13 Équations différentielles

Équations différentielles

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Les équations différentielles : un outil fondamental

Les équations différentielles occupent une place centrale en analyse mathématique depuis plusieurs siècles. Elles permettent de modéliser de nombreux phénomènes réels dans des domaines variés tels que la physique, la mécanique, l’astronomie, la chimie, la biologie ou encore l’économie.

Historiquement, elles sont nées des besoins de la physique, où il s’agissait de décrire l’évolution de systèmes dynamiques. Des mathématiciens célèbres comme Clairaut, Bernoulli, d’Alembert, Lagrange, Cauchy ou encore Lipschitz ont contribué à leur développement.

Dans ce chapitre, nous nous concentrerons sur un cas particulier : les équations différentielles linéaires à coefficients constants et à second membre nul, qui sont à la fois simples à manipuler et riches en applications.

Activité d’introduction 1. Une expérience consiste à étudier l’évolution d’une population de bactéries.
On désigne par le nombre de bactéries à l’instant , le nombre de bactéries à l’instant et on note la vitesse instantanée d’évolution des bactéries l’instant .

  1. On constate que .

    1. Donner le nombre de bactéries à l’instant , et .

    2. Donner une relation R entre et .

    3. Déterminer la vitesse instantanée d’évolution aux instants et .

Généralités

Définition 2. On appelle équation différentielle, toute équation ayant pour inconnue une fonction, dans laquelle figure au moins une des dérivées successives de la fonction inconnue.

Notation 3. La fonction inconnue est souvent notée et ses dérivées successives ,

Exemple 4. sont des équation différentielles.

Vocabulaire

  • Une équation différentielle est dite d’ordre n lorsque le plus grand ordre des dérivées intervenant dans cette équation est .

  • Une équation différentielle est dite linéaire si elle ne contient pas de puissances de ou , ou d’exposants supérieurs ou égaux à 2 , ni leur produit.

  • Une équation différentielle est dite homogène lorsque le second membre de cette équation est nul.
    Ainsi, est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2.
    L’expression << sans second membre >> est un abus de langage qui signifie que le second membre est nul.

  • Toute fonction vérifiant une équation différentielle sur un intervalle est appelée solution sur de cette équation différentielle.

  • Résoudre ou (intégrer) une équation différentielle sur un intervalle ouvert , c’est déterminer l’ensemble des solutions sur de cette équation différentielle.

Équations différentielles du premier ordre

Définition 5. Une équation différentielle linéaire homogène du 1 ordre à coefficients constants est une équation du type ou toute équation s’y ramenant, et sont des constantes réelles et une fonction inconnue à déterminer, définie et dérivable sur un intervalle de

Résolution

On se propose de résoudre sur l’équation différentielle (E) (
La fonction nulle est solution de (E) (évident).
Soit une solution de (E) ne s’annulant pas sur La fonction ne s’annule pas sur ; donc elle est de signe constant.
On en déduit que: .
Ainsi, en ajoutant la fonction nulle, les fonctions sont solutions de (E).
Démontrons que toute solution de (E) est de cette forme.
Soit une solution de (E) et la fonction
La fonction est dérivable sur et sa dérivée est la fonction
Or donc est la fonction nulle et est une fonction constante.
Il existe un nombre réel tel que:
c’est à dire: ;
Donc toute solution de (E) est de la forme
De cette étude, on en déduit la propriété suivante:

Propriété 6. Les solutions sur de l’équation différentielle sont les fonctions .

Exemple 7. Résoudre sur les équations différentielles et

Solution. Les solutions sur de l’équation différentielle sont les fonctions
Les solutions sur de l’équation différentielle
sont les fonctions  ◻

Solution vérifiant une condition initiale

Reprenons l’équation différentielle (E)
Soit et deux nombres réels.
On se propose de déterminer les solutions sur de (E) vérifiant . Donc la fonction est l’unique solution sur de (E) vérifiant .
On en déduit la propriété suivante:

Propriété 8. Pour tout couple , de nombres réels, l’équation différentielle admet une unique solution sur qui prend la valeur en .

Exercice 9. Résoudre sur l’équation différentielle
En déduire la solution qui prend la valeur en .

Solution. Les solutions sur de l’équation différentielle ; sont les fonctions
Déterminons parmi ces solutions celle qui prend la valeur en .
On a:
Donc la fonction est l’unique solution vérifiant . C’est celle dont la courbe passe par le point de coordonnées . ◻

Remarque 10. Les équations différentielles du type modélisent des situations très diverses, où la vitesse de variation d’une quantité est proportionnelle à cette quantité même . Par exemple l’accroissement d’une population, en un temps , proportionnel à la taille de cette population.

Exercice 11. Une substance chimique se dissout dans l’eau. On admet que la vitesse de dissolution est proportionnelle à la quantité non encore dissoute. A l’instant ( en minutes), on place 20 grammes de cette substance dans une grande quantité d’eau.
Sachant que les dix premiers grammes se dissolvent en cinq minutes, déterminer une expression de la quantité non dissoute , en grammes, en fonction de .

Cas d’une équation différentielle avec second membre

Exercice 12. Soient les équations différentielles : (E et (E) .
1) Trouver les réels et pour que soit solution de(E), avec .
2) Démontrer que est solution de (E) si et seulement si est solution de (E.
3) Résoudre (E.
4) Déduire des questions précédentes, la solution générale de (E).

Solution. 1) On a
Donc et càd et
2) Supposons que est solution de (E)

On a: Donc par différence membre à membre càd
d’où la fonction est solution de (E).

Supposons que est solution de (E

On a d’où est solution de (E).

) Les solutions sur de l’équation différentielle sont les fonctions .
4) D’après 2) est solution de (E) est solution de (E
Donc est solution de (E)
D’où est solution de (E)
Les solutions sur de l’équation différentielle sont les fonctions
. ◻

Équations différentielles du second ordre

Définition 13. Une équation différentielle linéaire homogène du 2 ordre à coefficients constants est une équation du type ou toute équation s’y ramenant, et et sont des constantes réelles et une fonction inconnue à déterminer, définie et dérivable sur un intervalle de

Définition 14. Équation caractéristique On appelle équation caractéristique de l’équation différentielle: , l’équation du second degré d’inconnue .

Exemple 15. Les équations caractéristique de chacune des équations différentielles suivantes
et sont respectivement et .

Méthode de résolution

Pour résoudre sur une équation différentielle du type , on peut résoudre l’équation caractéristique
et utiliser le tableau suivant.

Exercice 16. Résoudre sur les équations différentielles suivantes:

Solution.

  1. L’équation caractéristique est donc
    D’où les solutions sur l’équation différentielle sont les fonctions

  2. L’équation caractéristique est donc et
    D’où les solutions sur l’équation différentielle sont les fonctions

  3. L’équation caractéristique est donc et
    D’où les solutions sur l’équation différentielle sont les fonctions

  4. L’équation caractéristique est donc et
    D’où les solutions sur l’équation différentielle sont les fonctions

 ◻

Solution vérifiant une condition initiale

Propriété 17. Pour tous nombres réels , et ,l’équation différentielle admet une unique solution sur telle que: et

Exemple 18. Déterminons la solution sur l’équation différentielle sachant que et .

Solution. Les solutions sur de l’équation différentielle sont les fonctions Pour et , on a et donc et .
D’où  ◻