1 Fonctions numériques. Rappels et compléments

Fonctions numériques. Rappels et compléments

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Limites

Lorsque nous écrivons $\infty$ cela signifie que c’est valable pour $+ \infty$ comme pour $- \infty$

Il existe quatre cas d’indétermination dans les opérations sur les limites: $<< + \infty - \infty >>; << \frac{\infty}{\infty} >>; << \frac{0}{0} >>; << 0 \times \infty >>$

Limites usuelles

$n \in N^{*}$

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$
$x \to - \infty lim x^{n} = {+ \infty - \infty si n pair si n impair$
$x \to + \infty lim x = + \infty$
$x \to \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x} = 0$

Remarque 1. Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limites à l’infini.

Limite de la composée de deux fonctions

Propriété 2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $a$ , $b$ et $c$ trois réels pouvant éventuellement être $+ \infty$ ou $- \infty$ . $Si x \to a lim f (x) = b et x \to b lim g (x) = c alors x \to a lim g [f (x)] = c$

Exemple 3. Calculons $x \to + \infty lim cos (\frac{x + 1}{x ^{2} - 2})$

On a: $x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x ^{2} - 2} = 0$ et $x \to 0 lim cos x = cos 0 = 1$ donc par composée $x \to + \infty lim cos (\frac{x + 1}{x ^{2} - 2}) = 1$

Comparaisons de limites

Théorème 4. Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions et $l \in R$ et $a = + \infty$ ou $a = - \infty$ ou $a \in R$ .

$Hypoth \overset{e}{ˋ} se 1 f \leq g f \leq g ∣ f (x) - l ∣ \leq g (x) g \leq f \leq h Hypoth \overset{e}{ˋ} se 2 x \to a lim f (x) = + \infty x \to a lim g (x) = - \infty x \to a lim g (x) = 0 x \to a lim g (x) = l et x \to a lim h (x) = l Conclusion x \to a lim g (x) = + \infty x \to a lim f (x) = - \infty x \to a lim f (x) = l x \to a lim f (x) = l$

Remarque 5. Le dernier théorème est parfois appelée << le théorème des gendarmes >>.

Exemple 6.

Soit $f (x) = x + 3 cos x$ .
Pour tout $x \in R$ : $x - 3 \leq f (x) \leq x + 3$
$\cdot$ On a : $x - 3 \leq f (x)$ et $x \to + \infty lim x - 3 = + \infty$ donc $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$
$\cdot$ On a : $f (x) \leq x + 3$ et $x \to - \infty lim x - 3 = - \infty$ donc $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$
Calculons $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x}$ .
Pour tout $x \geq 1$ : $- 1 \leq sin x \leq 1$
En multipliant par $\frac{1}{x}$ : on a $- \frac{1}{x} \leq \frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$
Or $x \to + \infty lim (- \frac{1}{x}) = x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ donc $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0$

Limites et nombre dérivé

Théorème 7. Soit $f$ une fonction dérivable.

$Si x \to a lim f^{^{'}} (x) = l, (l r \overset{e}{ˊ} el fini ou pas) alors x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = l$

Exemple 8. Calculons $x \to 0 lim \frac{sin x}{x}$

Posons $f (x) = sin x$
On a $f (0) = 0$ et $f^{^{'}} (x) = cos x$ $Donc x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = x \to 0 lim f^{^{'}} (x) = x \to 0 lim cos x = 1$

Branches infinies d’une courbe

Soit une fonction numérique $f$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

Asymptotes

Asymptote verticale

Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction $f$ admet une limite infinie en un réel $a$ .

Définition 9. Si $x \to a^{+} lim f (x) = \infty$ ou $x \to a^{-} lim f (x) = \infty$ ou $x \to a lim f (x) = \infty$ alors la droite d’équation (D) $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $C$ .

$tikzpicture-1$

$x \to a^{+} lim f (x) = + \infty$

$tikzpicture-2$

$lim_{x \to a^{-}} f (x) = - \infty$

Asymptote horizontale

Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction $f$ admet une limite finie à l’infini.

Définition 10. Si $x \to \infty lim f (x) = b$ (réel) alors la droite $y = b$ est une asymptote horizontale à la courbe $C$ en $\infty$ .

$tikzpicture-3$

Exemple 11. Pour la fonction $f : x \mapsto 3 + \frac{5}{x - 1}$

la droite d’équation $y = 3$ est asymptote horizontale
la droite d’équation $x = 1$ est asymptote verticale à la courbe de $f .$

Asymptote oblique

Définition 12. Soit $f$ une fonction et $Δ$ la droite d’équation $y = a x + b$ .

Si $x \to \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0$ alors la droite d’équation $y = a x + b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ en $\infty$ .

$tikzpicture-4$

Exemple 13. Pour la fonction $f : x \mapsto x + \frac{2}{x - 1}$ dont la courbe est représentée ci dessous, la droite d’équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe de $f$ .

Remarque 14. Si $f$ s’écrit sous la forme $f (x) = a x + b + g (x)$ et si $x \to \infty lim g (x) = l (r \overset{e}{ˊ} el)$ alors la droite $y = a x + b + l$ est une asymptote à $C$ en $\infty.$

Exemple 15. Pour la fonction $f : x \mapsto 2 x + 5 - \frac{2 x}{x - 1}$ la droite d’équation $y = 2 x + 3$ est asymptote oblique à sa courbe en $\infty$ car $x \to \infty lim \frac{2 x}{x - 1} = 2$ .

Position relative d’une courbe et son asymptote

Pour étudier la position relative de la courbe $C$ d’une fonction $f$ par rapport à son asymptote $Δ : y = a x + b$ , on étudie le signe de la différence $f (x) - a x - b$ .

Si $f (x) - a x - b > 0$ alors $C$ est située au-dessus de la courbe de $Δ$
Si $f (x) - a x - b < 0$ alors la courbe de $C$ est située en-dessous de la courbe de $Δ$
Si $f (x) - a x - b = 0$ alors la courbe de $C$ et $Δ$ sont sécantes.

On tiendra compte de l’ensemble sur lequel on doit étudier la position relative des deux courbes.

Recherche de branches infinies

Lorsque $x \to \infty lim f (x) = \infty$ , la courbe $C$ présente une branche infinie qu’il faut étudier.

Si $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ alors la courbe $C$ présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des abscisses.
Si $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = \infty$ alors la courbe $C$ présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées.
Si $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a$ réel non nul alors on calcule $lim_{x \to \infty} (f (x) - a x)$

$∙$ Si $x \to \infty lim (f (x) - a x) = b$ (réel) alors la droite $(D)$ d’équation : $y = a x + b$ est asymptote à la courbe $C$ .

$∙$ Si $x \to \infty lim (f (x) - a x) = \infty$ alors la courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’équation $y = a x$ .

Exercice 16. On considère la fonction $f$ définie par : $f (x) = {x + 4 si x \geq 2 x + 3 - \frac{2}{x - 1} si x < 2$

Déterminer les limites aux bornes de $D_{f}$ .
Etudier la nature des branches infinies de la courbe $C$ .
Etudier la position relative de $C$ par rapport à son asymptote oblique.

Solution.

$f (x)$ existe ssi ${x + 4 \geq 0 x \geq 2$ ou ${x - 1 \neq = 0 x < 2$

$f (x)$ existe ssi ${x \geq - 4 x \geq 2$ ou ${x \neq = - 1 x < 2$

$f (x)$ existe ssi $x \geq 2$ ou $x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 2 [$
donc $f (x)$ existe ssi $x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 2 [\cup [2, + \infty [$

D’où $D_{f} =] - \infty, - 1 [\cup] - 1, + \infty [$

Limites aux bornes de $D_{f}$ $x \to + \infty lim x + 4 = + \infty$ par composée $x \to + \infty lim x + 4 = + \infty$ d’où $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$
$x \to - \infty lim x + 3 - \frac{2}{x - 1} = x \to - \infty lim x + 3 - x \to - \infty lim \frac{2}{x - 1} = - \infty$ d’où $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$
L’étude de la limite en $1$ se fait uniquement sur la restriction $x \mapsto x + 3 - \frac{2}{x - 1}$
$⎩ ⎨ ⎧ lim_{x \to 1^{+}} x + 3 = 4 x \to 1^{+} lim - \frac{2}{x - 1} = - \infty$ donc $x \to 1^{+} lim f (x) = - \infty$
$⎩ ⎨ ⎧ x \to 1^{-} lim x + 3 = 4 x \to 1^{-} lim - \frac{2}{x - 1} = + \infty$ donc $x \to 1^{-} lim f (x) = + \infty$
Puisque $x \to 1^{+} lim f (x) = - \infty$ et $x \to 1^{-} lim f (x) = + \infty$ donc la droite d’équation $x = 1$ est une asymptote verticale à la courbe de $f .$
Puisque la restriction de $f$ sur $] - \infty, 2 [$ s’écrit sous la forme $x \mapsto x + 3 - \frac{2}{x - 1}$ et que $x \to - \infty lim \frac{2}{x - 1} = 0$ donc la droite $Δ$ d’équation $y = x + 3$ est une asymptote oblique à la courbe de $f .$
D’autre part $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ doc $C_{f}$ présente une branche infinie en $+ \infty.$
Calculons $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$
$x \to + \infty lim \frac{x + 3}{x} = x \to + \infty lim \frac{x + 3}{x x + 3} = x \to + \infty lim \frac{x + 3}{x} \times x \to + \infty lim \frac{1}{x + 3} = 1 \times 0 = 0$ d’où $C_{f}$ admet un branche parabolique d’axe (Ox).
Etudions la position relative de $Δ$ et $C_{f}$ .
Pour cela étudions le signe de $f (x) - (x + 3) = - \frac{2}{x - 1}$ pour $x < 2$

$x signe de - \frac{2}{x - 1} - \infty + 1 ∣ - 2$

Sur $] - \infty, 1 [$ $- \frac{2}{x - 1} > 0$ donc $C_{f}$ est au dessus de $Δ.$
Sur $] - \infty, 1 [$ $- \frac{2}{x - 1} < 0$ donc $C_{f}$ est au dessous de $Δ.$

◻

Continuité

Continuité en un réel

Définition 17. Une fonction $f$ est continue en un réel $a$ ssi $a \in D_{f}$ et $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

Exemple 18. Soit $f (x) = {\frac{x - 1}{x - 1} si x \neq = 1 \frac{1}{2} si x = 1$

Etudions la continuité de $f$ en 1.
Pour $x \neq = 1$ , $f (x)$ existe si et seulement, si $x \geq 0$ et $x - 1 \neq = 0$

si et seulement, si $x \geq 0$ et $x \neq = 1$

si et seulement, si $x \in [0, 1 [\cup] 1, + \infty [$

Or $f (1) = \frac{1}{2}$ d’où $f (x)$ existe si et seulement, si $x \in [0, + \infty [$
$x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim \frac{x - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$
donc $x \to 1 lim f (x) = f (1) = \frac{1}{2}$ d’où $f$ est continue en $1.$

Continuité à droite - continuité à gauche

Propriété 19. $f$ est continue en $a$ si et seulement, si $x \to a^{+} lim f (x) = x \to a^{-} lim f (x) = f (a)$ .

Prolongement par continuité

Définition 20. Soit $f$ une fonction non définie en $a$ et $l$ un nombre réel tel que $x \to a lim f (x) = l .$
On appelle prolongement par continuité de $f$ en $a$ , la fonction $g$ définie par : $g (x) = {f (x) si x \neq = a l si x = a$ NB: La fonction $g$ est définie et continue en $a$ .

Exemple 21. Montrons que la fonction $f : x \mapsto \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2}$ est prolongeable par continuité en 2 et trouvons son prolongement par continuité.

Réponse:
$f (x)$ existe si et seulement, si $x \neq = 2$ .
$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 1) = 3$ finie donc $f$ est prolongeable par continuité en $2.$
Son prolongement par continuité en $2$ est la fonction $g$ définie par : $g (x) = {\frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} si x \neq = 2 3 si x = 2$

Dérivabilité

Dérivabilité en un réel

Définition 22. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .
$f$ est dérivable en $a$ s’il existe un nombre réel $l$ tel que $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = l$
$l$ est le nombre dérivé de $f$ en $a .$ On le note $f^{^{'}} (a)$ .

Autre formulation de la définition
On fait le changement de variable suivant $h = x - a$
$f$ est dérivable en $a$ s’il existe un nombre réel $l$ tel que $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = l$

Exemple 23. Soit $f (x) = {\frac{x - 1}{x - 1} si x \neq = 1 \frac{1}{2} si x = 1$
Etudions la dérivabilité de $f$ en 1.

Réponse:
On avait trouvé que $D_{f} = [0, + \infty [$
$x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{\frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{2 x - ( x + 1 )}{2 ( x - 1 ) ^{2}} = x \to 1 lim \frac{- x ^{2} + 2 x - 1}{2 ( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + x + 1 )} = x \to 1 lim \frac{- 1}{2 ( 2 x + x + 1} = - \frac{1}{8}$
Donc $f$ est dérivable en $1$ et de nombre dérivé $f^{'} (1) = - \frac{1}{8}$ .

Propriété

Propriété 24. Si $f$ est dérivable en a, alors $f$ est continue en a

Contre-exemple 25. La réciproque de cette propriété est fausse.
La fonction $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue en $0$ mais elle n’est pas dérivable en $0$ .

Propriété : Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche

Propriété 26. $f$ est dérivable en $a$ si et seulement, si : $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = l r \overset{e}{ˊ} el$ $f_{d}^{^{'}} (a) = f_{g}^{^{'}} (a)$ $Le nombre d \overset{e}{ˊ} riv \overset{e}{ˊ} de f \overset{a}{ˋ} droite en a = Le nombre d \overset{e}{ˊ} riv \overset{e}{ˊ} de f \overset{a}{ˋ} gauche en a$

Notation 27. Les notations $f_{d}^{^{'}} (a)$ et $f_{g}^{^{'}} (a)$ s’utilisent que lorsque la limite du taux de variation est un réel.

Cas de non dérivabilité

$\cdot$ Si $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ ou $- \infty$ alors $f$ n’est pas dérivable en $a$ .
$\cdot$ Si $f_{d}^{^{'}} (a) \neq = f_{g}^{^{'}} (a)$ alors $f$ n’est pas dérivable en $a$ .

Interprétation graphique de la dérivabilité

Si $f$ est dérivable en $a$ alors sa courbe $C$ admet au point d’abscisse $a$ c-à-d le point $A (a, f (a))$ une tangente de coefficient directeur ( ou pente) $f^{^{'}} (a)$ d’équation: $y = f^{^{'}} (a) (x - a) + f (a)$ .

Remarque 28. $f^{'} (a) = 0$ si et seulement si $C$ admet au point d’abscisse $a$ une tangente horizontale d’équation $y = f (a) .$
Dans ce cas, le point $A (a, f (a))$ est soit un extremum ( maximum ou minimum) soit un point d’inflexion.
Si $f$ est dérivable à droite et à gauche de $a$ telle que $f_{d}^{^{'}} (a) \neq = f_{g}^{'} (a)$ alors $C$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes de pentes respectives $f_{d}^{'} (a)$ et $f_{g}^{'} (a)$ : le point $A$ est un point anguleux.

Détaillons les cas d’une limite infinie.

Si $∙ x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ , la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.	Si $∙ x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ , la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.
Si $∙ x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ , la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.	Si $∙ x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ , la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Si $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ et $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales dirigées vers le haut d’équation $x = a$ . A est un point de rebroussement.
Si $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ et $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales dirigées vers le bas d’équation $x = a$ . A est un point de rebroussement.
Si $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ et $lim_{x \to a^{-}} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales de même équation $x = a$ l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion.
Si $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ et $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales de même équation $x = a$ l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion à tangente verticale.

Continuité et dérivabilité sur un intervalle

Définition 29.

$f$ est continue ( resp. dérivable ) sur l’intervalle $I$ si elle est continue ( resp. dérivable ) en tout réel $x \in I .$
La fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$ s’appelle fonction dérivée ou dérivée de $f$ et est notée $f^{'} : x \mapsto f^{'} (x)$ .
L’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f^{'} (x)$ existe est appelé ensemble ou domaine de dérivabilité de $f$ : c’est le domaine de définition de $f^{'} .$

Rappelons ci-dessous les fonctions dérivées de certaines fonctions usuelles.

$Fonction f d \overset{ˊ}{e} finie par : f (x) = k, k \in R f (x) = x^{n}, n \in Q f (x) = \frac{1}{x} f (x) = x f (x) = cos x f (x) = sin x f (x) = tan x D \overset{ˊ}{e} rivable sur R R R^{*} R_{+}^{*} R R] (2 k - 1) \frac{π}{2}, (2 k + 1) \frac{π}{2} [, k \in Z Fonction d \overset{ˊ}{e} riv \overset{ˊ}{e} e f^{'} (x) 0 n x^{n - 1} - \frac{1}{x ^{2}} \frac{1}{2 x} - sin x cos x 1 + tan^{2} x ou \frac{1}{cos ^{2} x}$

Propriété 30. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues (resp. dérivables) sur un intervalle $I .$

les fonctions $f + g$ et $f g$ sont continues ( resp. dérivables ) sur $I .$
Si de plus $g \neq = 0$ sur $I$ alors les fonctions $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues (resp. dérivables) sur $I .$

Cas particuliers

Les fonctions polynômes sont continues et dérivables sur $R .$
Les fonctions rationnelles sont continues et dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
Les fonctions $x \mapsto cos x$ et $x \mapsto sin x$ sont continues et dérivables sur $R .$
La fonction $x \mapsto tan x$ est continue et dérivable sur tout intervalle du type $] (2 k - 1) \frac{π}{2}, (2 k + 1) \frac{π}{2} [$ , $k \in Z$ .

Image d’un intervalle par une fonction continue

Nous admettons le théorème suivant.

Théorème 31. Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ alors $f (I)$ est un intervalle .

Cas particuliers
Le tableau suivant donne les images de quelques intervalles simples par une fonction continue et strictement monotone . $a$ et $b$ peuvent être éventuellement $+ \infty$ ou $- \infty.$

$I = [a, b] I = [a, b [I =] a, b] I =] a, b [f (I) si f continue et strictement croissante [f (a), f (b)] [f (a), x \to b^{-} lim f (x) [] x \to a^{+} lim f (x), f (b)]] x \to a^{+} lim f (x), x \to b^{-} lim f (x) [f (I) si f continue et strictement d \overset{e}{ˊ} croissante [f (b), f (a)]] x \to b^{-} lim f (x), f (a)] [f (b), x \to a^{+} lim f (x) [] x \to b^{-} lim f (x), x \to a^{+} lim f (x) [$

Continuité et dérivabilité de la composée de deux fonctions

Propriété 32. $\cdot$ Si $f$ est continue sur l’intervalle $I$ et $g$ continue sur l’intervalle $f (I)$ alors la fonction $g \circ f$ est continue sur $I$ .
$\cdot$ Si $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et $g$ dérivable sur l’intervalle $f (I)$ alors la fonction $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ , on a: $(g \circ f (x))^{'} = f^{'} (x) \times g^{'} [f (x)]$

Exemple 33. Soit $h (x) = cos (\frac{1}{x}) .$ Calculons $h^{'} (x)$ .

On a $D_{h} =] - \infty, 0 [\cup] 0, + \infty [$

Attention : Avant de dériver une fonction, il est recommandé de justifier sa dérivabilité même si la question ne le précise pas.
La fonction rationnelle $x \mapsto \frac{1}{x}$ est définie sur $R^{*}$ donc dérivable sur chacun des intervalles $] - \infty, 0 [$ et $] 0, + \infty [.$
La fonction $x \mapsto cos x$ est dérivable sur $R$ ; en particulier sur chacun des intervalles $] - \infty, 0 [$ et $] 0, + \infty [$
D’ où par composée $h$ est dérivable sur chacun des intervalles $] - \infty, 0 [$ et $] 0, + \infty [$ .
Pour tout $x \neq = 0$ : $h^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}} sin (\frac{1}{x})$

Conséquence 34. $\cdot$ Si $f$ est dérivable (resp. continue) sur $I$ et $g$ dérivable sur $R$ alors $g \circ f$ est dérivable (resp. continue) sur $I .$
$\cdot$ Si $f$ est continue et positive sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$ .
$\cdot$ Si $f$ est dérivable et strictement positive sur $I$ alors $f$ est dérivable sur $I$ .

Formules de dérivations

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables, $r \in Z^{*}$ et $k \in R$
$Fonction D \overset{ˊ}{e} riv \overset{ˊ}{e} e k u k u^{'} u + v u^{'} + v^{'} uv u^{'} v + v^{'} u \frac{u}{v} \frac{u ^{'} v - v ^{'} u}{v ^{2}} \frac{1}{v} - \frac{v ^{'}}{v ^{2}} u \frac{u ^{'}}{2 u} u^{r} r u^{'} u^{r - 1}$

$v \circ u u^{'} \times (v^{'} \circ u) sin u u^{'} cos u cos u - u^{'} sin u tan u \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}$

Exercice 35. Soit $f (x) = \frac{( x + 1 ) x - 2}{x - 1} .$

Etudier la continuité de $f$ sur son $D_{f}$ .
Etudier la dérivabilité de $f$ sur son $D_{f}$ .
Calculer $f^{'} (x) .$

Solution.

$f (x)$ existe si et seulement, si $x \geq 2$ et $x \neq = 1$ donc $D_{f} = [2, + \infty [$
1 méthode
La fonction $x \mapsto \frac{x + 1}{x - 1}$ est une fonction rationnelle définie sur $[2, + \infty [$ donc continue sur $[2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 2$ est continue et positive sur $[2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est continue sur $[2, + \infty [$ par composée.
On en déduit que $f$ est continue sur $D_{f}$ comme produit et composée de fonctions continues.
2 méthode
La fonction $x \mapsto x + 1$ est continue sur $[2, + \infty [$ ,
La fonction $x \mapsto x - 1$ est continue et non nulle sur $[2, + \infty [$ ,
La fonction $x \mapsto x - 2$ est continue et positive sur $[2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est continue sur $[2, + \infty [$ par composée.
On en déduit que $f$ est continue sur $D_{f}$ comme produit, quotient et composée de fonctions continues.
1 méthode
La fonction $x \mapsto \frac{x + 1}{x - 1}$ est une fonction rationnelle définie sur $[2, + \infty [$ donc dérivable sur $[2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable et strictement positive sur $] 2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ . par composée.
On en déduit que $f$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ comme produit et composée de fonctions dérivables.
2 méthode
La fonction $x \mapsto x + 1$ est dérivable sur $[2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 1$ est dérivable et non nulle sur sur $] 2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable et strictement positive sur $] 2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ par composée.
On en déduit que $f$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ comme produit, quotient et composée de fonctions dérivables.
$\forall x > 2$ , $f^{'} (x) = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}} \times x - 2 + \frac{1}{2 x - 2} \times \frac{x + 1}{x - 1}$
Soit $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 7}{2 ( x - 1 ) ^{2} x - 2}$

◻

Dérivée et sens de variations

Théorème 36. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I .$

$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \geq 0$
et $f^{'}$ ne s’annule qu’en un nombre fini de points de $I$ .
$f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \leq 0$
et $f^{'}$ ne s’annule qu’en un nombre fini de points de $I$ .
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \geq 0$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \leq 0$ .

Signe d’une fonction à partir de ses variations

$x f^{'} (x) f (x) - ↘ 0 +min + ↗$

Si $f (x)$ admet un minimum positif sur I alors $f$ est positive sur I.

$x f^{'} (x) f (x) + ↗ 0 max - ↘$

Si $f (x)$ admet un maximum négatif sur I alors $f$ est négative sur I.

$x f^{'} (x) f (x) - ↘ α 0 - ↘$

$f (x)$ est positif si $x \leq α$ .
$f (x)$ est négatif si $x \geq α$ .

$x f^{'} (x) f (x) + ↗ α 0 + ↗$

$f (x)$ est négatif si $x \leq α$ .
$f (x)$ est positif si $x \geq α$ .

Dérivées successives

Définition 37. Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ , sa fonction dérivée $f^{'}$ est appelée fonction dérivée première et est notée $f^{(1)} .$
Si $f^{'}$ est dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable alors dans ce cas la fonction dérivée de $f^{'}$ c’est à dire $(f^{'})^{'}$ est appelée fonction dérivée seconde de $f$ et est notée $f^{''}$ ou $f^{(2)} .$
Si $f^{''}$ est à son tour dérivable sur $I$ , alors sa fonction dérivée est appelée fonction dérivée troisième de $f$ et est notée $f^{'''}$ ou $f^{(3)} .$
Par itération si la dérivée n-ième de $f$ existe, on la note $f^{(n)} .$

Exemple 38. $f (x) = x sin x$
$f^{'} (x) = sin x + x cos x$ , $f^{''} (x) = 2 cos x + x sin x$ , $f^{(3)} (x) = - 3 sin x + x cos x$ , etc.

Remarque 39. $\cdot$ $f^{(n)}$ est aussi appelée dérivée d’ordre n de $f .$
$\cdot$ En Physique $f^{'}$ , $f^{''},$ $\dots$ , $f^{(n)}$ sont notées respectivement $\frac{df}{d x}$ , $\frac{d ^{2} f}{d x ^{2}}$ , $\dots$ , $\frac{d ^{n} f}{d v ^{n}}$ .

Notion de différentielle

Une petite variation $Δ x$ de la variable $x$ provoque une petite variation $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ des images.
Lorsque $Δ x$ est voisin de $0$ , on assimile $d x = Δ x$ et on peut écrire: $\frac{d y}{d x} = f^{'} (x)$ ou $d y = f^{'} (x) d x$ ou $d y = f^{'} (x) Δ x$ .

Exemple 40. Pour la fonction $y = 2 x^{2} - x$ avec $x = 1$ et $Δ x = 0, 01$
Vérifier que la différentielle $d y = 0, 03$ et l’accroissement $Δ y = 0, 0302$

Position d’une courbe par rapport à sa tangente

Nous admettons le résultat suivant:
Si $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$ et si $f^{''}$ est négative sur $I,$ alors la courbe $C$ de $f$ est en dessous de toutes ses tangentes. On dit que $C$ est concave.
Si $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$ et si $f^{''}$ est positive sur $I,$ alors la courbe $C$ de $f$ est en dessus de toutes ses tangentes. On dit que $C$ est convexe.

Point d’inflexion

Définition 41. On dit que la courbe de $f$ admet un point d’inflexion d’abscisse $x_{0}$ si la courbe y traverse sa tangente.

Théorème 42. Si $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ contenant $x_{0}$ et si $f^{''}$ s’annule en changeant de signe en $x_{0}$ alors le point de la courbe d’abscisse $x_{0}$ est un un point d’inflexion.

Exemple 43. Reprenons l’exemple précédent $f : x \mapsto x^{3} - 3 x^{2}$
$f$ est dérivable sur $R$ car fonction polynôme.
On a $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x$ et $f^{''} (x) = 6 x - 6$
$f^{''} (x) = 0 ⟺ x = 1$

$x signe de f^{''} (x) - \infty + 10 - + \infty$

D’après le tableau de signes, $f^{''}$ s’annule en $1$ en changeant de signe; donc le point $(1, - 2)$ est un point d’inflexion de la courbe.

Inégalité des accroissements finis

Nous admettons le théorème de l’inégalité des accroissements finis et nous donnons ici les deux formes.
Première forme
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . On suppose qu’il existe deux réels $m$ et $M$ tels que : $m \leq f^{'} (x) \leq M$ pour tout $x \in I$ .
Alors pour tous $a$ et $b$ de $I$ $(b < a)$ on a : $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$
Deuxième forme
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . On suppose qu’il existe un réel $M$ tel que : $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ pour tout $x \in I$ .
Alors pour tous $a$ et $b$ de $I$ on a : $∣ f (b) - f (a) ∣ \leq M ∣ b - a ∣$

Exercice 44. Soit $f$ la fonction définie sur $[0, \frac{π}{4}]$ par $f (x) = sin x$
Démontrer que $\forall x \in [0, \frac{π}{4}]$ on a: $\frac{2}{2} x \leq sin x \leq x$

Solution. La fonction $f$ est dérivable sur $I = [0, \frac{π}{4}]$ et $\forall \in I$ on a: $f^{'} (x) = cos x$
Or $\forall x \in [0, \frac{π}{4}]$ on a $\frac{2}{2} \leq cos x \leq 1$ donc pour $a = 0$ et $b = x \in I$ ,
le T.I.A.F donne: $- 1 \times \frac{2}{2} (x - 0) \leq sin x - sin 0 \leq 1 \times (x - 0)$
d’où $\frac{2}{2} x \leq sin x \leq x$ . ◻

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 45 (T.V.I). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ .
Pour tout nombre réel $β$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un réel $α \in [a, b]$ tel que $f (α) = β .$

Conséquence 1

Si $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a, b]$ alors pour tout nombre réel $β$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe un unique un réel $α \in [a, b]$ tel que $f (α) = β .$

Conséquence 2

$a$ , $b$ , $c$ et $d$ désignent soit des réels, soit $+ \infty$ , soit $- \infty.$
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle $] a, b [$ telle que : $x \to a lim f (x) = c et x \to b lim f (x) = d$ Alors pour tout nombre réel $β$ compris entre $c$ et $d$ , l’équation $f (x) = β$ admet une solution unique $α \in] a, b [$ .

Exercice 46. Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = x^{3} + x + 1$ .

Etudier les variations de $f$ .
Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une seule solution $α$ dans $R$ .
En déduire que $α \in] - 1, 0 [$
Déterminer un encadrement de $α$ d’amplitude $0, 01$ .

Solution.

$f$ est définie, continue et dérivable sur $R .$
$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ $\forall x \in R$ Donc $f$ est strictement croissante sur $R$
$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim x^{3} + x + 1 = x \to + \infty lim x^{3} = + \infty$
$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim x^{3} + x + 1 = x \to - \infty lim x^{3} = - \infty$

$x f^{'} (x) f (x) - \infty - \infty + ↗ + \infty + \infty$
$f$ est continue et strictement croissante sur $R$ à valeurs dans sur $R .$ Or $0 \in R$ donc d’après la conséquence du T.V.I il existe un unique réel $α$ tel que $f (α) = 0$ .
De plus $f (- 1) f (0) = - 1 \times 1 < 0$ donc $f (- 1) < 0 < f (0)$ $\Leftrightarrow f (- 1) < f (α) < f (0)$ $\Leftrightarrow - 1 < α < 0 car f est strictement croissante.$
Encadrement de $α$ d’amplitude $0, 01$ par la méthode du balayage .
$\cdot$ Recherchons d"abord un encadrement de $α$ par deux décimaux consécutifs d’ordre $1.$
Calculons de proche en proche les images par $f$ des nombres décimaux d’ordre $1$ de l’intervalle $[- 1, 0 [$ jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.

$x f (x) - 0, 9 - - 0, 8 - - 0, 7 - - 0, 6 + - 0, 5 - 0, 4 - 0, 3 - 0, 2 - 0, 1$

On obtient $- 0, 7 < α < - 0, 6$

$\cdot$ Recherchons ensuite un encadrement de $α$ par deux décimaux consécutifs d’ordre $2.$
Calculons de proche en proche les images par $f$ des nombres décimaux d’ordre $2$ de l’intervalle $] - 0, 7, - 0, 6 [$ jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.

$x f (x) - 0, 69 - - 0, 68 + - 0, 67 - 0, 66 - 0, 65 - 0, 64 - 0, 63 - 0, 62 - 0, 61$

On obtient $- 0, 69 < α < - 0, 68$

◻

Conséquence 3

Si $f$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a, b]$ et si $f (a) f (b) < 0$
Alors l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [a, b]$ .

Remarque 47. Pour montrer que l’équation $f (x) = x$ admet une unique solution dans l’intervalle $I$ ; on pose $g (x) = f (x) - x$ et on applique le T.V.I à la fonction $g$ sur l’intervalle $I$ .

Exemple 48. Montrons que l’équation $cos x = x$ admet une unique solution $α$ telle que $\frac{π}{6} \leq α \leq \frac{π}{4} .$
Réponse
Remarquons que $cos x = x \Leftrightarrow cos x - x = 0$
Posons la fonction $f (x) = cos x - x$ pour $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ .
$f$ est dérivable sur $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ comme somme de deux fonctions dérivables.
Pour $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ , $f^{'} (x) = - sin x - 1 < 0$ ; donc $f$ est strictement décroissante.
De plus $f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - \frac{π}{6} > 0$ et $f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} - \frac{π}{4} < 0$ .
Donc $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$
et $f (\frac{π}{6}) f (\frac{π}{4}) < 0$ d’où l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ .

Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone

Théorème 49 (Théorème de la bijection ). Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle $I$ ; alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers l’intervalle $f (I)$ .
En plus sa bijection réciproque $f^{- 1}$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $f (I)$ et a le même sens de variation que $f .$
Les courbes représentatives de $f$ et $f^{- 1}$ , dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ (la première bissectrice du repère).

$\cdot$ Si de plus $f$ est dérivable sur $I$ et $f^{'}$ ne s’annule pas sur $I$ alors $f^{- 1}$ dérivable sur $f (I)$ et $(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ))} \forall y \in f (I)$

Remarque 50. Posons $f (a) = b$
Si $f$ est dérivable en $a$ et $f^{'} (a) \neq = 0$ alors $f^{- 1}$ est dérivable en $b$ et $(f^{- 1})^{'} (b) = \frac{1}{f ^{'} ( a )} .$
Attention
Si $f$ est dérivable en $a$ et $f^{'} (a) = 0$ ou n’existe pas alors $f^{- 1}$ n’est pas dérivable en $b .$

Exercice 51. Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 2$ .

Etablir le tableau de variations de $f$ .
1. Soit $g$ la restriction de $f$ à l’intervalle $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ . Montrer que $g$ réalise une bijection de $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ vers un intervalle $J$ à préciser.
2. Justifier que $g^{- 1}$ est dérivable en 2 puis calculer $(g^{- 1})^{'} (2)$ .

Solution.

$f$ est définie, continue et dérivable sur $R .$
$f^{'} (x) = 8 x + 4$ $\forall x \in R$
$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim 4 x^{2} + 4 x + 2 = x \to + \infty lim 4 x^{2} = + \infty$
$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim 4 x^{2} + 4 x + 2 = x \to - \infty lim 4 x^{2} = + \infty$ $x f^{'} (x) f (x) - \infty + \infty - ↘ - \frac{1}{2} 01 + ↗ + \infty + \infty$
1. $g$ est continue et strictement croissante sur $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ donc réalise une bijection $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ de vers $g ([- \frac{1}{2}, + \infty [)$
  Or $g ([- \frac{1}{2}, + \infty [) = [g (- \frac{1}{2}), x \to + \infty lim g (x) [= [1, + \infty [$
  D’où $J = [1, + \infty [$ .
2. Pour répondre à cette question, il faut calculer l’ antécédent de $2$ par $g .$
  $g (x) = 2 \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 x + 2 = 2 \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 x = 0 \Leftrightarrow x = 0 o u x = - 1$
  Le seul antécédent dans $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ est 0.
  Or $g$ est dérivable en 0 et $g^{'} (0) = f^{'} (0) = 4 \neq = 0$ donc $g^{- 1}$ est dérivable en 2.
  On a $(g^{- 1})^{'} (2) = \frac{1}{g ^{'} ( 0 )} = \frac{1}{4} .$

◻