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Composition de deux applications.

analysis

Activité d’introduction 1. On considère les deux applications suivantes définies par : $f (x) = 2 x + 1$ et $g (x) = x$ .

Précise leurs ensembles de définition.
Calcule $f (4)$ puis $g (9)$ .
Calcule $f (40)$ puis $g (f (40))$ .
Calcule $f (0)$ puis $g (f (0))$ .
Calcule $g (f (3))$ .
Calcule $f (a)$ puis donne l’expression de $g (f (a))$ en fonction du nombre positif $a$ .

Définition - Notation - Exemples

Définition 2. Soient deux applications $f$ et $g$ .

On appelle composée de $g$ par $f$ , l’application notée $g \circ f$ définie par: $(g \circ f) (x) = g [f (x)]$

Méthode 3. Pour déterminer l’expression de $(g \circ f) (x)$ :

on cherche d’abord l’image de $x$ par $f$ , c’est-à-dire $f (x)$ ;
puis l’image de $f (x)$ par $g$ , c’est-à-dire $g (f (x))$ ;
on écrit alors : $g \circ f (x) = g [f (x)] .$

Dans les exemples suivants, déterminons l’expression des applications $g \circ f$ et de $f \circ g$ .

Exemple 4. Soit $f (x) = 2 x + 1$ et $g (x) = x$

On a $(g \circ f) (x) = g [f (x)] = g (2 x + 1) = 2 x + 1$

On a aussi $(f \circ g) (x) = f [g (x)] = f [x] = 2 x + 1$

Exemple 5. Soit $f (x) = x - 5$ et $g (x) = x^{2}$

On a $(g \circ f) (x) = g [f (x)] = g (x - 5) = (x - 5)^{2}$

On a aussi $(f \circ g) (x) = f [g (x)] = f [x^{2}] = x^{2} - 5$

Exemple 6. Soit $f (x) = \frac{x + 4}{x}$ et $g (x) = x$

Alors $(g \circ f) (x) = g [f (x)] = \frac{x + 4}{x}$

Remarque 7. En général $(g \circ f) \neq = (f \circ g)$

Exemple 8 (Reconnaissance). L’application $h$ définie sur $R$ par $h (x) = (x - 2)^{2}$ est la composée de l’application $f : R x ⟶ ⟼ R x^{2}$ par l’application $g : R x ⟶ ⟼ R x - 2$ Ainsi, on a : $h (x) = f [g (x)] = (f \circ g) (x) .$