15 Similitudes directes

Similitudes directes

algebra

Définition 1. Une transformation du plan complexe est une application

A toute transformation du plan complexe, on peut associer une unique application telle que si , alors .

, qui est également bijective, est appelée transformation complexe associée à .

La formule   est appelée écriture ou expression complexe de la transformation .

Exemple 2.

  • La translation, l’homothétie et la rotation sont des transformations du plan.

  • La composée de deux transformations du plan est une transformation du plan.

Voici les écritures complexes de ces transformations du plan.

Écriture complexe d’une translation

Théorème 3. La translation de vecteur , d’affixe , transforme un point en un point tel que : .

Démonstration

Dire que est l’image de par la translation de vecteur revient à dire que , ce qui se traduit en termes d’affixes par soit .

Remarque 4.

  • La translation réciproque a pour vecteur .

  • Ajouter un nombre revient géométriquement à translater d’un vecteur d’affixe .

Écriture complexe d’une homothétie

Théorème 5. L’homothétie de centre et de rapport transforme un point en un point tel que : .

Démonstration

Dire que est l’image de par l’homothétie de centre et de rapport , signifie par définition que : , ce qui se traduit en termes d’affixes par : ou .

Exemple 6. Soit la transformation du plan qui, à tout point du plan associe le point tel que : .

Montrons d’abord que admet un unique point invariant.

Pour cela, résolvons l’équation .

.

La transformation admet donc un unique point invariant d’affixe .

Pour déterminer la nature de , exprimons en fonction de . On a : D’où en soustrayant membre à membre : ..

On en déduit, grâce à son écriture complexe, que est l’homothétie de centre et de rapport .

Remarque 7.

  • Comme cas particulier d’une homothétie, on a la symétrie centrale, qui est une homothétie de rapport .

    L’écriture complexe de la symétrie s de centre d’affixe est s.

  • Lorsque O (origine du repère )est le centre de l’homothétie alors .

Écriture complexe d’une rotation

Théorème 8. La rotation de centre et d’angle transforme un point en un point tel que : ou .

Démonstration

Si , la relation est triviale.

Si , dire que est l’image de par la rotation de centre et d’angle signifie que :

Ce qui se traduit en termes d’affixes par : On en déduit que : d’où .

Cas particulier

Si O, l’écriture complexe de la rotation devient : .

Exemple 9. On donne deux points distincts et . On construit le carré ABCD de sens direct. Quelle est l’affixe du centre du carré ABCD ?

Il suffit de remarquer que B est l’image de A par la rotation de centre et d’angle .

.

Exercice 10.

  1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct .

    Soit , et les points d’affixes respectives , et .

    1. Déterminer l’écriture complexe de la translation de vecteur puis trouver l’image du point .

    2. Déterminer l’écriture complexe de la rotation de centre et d’angle puis trouver l’image de .

    3. Déterminer le rapport de l’homothétie de centre qui transforme en .

    4. Déterminer le centre de la rotation d’angle qui transforme en .

  2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations suivantes :

    a) b)

Similitudes directes

Définition 11 (Rappel). On appelle similitude plane directe, toute transformation du plan dans lui-même qui multiplie les distances par un nombre réel , appelé rapport et qui conserve les mesures d’angles.

Les éléments caractéristiques d’une similitude directe sont:

le rapport,

le centre,

l’angle.

Exemple 12.

  • Une translation de vecteur non nul est une similitude directe de rapport et d’angle .

  • Une homothétie de centre et de rapport est une similitude directe de centre , de rapport et d’angle si ou si .

  • Une rotation de centre et d’angle est une similitude directe de rapport , de centre et d’angle .

Toute similitude directe S de centre , de rapport et d’angle est notée par S(, , ).

, et sont les éléments caractéristiques de la similitude directe.

Propriétés géométriques d’une similitude directe

Soit la similitude directe de centre , de rapport et d’angle qui transforme le point en .

Remarque 13.

  • Le centre de la similitude est le seul point invariant.

  • Une similitude directe qui n’admet pas de point invariant est une translation.

Propriété 14.

  • Une similitude directe multiplie:

    • les distances par ,

    • les aires par .

  • Une similitude directe conserve:

    • l’alignement des points,

    • le parallélisme,

    • l’orthogonalité,

    • le contact.

    • le barycentre

    • les angles orientés.

  • Par une similitude directe S l’image d’une droite passant les points A et B est une droite passant par les images A’ et B’ de A et B par S.

  • Par une similitude directe S l’image d’un cercle de centre et de rayon est un cercle de centre image de par S et de rayon .

  • La réciproque d’une similitude directe , , ) est une similitude directe .

  • La composée de deux similitudes directes de même centre , est une similitude directe de même centre, de rapport le produit des rapports et d’angle, la somme des angles.

    S(, , )S’(, , )S(, , )

Remarque 15. Soit la similitude directe , , ). Alors :

Expression complexe d’une similitude directe

Activité d’introduction 16. Le plan complexe est muni du repère orthonormé (O; I , J).

On considère l’application du plan complexe dans lui-même qui à tout point d’affixe associe le point d’affixe .

  1. Déterminer l’image du point d’affixe .

  2. Quelle est l’affixe de l’image du point O ? du point I ? du point J?

  3. Déterminer l’affixe de l’antécédent du point .

  4. Quelle est l’affixe de l’antécédent du point O ?

  5. Déterminer le point dont l’affixe vérifie .

  6. Exprimer en fonction de sous la forme et sont des nombres complexes écrits sous forme algébrique.

Activité d’introduction 17. On considère l’application du plan complexe dans lui-même qui à tout point d’affixe associe son image d’affixe telle que et sont des nombres complexes non nuls.

On donne les points , , et

  1. Déterminer et sachant que et .

  2. Déterminer tel que .

  3. Exprimer en fonction de .

  4. En posant et exprimer et en fonction de et .

Théorème 18 (Écriture complexe). La similitude directe de centre d’affixe , de rapport et d’angle transforme un point en un point tel que : ou .

Démonstration

ou .

Conséquence 19. Toute similitude directe a une écriture complexe de la forme : , et l’affixe de l’image du point d’affixe .

Réciproque

Toute transformation admettant une écriture de la forme : avec est une similitude directe de rapport et d’angle .

Démonstration

Soient et points quelconques du plan d’images respectives et par .

alors d’où .

D’où

Et , donc f est une similitude de rapport .

De plus, comme , son argument existe et

Donc : .

D’où :

est une similitude et l’angle entre un vecteur et son image est constant donc :

est donc une similitude directe et son angle vaut cette constante : .

Théorème 20. Soient A, B, A’ et B’ quatre points donnés du plan tels que A B et A’ B’.

Alors, il existe une unique similitude directe telle que : (A) = A’ et (B) = B’.

Démonstration

Si une telle similitude existe alors il existe deux nombres complexes et , avec 0 tels que:

et

alors : soit et on a :

Si existe, le couple est unique et est donc elle aussi unique.

Soit la similitude directe dont l’écriture complexe est et .

étant différent de , donc est défini.

et

Donc

De plus, comme , donc est non nul et est donc définie.

D’où : et .

Une similitude directe transformant A en A’ et B en B’ existe donc et est unique.

Expression analytique d’une similitude directe

À partir de l’écriture complexe d’une similitude s directe, on peut en déduire l’écriture analytique. Pour cela on remplace par et par dans . Puis on exprime et en fonction de et .

Exemple 21. Soit s :

Utilisation des nombres complexes pour déterminer la nature d’une transformation géométrique

Théorème 22. Soit une similitude directe s d’écriture complexe : avec .

  • si : s est la translation de vecteur d’affixe .

  • si : alors s admet un unique point invariant d’affixe : et s est la composée :

    • de l’homothétie de centre et de rapport (rapport de s) et

    • de la rotation de centre et d’angle :   (angle de s)

      est appelé le centre de la similitude directe s.

      Et une écriture complexe de s est alors .

  • si et alors s est une rotation de centre d’affixe et d’angle   .

  • si alors s une homothétie de centre d’affixe et de rapport .

Récapitulatif des écritures complexes

Exercice 23.

  1. Identifier la transformation définie par l’écriture complexe donnée et préciser ses éléments caractéristiques

    a)
    b)
    c)
    d)

  2. Donner l’écriture complexe des similitudes directes ci-dessous de centre d’affixe , de rapport et d’angle .

    a) ,
    b) ,
    c) , ,

    d) , ,
    d) , ,
    e) , ,