

Propriété 7 (Limites).

Tableau de variation
Des propriétés précédentes, on en déduit le tableau de variation suivant.

tikzpicture-1

Conséquence 8. La fonction est continue et strictement croissante sur cela entraîne que c’est une bijection de vers .

Donc pour tout , il existe un unique tel que

En particulier il existe un unique réel noté tel que: .
On démontre que , il est appelé la constante d’ Euler.
On a alors pour tout
Ainsi:

Représentation graphique de la fonction

On construit les tangentes T et T à la courbe de respectives aux points d’abscisses et .

T soit T

T soit T

tikzpicture-2

Equations, inéquations et systèmes

Equations comportant ln
methode
Pour résoudre une équation comportant des logarithmes,

  • on détermine le domaine D de résolution;

  • on transforme si possible l’équation sous la forme ;

  • résout l’équation ;

  • puis on retient que les solutions appartenant à D.

Exemple 9. Résoudre dans l’équation:

L’équation est définie lorsque et c’est-à-dire Ainsi D.

L’équation devient ce qui équivaut à soit qui est bien dans D. Donc S

Exemple 10. Résoudre dans l’équation :

L’équation est définie lorsque et c’est-à-dire et .
Ainsi D.

L’équation devient
Ce qui équivaut à soit ou encore soit ou Donc S

Equations du type
Poser puis résoudre l’équation E du second degré et enfin les équations et et sont les solutions de E.

Exemple 11. Résolvons dans l’équation : .

Pour , posons , l’équation devient d’où ou .

Ainsi ou d’où S

Inéquation comportant ln
methode
Pour résoudre une inéquation comportant des logarithmes,

  • on détermine le domaine D de résolution;

  • on transforme si possible l’inéquation sous la forme ou ;

  • résout l’inéquation ou ;

  • puis on retient que les solutions appartenant à D.

Exemple 12. Résoudre dans l’équation : .

L’inéquation est définie lorsque et c’est-à-dire Ainsi D.

L’inéquation devient ce qui équivaut à soit qui est bien dans D. Donc S

Exemple 13. Résoudre dans l’inéquation:

L’inéquation est définie lorsque et c’est-à-dire et .
Ainsi D.

L’inéquation devient
Ce qui équivaut à soit ou encore .

Donc S

Systèmes d’équations comportant ln

Exemple 14. Résolvons le système suivant.

Le système est défini pour et .

En posant et le système devient:

En utilisant la méthode d’addition par exemple, on trouve et .

Puis et
D’où S

Exemple 15. Résolvons le système suivant.

Le système est défini pour et .

On peut réécrire le système sous la forme:

soit

Ainsi les réels et vérifient l’équation du second degré

On trouve et d’où S

Etude des fonctions faisant intervenir ln

Soit une fonction définie sur un intervalle I.

On considère la fonction définie pour tout par : .
 Domaine de définition
existe si et seulement si

Exemple 16. existe si et seulement si c’est-à-dire ou

Remarque 17. Attention le domaine de définition de n’est pas forcément celui de la fonction de la définition initiale.

existe si et seulement si

Exemple 18. existe si et seulement si si et seulement si et c’est-à-dire Ainsi

Propriété 19 (Limites).

  • Si tend vers alors tend vers .

  • Si tend vers alors tend vers .

  • Si tend vers alors tend vers .

Exemple 20.

  • donc

  • donc

  • donc

  • donc

Dérivée
Nous admettons le théorème suivant.

Théorème 21.

  • Si est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction est dérivable sur I et on a:

  • Si est une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I alors la fonction est dérivable sur I et on a:

Exemple 22.

  • La fonction est dérivable et strictement positive sur donc la fonction est dérivable sur et pour tout on a: .

  • Soit la fonction définie par

    existe si et seulement si .

    On recherche les racines de .

    . Le trinôme a deux racines : .

    est du signe de , soit positif sauf entre les racines.

    Donc est bien définie sur .

    est dérivable ( car polynôme) et strictement positive sur .

    Donc