16 Primitives

Primitives

algebra

Définition et propriétés

Définition 1. Soit un intervalle de et une fonction définie sur . Une primitive de sur est une fonction dérivable sur telle que pour tout , .

Exemple 2. Soit sur .

Alors, les fonctions suivantes sont des primitives de sur :

Propriété 3.

  • Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur .

  • Si est une primitive sur un intervalle d’une fonction , alors pour tout réel , est aussi une primitive de sur .

  • Pour tout couple réel , il existe une unique primitive de sur telle que .

Remarque 4. Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Détermination d’une primitive

Primitives usuelles

Formes de primitives

Propriété 5. Si et sont deux primitives respectives de et sur un intervalle :

  • est une primitive de sur ;

  • est une primitive de sur , pour tout réel ;

  • Si est dérivable sur et dérivable sur , alors une primitive de est .

Propriété 6. Soit une fonction dérivable sur un intervalle telle que soit continue sur :

Exemple 7.

  • , une primitive :

  • , une primitive :

  • , une primitive :