22 Limites et continuité.
Limites et continuité.
analysis
NB: Lorsque nous écrivons cela peut désigner aussi bien que .
Fonction continue
Définition 1. Soit une fonction numérique d’ensemble de définition Df et un réel.
On dit que la fonction est continue en si:
Df
On dit que la fonction est continue sur un intervalle si est continue en tout réel de .
Graphiquement, cela signifie que la courbe de ne présente aucun point de rupture : on peut la tracer sans lever le crayon.
Conséquence 2.
Les fonctions monômes du type , sont continues sur .
La fonction racine carrée est continue sur .
La fonction valeur absolue est continue sur .
Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou composition sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
Exemple 3.
Les fonctions polynômes sont continues sur .
Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Exercice 4. Calculons les limites suivantes.
Solution.
La fonction est un polynôme donc continue en .
D’où .La fonction rationnelle est définie sur or donc f est continue en d’où .
◻
Remarque 5. pour tout réel
Propriété 6. L’image d’un intervalle I par une fonction continue est un intervalle f(I).
Limites de fonctions élémentaires
Soit
Opérations sur les limites
Dans tout ce qui suit, la notation "FI" désigne une Forme Indéterminée, c’est à dire qu’on ne sait pas calculer par une opération élémentaire.
Limite d’une somme
Limite de | Limite de | Limite de |
---|---|---|
FI |
Exemple 7.
est une forme indéterminée.
Limite d’un produit
Limite de | Limite de | Limite de |
---|---|---|
on applique la règle de signes. | ||
FI |
Exemple 8.
FI
Limite d’un quotient
Limite de | Limite de | Limite de |
---|---|---|
ou | ||
on applique la règle de signes. | ||
FI | ||
positif | ||
positif | ||
négatif | ||
négatif | ||
FI |
Exemple 9.
.
.
.
FI.
Limite d’une fonction composée
Propriété 10. Soit , et trois réels ou ou . Soit et deux fonctions numériques.
Si et alors
Exemple 11. Calculons et
Posons et . On a
Or et donc .
et
donc par composée
Méthodes de calcul de limites
Les opérations sur les limites ne permettent pas toujours de déterminer la limite d’une fonction. Il faut alors changer de chemin et modifier l’écriture de cette fonction... afin de pouvoir les appliquer !
Limite d’un polynôme à l’infini
Propriété 12. La limite en ou en d’une fonction polynôme est la limite en ou en du terme de plus haut degré.
Exemple 13. Déterminons la limite en de la fonction polynôme f définie pour tout réel
x par:
Au premier abord, lorsque tend vers :
L’actuelle écriture de f ne permet pas de conclure. Il nous allons
donc appliquer la propriété précédente.
On a:
Limite d’une fonction rationnelle à l’infini
Propriété 14. La limite en ou en d’une fonction rationnelle est la limite en ou en du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Exemple 15. On considère la fonction définie par: . Déterminons sa limite en
Le numérateur tend vers
Le dénominateur tend vers
Ainsi la limite de est une forme
indéterminée.
La présente écriture de ne permet pas de conclure.
Il nous allons donc appliquer la propriété présidente.
On a:
Calcul de limite en a d’une fonction non définie en a.
Règle 1
Lorsque l’on cherche la limite d’une fonction en
un réel qui annule en même temps le numérateur et
le dénominateur d’une fonction rationnelle (numérateur et dénominateur
polynômes) on factorise le numérateur et le dénominateur par , on simplifie la fonction puis on calcule la
limite en (lorsque c’est possible ) de la fonction
simplifiée.
Exemple 16. Calculons .
On a et .
Nous pouvons donc factoriser le numérateur et le dénominateur chacun par
.
On obtient donc
Règle 2
Lorsque l’on cherche la limite d’une fonction en
un réel qui annule en même temps le numérateur et
le dénominateur d’une fonction irrationnelle (expression avec radical au
dénominateur comme au numérateur), on factorise toujours par mais cette fois ci en utilisant la ou les
expressions conjuguées du numérateur et du dénominateur.
Exemple 17. Calculons la limite en de la fonction définie par:
On a et .
Transformons l’écriture de
en utilisant l’expression conjuguée du numérateur, il vient :
.
.
Règle 3
Lorsque l’on cherche la limite d’une fonction en
un réel qui annule uniquement le dénominateur, on
étudie le signe du dénominateur et l’on obtient une limite à droite et
une limite à gauche en de .
Exemple 18. Calculons la limite en de la fonction définie par:
On a et
Etudions le signe du dénominateur (celui du numérateur étant connu
).
A gauche de , nous pouvons écrire :
« Lire limite de quand
tend vers à gauche.» les deux notations sont
valables mais il faut savoir qu’il n’y a aucun lien entre le signe sur le et celui sur . Il n’en est pas toujours ainsi.
Le signe sur traduit le fait
que est inférieur à donc il
est positif, celui sur traduit aussi que la valeur
de est inférieure à mais
un nombre inférieur à est négatif.
En conclusion:
donc par quotient de limites .
Nous procédons de même pour la limite à droite et nous obtenons :
.
La fonction n’admet pas de limite en car la limite à droite est différente de celle à gauche.
Remarque 19. Lorsque alors admet une limite en .