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Factorisation des polynômes.
analysis
Rappels sur le trinôme du second degré
Equations du second degré
Définition 1. On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener sous la forme: avec .
Nous rappelons la méthode de résolution vue en classe de seconde.
Soit l’équation (E) suivante :.
On utilise le discriminant .
Si alors l’équation (E) n’a pas de solutions et n’est pas factorisable.
Si alors l’équation (E) a une seule solution et
Si alors l’équation (E) a deux solutions (ou racines) distinctes:
; et
Remarque 2. Si l’équation du second degré est incomplète du type ou alors il est inutile de calculer : on peut faire une factorisation pour trouver les racines.
Exemple 3. Résolvons dans les équations suivantes puis factoriser le trinôme figurant au 1 membre.
3
On a : .
Donc et .
et ainsi :
Factorisation:
On a :
Donc ainsi et on ne peut pas factoriser
On a :
Donc : il y a une seule solution ainsi
Factorisation:
.
Ici, il est inutile de calculer .
On a:
Donc ou (produit de facteurs nul)
soit ou et
Factorisation: déjà faite
Somme et produit des racines
Propriété 4.
Si l’équation a deux racines distinctes ou confondues (c’est-à-dire ), alors leur somme : et leur produit : .
Réciproquement, si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont les solutions de l’équation du second degré : ou du système .
Exemple 5. Résolvons dans le système suivant: .
On a: et
Résoudre un tel système, revient à résoudre l’équation .
On trouve . (faire les calculs).
Les solutions du système sont les couples et .
Equations bicarrées
Définition 6. On appelle équation bicarrée, toute équation (E) pouvant se ramener sous la forme: .
Pour résoudre une telle équation, on procède par un changement d’inconnue en posant qui mène à l’équation du second degré (E’): , ensuite on résout si possible les équations d’inconnue suivantes ; et où et sont les solutions possibles (E’).
Exemple 7. Soit à résoudre l’équation:
En posant ,l’équation devient .
Après calcul, on trouve comme solutions: et
.
On a soit ou
On a soit ou
D’où
Signe du trinôme
Propriété 8. Soit un trinôme du second degré.
Si alors est du signe de pour tout .
Si alors est du signe de pour tout et s’annule en .
Si alors est :
du signe de quand (on suppose ;
du signe opposé de quand ;
s’annule en et en .
Exemple 9. Résolvons dans les inéquations suivantes.
3
On a:
On a:
On trouve et
On a:
Donc
Factorisation d’un polynôme
Définition 10. Dire que le réel est une racine ou un zéro d’un polynôme , signifie que : .
Remarque 11. Déterminer les racines d’un polynôme , c’est résoudre l’équation .
Nous admettons le théorème suivant.
Théorème 12. Soit un polynôme et un réel.
est une racine de
si et seulement si est factorisable par .
Dans ce cas il existe un polynôme tel que : .
est le quotient de par et .
Remarque 13. Si et sont deux racines de alors est factorisable par et dans ce cas il existe un polynôme tel que et .
Exemple 14. Considérons le polynôme suivant:
Montrons que est factorisable par .
Ensuite déterminons le polynôme quotient tel que: puis factorisons .
On a
Donc 3 est une racine de c’est-à-dire que est factorisable par
D’après le théorème précédent, il existe un polynôme tel que : .Or est de degré trois donc sera de degré deux. Par conséquent nous devons déterminer trois réels , et tels que
Nous proposons ici la méthode Hörner1 pour déterminer de .
Méthode de Hörner
On utilise la disposition suivante appelée méthode de Hörner: Les valeurs , et figurant dans la dernière ligne, correspondent respectivement à celles des coefficients et de Soit .
correspond à la valeur figurant dans la dernière case de la dernière ligne du
tableau de Hörner. Cette valeur n’est pas nécessairement nulle.
Ce tableau permet donc de calculer et de
trouver en même temps les coefficients du polynôme
Factorisation de
Maintenant factorisons au mieux .
On a : (attention ceci n’est pas la factorisation demandée !)
On va continuer la factorisation si possible dans .
et , .
Donc .
(attention ceci n’est pas la factorisation demandée !)
On remplace par dans .
Finalement
cette expression est la factorisation de .
Remarque 15. Dans la démarche précédente, on a trouvé toutes les racines du polynôme . C’est-à-dire: , et .
On pourrait aussi vous demander d’étudier le signe à l’aide d’un tableau de signes puis de résoudre une inéquation comme nous le verrons dans les exercices.
Remarque 16. On pourrait aussi utiliser les méthodes vues en classe de première : la division ou l’identification des coefficients.
William George Hörner mathématicien allemand(1819-1845↩︎