12 Calcul intégral (TS2)
Calcul intégral (TS2)
algebra
L’origine du concept d’intégration remonte sans conteste aux problèmes géométriques posés par les Grecs de l’Antiquité : calculs d’aires, de volumes, de longueurs, de centres de gravité ou encore de moments. Parmi les précurseurs grecs du calcul intégral, deux figures majeures se distinguent : Eudoxe et Archimède.
Au XVIIe siècle, plusieurs mathématiciens européens s’inspirent des méthodes rigoureuses d’Archimède. C’est ainsi que Cavalieri (1598–1647), Torricelli (1608–1647), Roberval (1602–1675) et Fermat (1601–1665) réalisent de nombreuses quadratures, notamment celle de l’aire sous la courbe d’équation
C’est également au XVIIe siècle que Leibniz (1646–1716) et Newton (1642–1727) font franchir une étape décisive au calcul intégral. Tous deux contribuent à sa formalisation, en introduisant des notations et en le reliant au calcul différentiel, ouvrant ainsi la voie à une théorie plus générale.
Au XIXe siècle, des mathématiciens comme Cauchy et Riemann apportent une rigueur nouvelle à la théorie de l’intégration, en la dotant de fondements analytiques solides.
L’intégration est aujourd’hui un concept central des mathématiques, issu à la fois du calcul des aires et de l’analyse mathématique. Elle intervient dans de nombreuses branches des mathématiques, permettant par exemple de calculer l’aire d’un domaine délimité par le graphe d’une fonction, ou encore la longueur d’une courbe, le volume d’un solide, un flux ou une probabilité.
Parce qu’elle est essentielle dans de nombreux domaines scientifiques, l’intégration est abordée dès le secondaire, et approfondie tout au long du parcours mathématique.
Activité d’introduction 1. On considère la fonction
définie par: .
Le plan est muni d’un repère orthogonal , l’unité d’aire notée par
u.a, est l’aire du rectangle de dimensions et .
Tracer la courbe représentative de .
Soit la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe de et les droites d’équations et .
Calculer l’aire de .Déterminer la primitive de sur qui prend la valeur en .
Vérifier que .
Montrer que si G est une autre primitive de sur , alors .
Soit une fonction continue sur
un intervalle I.
Pour tous réels et de I, la
valeur ne dépend pas de la primitive
choisie.
Définition et notation
Définition 2. Soit une
fonction continue sur un intervalle I, et deux réels de I , une primitive
de sur I.
On appelle intégrale de entre et le nombre réel défini par
.
Ce réel est noté d’où:
Notation 3. Pour toute primitive de sur I, l’expression se note aussi par .
L’expression est la
variation de entre et et se lit << prit entre
et . >> On écrit: .
Remarque 4. Dans l’écriture , on peut remplacer la lettre par n’importe quelle lettre et on peut écrire . On dit que est une variable muette.
Exemple 5. Calculons
Une primitive de la fonction
sur est la fonction
On a donc
Propriétés algébriques de l’intégrale
Propriété 6. Soit une fonction
continue sur un intervalle I. , et des réels de I. Alors:
(Relation de Chasles)
Démonstration
Soit une primitive de sur
I.
Théorème 7 (linéarité). Soit
et deux fonctions continues sur l’intervalle .
Pour tous réels et
Démonstration
Soit et deux primitives
respectives de et sur . Alors pour tous réels et est une primitive de sur . On peut écrire:
Théorème 8 (positivité). Soit une fonction continue sur . Si est positive sur alors
Démonstration
Toute primitive de sur est croissante d’où
Conséquence 9 (comparaison). Soit et deux fonctions continues sur
Si pour tout de , alors
Démonstration
La fonction est positive, il en résulte de la
positivité de l’intégrale que ou
encore
Conséquence 10. Soit une fonction continue sur , alors
Démonstration
La propriété découle de la conséquence 9 et de la double inégalité .
Valeur moyenne et inégalité de la moyenne
Définition 11. Soit une
fonction continue sur , .
On appelle valeur moyenne de sur le nombre réel défini par :
Théorème 12 (inégalité de la moyenne). Soit une fonction continue sur , .
S’il existe deux nombres réels et tels que sur , alors:
.
Démonstration
D’après la propriété de comparaison,
D’où le résultat.
Techniques de calcul de l’intégrale.
Le calcul de l’intégrale d’une fonction continue entre et se réduit généralement à la recherche de primitive de sur et au calcul de . Dans certains cas, ce calcul utilise des transformations d’écriture.
Intégration par parties
Pour avancer dans le calcul d’une intégrale comportant un produit, il peut être intéressant de transformer cette intégrale en une autre par le résultat suivant :
Théorème 13 (Théorème d’intégration par parties). Soient et deux fonctions dérivables sur et telles que leurs dérivées et sont continues sur . Alors,
Démonstration
Nous savons que : D’où : soit :
Exemple 14. Calculons l’intégrale
Remarque 15. L’intégration par parties est utile :
pour calculer directement des intégrales où une fonction a une dérivée simple ;
pour former une relation sur les termes d’une suite d’intégrale.
Intégration de produits et de puissances de fonctions trigonométriques
L’objectif est de montrer comment calculer des intégrales de la
forme
,avec ou des
entiers naturels.
1 cas ou impair.
Exemple considérons l’intégrale .En écrivant , montrer que est la somme de termes de la forme , avec entier naturel.
En déduire le calcul de I.
2 cas et pairs.
On considérons par exemple l’intégrale .
Calcul d’aires planes
Interprétation géométrique de l’intégrale.
Théorème 16 (admis). Le plan est muni d’un repère
orthogonal.
Soit une fonction continue et positive sur un
intervalle et une primitive de sur .
L’aire (en u.a) de la partie du plan délimitée par la courbe de , l’axe des abscisses et les droites d’équations et , est égale à l’intégrale .
Théorème 17 (admis). Le plan est muni d’un repère
orthogonal.
Soit une fonction continue sur un intervalle et une
primitive de sur .
L’aire ( en u.a) de la partie du plan limitée par la courbe de , l’axe des abscisses et les droites d’équations et , est le réel .
Théorème 18 (admis). Le plan est muni d’un repère
orthogonal.
Soit et deux fonctions
continues sur un intervalle .
L’aire (en u.a) de la partie du plan limitée par la courbe de la courbe de et les droites
d’équations et , est le
réel .
Calcul de volumes
L’espace est muni du repère orthogonal (O,I,J,K)
L’unité de volume noté u.v, est le volume du parallélépipède construit à
partir des points O,I,J,K.
Théorème 19 (admis). Le volume de la partie d’un solide limité par les plan et d’équation respective et en unité de volume est : Où est l’aire de la section du solide par le plan d’équation , avec S continue sur
Calcul de volumes de solides de révolution
On considère, dans un repère orthonormé, la fonction définie sur par : À partir de sa courbe représentative (en trait épais ci-dessous), on engendre un volume en la faisant tourner autour de l’axe des abscisses, comme indiqué sur le graphique suivant :
On peut voir ce volume comme la somme des aires des disques de rayon
, pour variant de à . Un de ces disques a pour aire
: .
Ainsi, le volume peut se calculer par :
Posons : et calculons-là à
l’aide d’une intégration par parties.
On pose alors : et donc et . D’où :
On en déduit alors que , soit :
Le volume cherché est donc :
Nous donnons ci-dessous la formule donnant le volume du solide de revolution engendré par la rotation d’un arc de courbe autour de l’axe (O,x).
Propriété 20. L’espace est muni d’un repère
orthonormé
Soit une fonction continue et positive sur . Le volume V du solide de révolution engendré par
la rotation de la courbe autour de
l’axe est le réel: V en unité
de volume.