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Dérivée (TL)
analysis
Le mot << dérivé >> vient du latin << derivare
>> qui signifiait << détourner un cours d’eau
>>.
Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis
Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive
(au sens de "provenir") d’une autre fonction.
La notion de dérivée est une notion fondamentale dans le domaine mathématique de l’analyse numérique. Elle permet d’étudier les variations d’une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d’optimisation.
En sciences, lorsqu’une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur.
Les dérivées existent un peu partout autour de nous. Même si on ne s’en sert pas dans la vie de tous les jours, la science en a beaucoup besoin. Que ce soit en thermodynamique, en chimie ou en électricité, il existe des tas de formules qui font intervenir des dérivées de fonctions.
Nombre dérivé
Définition 1. Soit une fonction définie sur un intervalle I et
un réel de I.
On dit que est dérivable en
si est un réel.
Ce réel est appelé nombre dérivé de en et il est noté .
Exemple 2. Soit la fonction
définie sur par et .
On a
On en déduit que est dérivable en 3 et que le
nombre dérivé de en 3 est 6 c’est-à-dire .
Interprétation géométrique
Dans le plan muni d’un repère orthogonal , on note par la courbe représentative de la fonction .
Soit A le point de d’abscisse
La droite T passant par le point A et de coefficient directeur est par définition la tangente à
la courbe au point A.
Une équation de la tangente T est:
Exemple 3. Déterminons une équation de la tangente à la courbe de la fonction de l’exemple précèdent au point d’abscisse 3.
On a et .
Donc en appliquant la formule; on obtient : .
Ainsi la droite affine est une équation de la
tangente à au point d’abscisse 3.
Fonction dérivée
Définition 4.
On dit que est dérivable sur l’intervalle I si elle est dérivable en tout réel de I.
La fonction, qui a tout réel , fait correspondre le nombre dérivé de en , quand elle existe, s’appelle la fonction dérivée de ou encore la dérivée de ; elle est notée .
L’ensemble de définition de est appelé ensemble de dérivabilité de .
Dérivées des fonctions usuelles
Fonction | dérivée | Ensemble de dérivabilité |
---|---|---|
, un réel. | ||
, | et | |
Formules de dérivations
Soient et deux fonctions
dérivables, et .
Fonction | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Dérivée |
Remarque 5. Ces formules sont à apprendre par coeur.
En particulier, la dérivée d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas
égale au produit (ou au quotient) des dérivées.
Exemple 6. Calculons la dérivée de chacune des fonctions suivantes.
Solution.
On a:
Pour
On pose et .
Donc et
AinsiPour
Posons et
Donc et
Ainsi
◻
Remarque 7. L’ensemble de dérivabilité d’une fonction polynôme ou d’une fonction rationnelle est égal à l’ensemble de définition.
Dérivée d’une fonction composée
Théorème 8. Soient et deux fonctions dérivables.
Conséquence 12.
Pour
La fonction est définie sur , dérivable sur et a pour dérivée:Pour
La fonction est définie sur , dérivable sur et a pour dérivée:Exemple 9.
est dérivable sur et pour tout ,
est dérivable sur et pour tout ,
Cas général: si u est une fonction dérivable et strictement positive alors on a : .
Exemple 10.
Si alors
si alors
Formule
La fonction a pour dérivée .
Exemple 11.
si alors .
Si alors
Utilisation de la dérivée
Dérivée et sens de variation
Théorème 13. Soit une fonction dérivable sur un intervalle
Si est positive sur I alors est croissante sur
Si est négative sur I alors est décroissante sur
Si est nulle sur I alors est constante sur .
Exemple 14. Considérons la fonction définie par .
est continue et dérivable sur et .
La dérivée est du second degré , cherchons ses racines.
Posons donc
c’est-à-dire d’où
ou .
On en déduit que est positive sur les
intervalles et d’où
est croissante sur ces mêmes intervalles.
est négative sur d’où est
croissante sur .
On a le tableau de variation de suivant:
et sont respectivement
maximum et minimum de la fonction : ce sont des
extremums.
Rappel
Si en un réel , la dérivée s’annule en changeant de
signe, alors le réel un extremum de .
Exemple 15. Soit la fonction
définie par pour .
On a: .
Le signe de dépend de celui de car .
Or est du second degré et si ou .
Donc si et si .
On a le tableau de variation de suivant:
On a et
Le nombre 1 est un maximum local de tandis que le nombre réel 5 est un minimum local de .
Notion de bijection
Théorème 16. Si f est définie continue, strictement croissante ( ou strictement décroissante) sur un intervalle I alors f réalise une bijection de I sur f(I).
Exemple 17. D’après le tableau de variation de
l’exemple précèdent,
est une bijection de
sur
est une bijection de
sur
est une bijection de
sur