21 Factorisation des polynômes.

Factorisation des polynômes.

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Rappels sur le trinôme du second degré

Equations du second degré

Définition 1. On appelle équation du second degré toute équation pouvant se ramener sous la forme: $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq = 0$ .

Nous rappelons la méthode de résolution vue en classe de seconde.

Soit l’équation (E) suivante : $a x^{2} + b x + c = 0$ .

On utilise le discriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Si $Δ < 0$ alors l’équation (E) n’a pas de solutions et $a x^{2} + b x + c$ n’est pas factorisable.
Si $Δ = 0$ alors l’équation (E) a une seule solution $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ et $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{0})^{2}$
Si $Δ > 0$ alors l’équation (E) a deux solutions (ou racines) distinctes:

$x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ ; $x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ et $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

Remarque 2. Si l’équation du second degré est incomplète du type $a x^{2} + b x = 0$ ou $a x^{2} + c = 0$ alors il est inutile de calculer $Δ$ : on peut faire une factorisation pour trouver les racines.

Exemple 3. Résolvons dans $R$ les équations suivantes puis factoriser le trinôme figurant au 1 membre.

$3 x^{2} - 2 x - 16 = 0$
$- 5 x^{2} + x - 1 = 0$
$- 4 x^{2} + 20 x - 25 = 0$
$2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$
$7 x^{2} + 3 x = 0$

$3 x^{2} - 2 x - 16 = 0$

On a : $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 3 (- 16) = 4 - 4 (- 48) = 4 + 192 = 196$ .

Donc $Δ > 0$ et $Δ = 14$ .

$x_{1} = \frac{2 - 14}{6} = \frac{- 12}{6} = - 2$ et $x_{2} = \frac{2 + 14}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ ainsi : $S = {- 2, \frac{8}{3}}$

Factorisation: $3 x^{2} - 2 x - 16 = 3 (x - \frac{8}{3}) (x + 2) = (3 x - 8) (x + 2)$
$- 5 x^{2} + x - 1 = 0$

On a : $Δ = (1)^{2} - 4 \times (- 5) (- 1) = 1 - 20 = - 19$

Donc $Δ < 0$ ainsi $S = \emptyset$ et on ne peut pas factoriser $- 5 x^{2} + x - 1$
$- 4 x^{2} + 20 x - 25 = 0$

On a : $Δ = (20)^{2} - 4 \times (- 4) (- 25) = 400 - 400 = 0$

Donc $Δ = 0$ : il y a une seule solution $x_{0} = \frac{- 20}{- 8} = \frac{5}{2}$ ainsi $S = {\frac{5}{2}}$

Factorisation: $- 4 x^{2} + 20 x - 25 = - 4 (x - \frac{5}{2})^{2}$
$7 x^{2} + 3 x = 0$ .

Ici, il est inutile de calculer $Δ$ .

On a: $7 x^{2} + 3 x = x (7 x + 3) = 0$

Donc $x = 0$ ou $7 x + 3 = 0$ (produit de facteurs nul)

soit $x = 0$ ou $x = - \frac{3}{7}$ et $S = {0, - \frac{3}{7}}$

Factorisation: déjà faite $7 x^{2} + 3 x = x (7 x + 3) .$

Somme et produit des racines

Propriété 4.

Si l’équation $a x^{2} + b x + c = 0$ a deux racines distinctes ou confondues (c’est-à-dire $Δ \geq 0$ ), alors leur somme : $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ et leur produit : $x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Réciproquement, si deux nombres ont pour somme S et pour produit P, alors ils sont les solutions de l’équation du second degré : $X^{2} - SX + P = 0$ ou du système ${x + y = S x y = P$ .

Exemple 5. Résolvons dans $R^{2}$ le système suivant: ${x + y = 5 x y = 6$ .

On a: $S = 5$ et $P = 6$

Résoudre un tel système, revient à résoudre l’équation $X^{2} - 5 X + 6 = 0$ .

On trouve $Δ = 25 - 24 = 1 et x_{1} = 3, x_{2} = 2$ . (faire les calculs).

Les solutions du système sont les couples $(2, 3)$ et $(3, 2)$ .

Equations bicarrées

Définition 6. On appelle équation bicarrée, toute équation (E) pouvant se ramener sous la forme: $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ .

Pour résoudre une telle équation, on procède par un changement d’inconnue en posant $X = x^{2}$ qui mène à l’équation du second degré (E’): $a X^{2} + b X + c = 0$ , ensuite on résout si possible les équations d’inconnue $x$ suivantes ; $x^{2} = X_{1}$ et $x^{2} = X_{2}$ où $X_{1}$ et $X_{2}$ sont les solutions possibles (E’).

Exemple 7. Soit à résoudre l’équation: $x^{4} - 4 x^{2} + 3 = 0$

En posant $X = x^{2}$ ,l’équation devient $X^{2} - 4 X + 3 = 0$ .
Après calcul, on trouve comme solutions: $X_{1} = 1$ et $X_{2} = 3$ .

On a $x^{2} = 1$ soit $x = 1$ ou $x = - 1$

On a $x^{2} = 3$ soit $x = 3$ ou $x = - 3$

D’où $S = {- 3, 3, - 1, 1}$

Signe du trinôme $a x^{2} + b x + c$

Propriété 8. Soit $a x^{2} + b x + c$ un trinôme du second degré.

Si $Δ < 0$ alors $a x^{2} + b x + c$ est du signe de $a$ pour tout $x \in R$ . $x a x^{2} + b x + c - \infty + \infty signe de a$
Si $Δ = 0$ alors $a x^{2} + b x + c$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq = - \frac{b}{2 a}$ et s’annule en $- \frac{b}{2 a}$ .

$x a x^{2} + b x + c - \infty signe de a - \frac{b}{2 a} 0 + \infty signe de a$
Si $Δ > 0$ alors $a x^{2} + b x + c$ est :
- du signe de $a$ quand $x \in] - \infty; x_{1} [\cup] x_{2}; + \infty [$ (on suppose $x_{1} < x_{2})$ ;
- du signe opposé de $a$ quand $x \in] x_{1}; x_{2} [$ ;
- s’annule en $x_{1}$ et en $x_{2}$ .
$x a x^{2} + b x + c - \infty signe de a x_{1} ∣ 0 signe de (- a) x_{2} ∣ 0 + \infty signe de a$

Exemple 9. Résolvons dans $R$ les inéquations suivantes.

$4 x^{2} - x + 2 \leq 0$
$- x^{2} + x + 2 > 0$
$x^{2} - 28 x + 7 > 0$

$1. 4 x^{2} - x + 2 \leq 0$ On a: $Δ = (- 1)^{2} - 4 \times 4 \times 2 = 1 - 32 = - 31$

$x 4 x^{2} - x + 2 - \infty + + \infty$

$S = \emptyset$

$2. - x^{2} + x + 2 > 0$ On a: $Δ = 1^{2} - 4 \times (- 1) \times 2 = 1 + 8 = 9$
On trouve $x_{1} = \frac{- 1 - 3}{- 2} = 2$ et $x_{2} = \frac{- 1 + 3}{- 2} = - 1$

$x - x^{2} + x + 2 - \infty - - 1 ∣ 0 + 2 ∣ 0 + \infty -$

$S =] - 1, 2 [$

$3. x^{2} - 28 x + 7 > 0$ On a: $Δ = (- 28)^{2} - 4 \times 1 \times 7 = 28 - 28 = 0$
Donc $x_{0} = \frac{28}{2} = \frac{2 7}{2} = 7$

$x x^{2} - 28 x + 7 - \infty + 7 ∣ 0 + \infty +$ $S =] - \infty, 7 [\cup] 7, + \infty [$

Factorisation d’un polynôme

Définition 10. Dire que le réel $α$ est une racine ou un zéro d’un polynôme $P (x)$ , signifie que : $P (α) = 0$ .

Remarque 11. Déterminer les racines d’un polynôme $P (x)$ , c’est résoudre l’équation $P (x) = 0$ .

Nous admettons le théorème suivant.

Théorème 12. Soit $P (x)$ un polynôme et $α$ un réel.

$α$ est une racine de $P (x)$ si et seulement si $P (x)$ est factorisable par $(x - α)$ .
Dans ce cas il existe un polynôme $Q (x)$ tel que : $P (x) = (x - α) Q (x)$ .

$Q (x)$ est le quotient de $P (x)$ par $(x - α)$ et $d^{\circ} Q = d^{\circ} P - 1$ .

Remarque 13. Si $α$ et $β$ sont deux racines de $P (x)$ alors $P (x)$ est factorisable par $(x - α) (x - β)$ et dans ce cas il existe un polynôme $Q (x)$ tel que $P (x) = (x - α) (x - β) Q (x)$ et $d^{\circ} Q = d^{\circ} P - 2$ .

Exemple 14. Considérons le polynôme suivant: $P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + 9$

Montrons que $P (x)$ est factorisable par $(x - 3)$ .

Ensuite déterminons le polynôme quotient $Q (x)$ tel que: $P (x) = (x - 3) Q (x)$ puis factorisons $P (x)$ .

On a $P (3) = 2 \times 3^{3} - 5 \times 3^{2} - 6 \times 3 + 9 = 54 - 45 - 18 + 9 = 9 - 9 = 0$

Donc 3 est une racine de $P (x)$ c’est-à-dire que $P (x)$ est factorisable par $(x - 3) .$
D’après le théorème précédent, il existe un polynôme $Q (x)$ tel que : $P (x) = (x - 3) Q (x)$ .
Or $P (x)$ est de degré trois donc $Q (x)$ sera de degré deux. Par conséquent nous devons déterminer trois réels $a$ , $b$ et $c$ tels que $P (x) = (x - 3) (a x^{2} + b x + c)$

Nous proposons ici la méthode Hörner¹ pour déterminer de $Q (x)$ .

$▶$ Méthode de Hörner

On utilise la disposition suivante appelée méthode de Hörner: $3 2 ⊠ 2 - 5 61 - 6 3 - 3 9 - 9 0$ Les valeurs $2$ , $1$ et $- 3$ figurant dans la dernière ligne, correspondent respectivement à celles des coefficients $a,$ $b$ et $c$ de $Q (x) .$ Soit $Q (x) = 2 x^{2} + x - 3$ .

$P (α)$ correspond à la valeur $0$ figurant dans la dernière case de la dernière ligne du tableau de Hörner. Cette valeur n’est pas nécessairement nulle.
Ce tableau permet donc de calculer $P (α)$ et de trouver en même temps les coefficients du polynôme $Q (x) .$

Factorisation de $P (x)$

Maintenant factorisons au mieux $P (x)$ .

On a : $P (x) = (x - 3) (2 x^{2} + x - 3)$ (attention ceci n’est pas la factorisation demandée !)

On va continuer la factorisation si possible dans $2 x^{2} + x - 3$ .

$Δ = 1 - 4 \times 2 (- 3) = 25$ et $x_{1} = \frac{- 1 - 5}{4} = - \frac{3}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 1 + 5}{4} = 1$ .
Donc $2 x^{2} + x - 3 = 2 (x + \frac{3}{2}) (x - 1) = (2 x + 3) (x - 1)$ . (attention ceci n’est pas la factorisation demandée !)
On remplace $(2 x^{2} + x - 3)$ par $(2 x + 3) (x - 1)$ dans $P (x)$ .
Finalement $P (x) = (x - 3) (2 x + 3) (x - 1)$ cette expression est la factorisation de $P (x)$ .

Remarque 15. Dans la démarche précédente, on a trouvé toutes les racines du polynôme $P (x)$ . C’est-à-dire: $3$ , $- \frac{3}{2}$ et $1$ .

On pourrait aussi vous demander d’étudier le signe $P (x)$ à l’aide d’un tableau de signes puis de résoudre une inéquation comme nous le verrons dans les exercices.

Remarque 16. On pourrait aussi utiliser les méthodes vues en classe de première : la division ou l’identification des coefficients.

William George Hörner mathématicien allemand(1819-1845↩︎