16 Primitives

Primitives

algebra

Définition et propriétés

Définition 1. Soit $I$ un intervalle de $R$ et $f$ une fonction définie sur $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ , $F^{'} (x) = f (x)$ .

Exemple 2. Soit $f (x) = 2 cos x sin x$ sur $R$ .

Alors, les fonctions suivantes sont des primitives de $f$ sur $R$ :

$F (x) = \frac{1}{2} sin^{2} x$
$F (x) = - \frac{1}{2} cos^{2} x$
$F (x) = - \frac{1}{2} cos (2 x)$
$F (x) = \frac{1}{2} sin^{2} x + 5$

Propriété 3.

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I$ .
Si $F$ est une primitive sur un intervalle $I$ d’une fonction $f$ , alors pour tout réel $k$ , $F + k$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$ .
Pour tout couple réel $(x_{0}, y_{0})$ , il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F (x_{0}) = y_{0}$ .

Remarque 4. Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Détermination d’une primitive

Primitives usuelles

$Fonction f a x^{n} \frac{1}{x ^{2}} \frac{1}{x ^{n}} \frac{1}{x} cos x sin x Primitive F a x \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{( n - 1 ) x ^{n - 1}} 2 x sin x - cos x Intervalle I R R R ∖ {0} R ∖ {0}] 0, + \infty [R R Commentaire a \in R n \in N n \in N ∖ {0, 1}$

Formes de primitives

Propriété 5. Si $F$ et $G$ sont deux primitives respectives de $f$ et $g$ sur un intervalle $I$ :

$F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$ ;
$λ F$ est une primitive de $λ f$ sur $I$ , pour tout réel $λ$ ;
Si $f$ est dérivable sur $I$ et $g$ dérivable sur $f (I)$ , alors une primitive de $(g^{'} \circ f) \cdot f^{'}$ est $g \circ f$ .

Propriété 6. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $u^{'}$ soit continue sur $I$ :

$Fonction f u^{'} u^{n} u^{'} / u^{n} \frac{u ^{'}}{u} cos (a x) sin (a x) sin^{n} x cos x cos^{n} x sin x Primitive F \frac{1}{n + 1} u^{n + 1} - \frac{1}{n - 1} u^{1 - n} 2 u \frac{1}{a} sin (a x) - \frac{1}{a} cos (a x) \frac{1}{n + 1} sin^{n + 1} x - \frac{1}{n + 1} cos^{n + 1} x Commentaire n \in N n \in N^{*}, n \neq = 1 a \neq = 0 a \neq = 0 n \in N n \in N$

Exemple 7.

$f_{1} (x) = sin^{2} x + x^{3}$ , une primitive : $F_{1} (x) = - \frac{1}{2} cos^{2} x + \frac{1}{4} x^{4}$
$f_{2} (x) = x (3 x^{2} - 1)^{3}$ , une primitive : $F_{2} (x) = \frac{1}{24} (3 x^{2} - 1)^{4}$
$f_{3} (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , une primitive : $F_{3} (x) = - \frac{1}{x ^{2} + 1}$