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Dérivée (TL)

analysis

Le mot << dérivé >> vient du latin << derivare >> qui signifiait << détourner un cours d’eau >>.
Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d’une autre fonction.

La notion de dérivée est une notion fondamentale dans le domaine mathématique de l’analyse numérique. Elle permet d’étudier les variations d’une fonction, de construire des tangentes à une courbe et de résoudre des problèmes d’optimisation.

En sciences, lorsqu’une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur.

Les dérivées existent un peu partout autour de nous. Même si on ne s’en sert pas dans la vie de tous les jours, la science en a beaucoup besoin. Que ce soit en thermodynamique, en chimie ou en électricité, il existe des tas de formules qui font intervenir des dérivées de fonctions.

Nombre dérivé

Définition 1. Soit une fonction définie sur un intervalle I et un réel de I.
On dit que est dérivable en si est un réel.
Ce réel est appelé nombre dérivé de en et il est noté .

Exemple 2. Soit la fonction définie sur par et .
On a
On en déduit que est dérivable en 3 et que le nombre dérivé de en 3 est 6 c’est-à-dire .

Interprétation géométrique

Dans le plan muni d’un repère orthogonal , on note par la courbe représentative de la fonction .
Soit A le point de d’abscisse
La droite T passant par le point A et de coefficient directeur est par définition la tangente à la courbe au point A.

tikzpicture-1

Une équation de la tangente T est:

Exemple 3. Déterminons une équation de la tangente à la courbe de la fonction de l’exemple précèdent au point d’abscisse 3.

On a et .
Donc en appliquant la formule; on obtient : .
Ainsi la droite affine est une équation de la tangente à au point d’abscisse 3.

Fonction dérivée

Définition 4.

  1. On dit que est dérivable sur l’intervalle I si elle est dérivable en tout réel de I.

  2. La fonction, qui a tout réel , fait correspondre le nombre dérivé de en , quand elle existe, s’appelle la fonction dérivée de ou encore la dérivée de ; elle est notée .

L’ensemble de définition de est appelé ensemble de dérivabilité de .

Dérivées des fonctions usuelles

Fonction dérivée Ensemble de dérivabilité
, un réel.
et

Formules de dérivations

Soient et deux fonctions dérivables, et .

Fonction
Dérivée

Remarque 5. Ces formules sont à apprendre par coeur.
En particulier, la dérivée d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas égale au produit (ou au quotient) des dérivées.

Exemple 6. Calculons la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

Solution.

  1. On a:

  2. Pour
    On pose et .
    Donc et
    Ainsi

  3. Pour
    Posons et
    Donc et
    Ainsi

 ◻

Remarque 7. L’ensemble de dérivabilité d’une fonction polynôme ou d’une fonction rationnelle est égal à l’ensemble de définition.

Dérivée d’une fonction composée

Théorème 8. Soient et deux fonctions dérivables.

Conséquence 12.

  1. Pour
    La fonction est définie sur , dérivable sur et a pour dérivée:

  2. Pour
    La fonction est définie sur , dérivable sur et a pour dérivée:

    Exemple 9.

    • est dérivable sur et pour tout ,

    • est dérivable sur et pour tout ,

  3. Cas général: si u est une fonction dérivable et strictement positive alors on a : .

    Exemple 10.

    • Si alors

    • si alors

    Formule

  4. La fonction a pour dérivée .

    Exemple 11.

    • si alors .

    • Si alors

Utilisation de la dérivée

Dérivée et sens de variation

Théorème 13. Soit une fonction dérivable sur un intervalle

  • Si est positive sur I alors est croissante sur

  • Si est négative sur I alors est décroissante sur

  • Si est nulle sur I alors est constante sur .

Exemple 14. Considérons la fonction définie par .
est continue et dérivable sur et .
La dérivée est du second degré , cherchons ses racines.
Posons donc c’est-à-dire d’où ou .
On en déduit que est positive sur les intervalles et d’où est croissante sur ces mêmes intervalles.
est négative sur d’où est croissante sur .
On a le tableau de variation de suivant:

et sont respectivement maximum et minimum de la fonction : ce sont des extremums.
Rappel
Si en un réel , la dérivée s’annule en changeant de signe, alors le réel un extremum de .

Exemple 15. Soit la fonction définie par pour .
On a: .
Le signe de dépend de celui de car .
Or est du second degré et si ou .
Donc si et si .
On a le tableau de variation de suivant:

tikzpicture-2

On a et

Le nombre 1 est un maximum local de tandis que le nombre réel 5 est un minimum local de .

Notion de bijection

Théorème 16. Si f est définie continue, strictement croissante ( ou strictement décroissante) sur un intervalle I alors f réalise une bijection de I sur f(I).

Exemple 17. D’après le tableau de variation de l’exemple précèdent,
est une bijection de sur
est une bijection de sur
est une bijection de sur