1 Fonctions numériques. Rappels et compléments
Fonctions numériques. Rappels et compléments
algebra
Limites
Lorsque nous écrivons cela signifie que c’est valable pour comme pour
Il existe quatre cas d’indétermination dans les opérations sur les limites:
Limites usuelles
Remarque 1. Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limites à l’infini.
Limite de la composée de deux fonctions
Propriété 2. Soient et deux fonctions, , et trois réels pouvant éventuellement être ou .
Exemple 3. Calculons
On a: et donc par composée
Comparaisons de limites
Théorème 4. Soient , et trois fonctions et et ou ou .
Remarque 5. Le dernier théorème est parfois appelée << le théorème des gendarmes >>.
Exemple 6.
Soit .
Pour tout :
On a : et donc
On a : et donc
Calculons .
Pour tout :
En multipliant par : on a
Or donc
Limites et nombre dérivé
Théorème 7. Soit une fonction dérivable.
Exemple 8. Calculons
Posons
On a et
Branches infinies d’une courbe
Soit une fonction numérique et sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Asymptotes
Asymptote verticale
Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction admet une limite infinie en un réel .
Définition 9. Si ou ou alors la droite d’équation (D) est une asymptote verticale à la courbe .
Asymptote horizontale
Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction admet une limite finie à l’infini.
Définition 10. Si (réel) alors la droite est une asymptote horizontale à la courbe en .
Exemple 11. Pour la fonction
la droite d’équation est asymptote horizontale
la droite d’équation est asymptote verticale à la courbe de
Asymptote oblique
Définition 12. Soit une fonction et la droite d’équation .
Si alors la droite d’équation est une asymptote oblique à la courbe de en .
Exemple 13. Pour la fonction dont la courbe est représentée ci dessous, la droite d’équation est asymptote oblique à la courbe de .
Remarque 14. Si s’écrit sous la forme et si alors la droite est une asymptote à en
Exemple 15. Pour la fonction la droite d’équation est asymptote oblique à sa courbe en car .
Position relative d’une courbe et son asymptote
Pour étudier la position relative de la courbe d’une fonction par rapport à son asymptote , on étudie le signe de la différence .
Si alors est située au-dessus de la courbe de
Si alors la courbe de est située en-dessous de la courbe de
Si alors la courbe de et sont sécantes.
On tiendra compte de l’ensemble sur lequel on doit étudier la position relative des deux courbes.
Recherche de branches infinies
Lorsque , la courbe présente une branche infinie qu’il faut étudier.
Si alors la courbe présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des abscisses.
Si alors la courbe présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées.
Si réel non nul alors on calcule
Si (réel) alors la droite d’équation : est asymptote à la courbe .
Si alors la courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’équation .
Exercice 16. On considère la fonction définie par :
Déterminer les limites aux bornes de .
Etudier la nature des branches infinies de la courbe .
Etudier la position relative de par rapport à son asymptote oblique.
Solution.
existe ssi ou
existe ssi ou
existe ssi ou
donc existe ssiD’où
Limites aux bornes de par composée d’où
d’où
L’étude de la limite en se fait uniquement sur la restriction
donc
doncPuisque et donc la droite d’équation est une asymptote verticale à la courbe de
Puisque la restriction de sur s’écrit sous la forme et que donc la droite d’équation est une asymptote oblique à la courbe de
D’autre part doc présente une branche infinie en
Calculons
d’où admet un branche parabolique d’axe (Ox).Etudions la position relative de et .
Pour cela étudions le signe de pourSur donc est au dessus de
Sur donc est au dessous de
◻
Continuité
Continuité en un réel
Définition 17. Une fonction est continue en un réel ssi et .
Exemple 18. Soit
Etudions la continuité de en 1.
Pour , existe si et
seulement, si et
si et seulement, si et
si et seulement, si
Or d’où existe si et seulement, si
donc d’où est
continue en
Continuité à droite - continuité à gauche
Propriété 19. est continue en si et seulement, si .
Prolongement par continuité
Définition 20. Soit une
fonction non définie en et un nombre réel tel que
On appelle prolongement par continuité de en , la fonction définie par : NB: La fonction est
définie et continue en .
Exemple 21. Montrons que la fonction est prolongeable par continuité en 2 et trouvons son prolongement par continuité.
Réponse:
existe si et seulement, si .
finie
donc est prolongeable par continuité en
Son prolongement par continuité en est la fonction
définie par :
Dérivabilité
Dérivabilité en un réel
Définition 22. Soit une
fonction définie sur un intervalle et .
est dérivable en s’il existe
un nombre réel tel que
est le nombre dérivé de en On le note .
Autre formulation de la définition
On fait le changement de variable suivant
est dérivable en s’il existe
un nombre réel tel que
Exemple 23. Soit
Etudions la dérivabilité de en 1.
Réponse:
On avait trouvé que
Donc est dérivable en et de
nombre dérivé .
Propriété
Propriété 24. Si est dérivable en a, alors est continue en a
.
Contre-exemple 25. La réciproque de cette propriété
est fausse.
La fonction est
continue en mais elle n’est pas dérivable en .
Propriété : Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche
Propriété 26. est dérivable en si et seulement, si :
Notation 27. Les notations et s’utilisent que lorsque la limite du taux de variation est un réel.
Cas de non dérivabilité
Si ou alors n’est pas dérivable
en .
Si alors n’est pas dérivable en .
Interprétation graphique de la dérivabilité
Si est dérivable en alors sa courbe admet au point d’abscisse c-à-d le point une tangente de coefficient directeur ( ou pente) d’équation: .
Remarque 28. si et seulement si admet au point d’abscisse une tangente horizontale d’équation
Dans ce cas, le point est soit un extremum ( maximum ou minimum) soit un point d’inflexion.Si est dérivable à droite et à gauche de telle que alors admet au point deux demi-tangentes de pentes respectives et : le point est un point anguleux.
Détaillons les cas d’une limite infinie.
Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le haut. Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le bas. Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le bas. Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le haut. Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales dirigées vers le haut d’équation . A est un point de rebroussement.
Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales dirigées vers le bas d’équation . A est un point de rebroussement.
Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales de même équation l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion.
Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales de même équation l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion à tangente verticale.
Continuité et dérivabilité sur un intervalle
Définition 29.
est continue ( resp. dérivable ) sur l’intervalle si elle est continue ( resp. dérivable ) en tout réel
La fonction qui à tout réel de associe le nombre dérivé de en s’appelle fonction dérivée ou dérivée de et est notée .
L’ensemble des réels pour lesquels existe est appelé ensemble ou domaine de dérivabilité de : c’est le domaine de définition de
Rappelons ci-dessous les fonctions dérivées de certaines fonctions usuelles.
Propriété 30. Soient et deux fonctions continues (resp. dérivables) sur un intervalle
les fonctions et sont continues ( resp. dérivables ) sur
Si de plus sur alors les fonctions et sont continues (resp. dérivables) sur
Cas particuliers
Les fonctions polynômes sont continues et dérivables sur
Les fonctions rationnelles sont continues et dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
Les fonctions et sont continues et dérivables sur
La fonction est continue et dérivable sur tout intervalle du type , .
Image d’un intervalle par une fonction continue
Nous admettons le théorème suivant.
Théorème 31. Si est une fonction continue sur un intervalle alors est un intervalle .
Cas particuliers
Le tableau suivant donne les images de quelques intervalles simples par
une fonction continue et strictement monotone . et peuvent être éventuellement
ou
Continuité et dérivabilité de la composée de deux fonctions
Propriété 32. Si est continue sur l’intervalle et
continue sur l’intervalle
alors la fonction est continue sur .
Si est dérivable
sur l’intervalle et
dérivable sur l’intervalle alors la fonction
est dérivable sur et
pour tout , on a:
Exemple 33. Soit Calculons .
On a
Attention : Avant de dériver une fonction, il est
recommandé de justifier sa dérivabilité même si la question ne le
précise pas.
La fonction rationnelle est
définie sur donc dérivable sur chacun
des intervalles et
La fonction est dérivable sur ; en particulier sur chacun des intervalles
et
D’ où par composée est dérivable sur chacun des
intervalles et .
Pour tout :
Conséquence 34. Si
est dérivable (resp. continue) sur et dérivable sur alors est
dérivable (resp. continue) sur
Si est
continue et positive sur alors
est continue sur .
Si est
dérivable et strictement positive sur alors est dérivable sur
.
Formules de dérivations
Soient et deux fonctions
dérivables, et
Exercice 35. Soit
Etudier la continuité de sur son .
Etudier la dérivabilité de sur son .
Calculer
Solution.
existe si et seulement, si et donc
1 méthode
La fonction est une fonction rationnelle définie sur donc continue sur
La fonction est continue et positive sur donc la fonction est continue sur par composée.
On en déduit que est continue sur comme produit et composée de fonctions continues.
2 méthode
La fonction est continue sur ,
La fonction est continue et non nulle sur ,
La fonction est continue et positive sur donc la fonction est continue sur par composée.
On en déduit que est continue sur comme produit, quotient et composée de fonctions continues.
1 méthode
La fonction est une fonction rationnelle définie sur donc dérivable sur
La fonction est dérivable et strictement positive sur donc la fonction est dérivable sur . par composée.
On en déduit que est dérivable sur comme produit et composée de fonctions dérivables.
2 méthode
La fonction est dérivable sur
La fonction est dérivable et non nulle sur sur
La fonction est dérivable et strictement positive sur donc la fonction est dérivable sur par composée.
On en déduit que est dérivable sur comme produit, quotient et composée de fonctions dérivables.,
Soit
◻
Dérivée et sens de variations
Théorème 36. Soit une fonction dérivable sur un intervalle
est strictement croissante sur si et seulement si : ,
et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de .est strictement décroissante sur si et seulement si : ,
et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de .est croissante sur si et seulement si : , .
est décroissante sur si et seulement si : , .
Signe d’une fonction à partir de ses variations
Si admet un minimum positif sur I alors est positive sur I.
Si admet un maximum négatif sur I alors est négative sur I.
est positif si .
est négatif si .
est négatif si .
est positif si .
Dérivées successives
Définition 37. Soit une
fonction dérivable sur , sa fonction dérivée est appelée fonction dérivée première et est
notée
Si est dérivable sur , on
dit que est deux fois dérivable alors dans ce cas
la fonction dérivée de c’est à dire est appelée fonction dérivée seconde de
et est notée ou
Si est à son tour dérivable sur , alors sa fonction dérivée est appelée fonction
dérivée troisième de et est notée ou
Par itération si la dérivée n-ième de existe, on
la note
Exemple 38.
, , ,
etc.
Remarque 39. est aussi appelée dérivée d’ordre n de
En Physique , ,
sont notées respectivement , , , .
Notion de différentielle
Une petite variation de la variable provoque une petite variation des images.
Lorsque est voisin de , on assimile et on
peut écrire: ou ou .
Exemple 40. Pour la fonction avec et
Vérifier que la différentielle et
l’accroissement
Position d’une courbe par rapport à sa tangente
Nous admettons le résultat suivant:
Si est une fonction deux fois dérivable sur et si est négative sur alors la courbe de
est en dessous de toutes ses tangentes. On dit que
est concave.
Si est une fonction deux fois dérivable sur et si est positive sur alors la courbe de
est en dessus de toutes ses tangentes. On dit que
est convexe.
Point d’inflexion
Définition 41. On dit que la courbe de admet un point d’inflexion d’abscisse si la courbe y traverse sa tangente.
Théorème 42. Si est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant et si s’annule en changeant de signe en alors le point de la courbe d’abscisse est un un point d’inflexion.
Exemple 43. Reprenons l’exemple précédent
est dérivable sur
car fonction polynôme.
On a et
D’après le tableau de signes, s’annule en en changeant de signe; donc le point est un point d’inflexion de la courbe.
Inégalité des accroissements finis
Nous admettons le théorème de l’inégalité des accroissements finis et
nous donnons ici les deux formes.
Première forme
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On suppose qu’il existe deux réels et tels que : pour tout .
Alors pour tous et de on a :
Deuxième forme
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On suppose qu’il existe un réel
tel que : pour tout
.
Alors pour tous et de on a :
Exercice 44. Soit la fonction
définie sur par
Démontrer que on a:
Solution. La fonction est dérivable sur
et on a:
Or
on a donc pour
et ,
le T.I.A.F donne:
d’où . ◻
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème 45 (T.V.I). Soit une
fonction continue sur un intervalle .
Pour tout nombre réel compris entre et , il existe au
moins un réel tel que
Conséquence 1
Si une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle alors pour tout nombre réel compris entre et , il existe un unique un réel tel que
Conséquence 2
, ,
et désignent soit des réels, soit , soit
Soit une fonction continue et strictement
monotone sur l’intervalle telle que : Alors pour tout nombre réel
compris entre et , l’équation
admet une solution unique .
Exercice 46. Soit la fonction définie par .
Etudier les variations de .
Montrer que l’équation admet une seule solution dans .
En déduire queDéterminer un encadrement de d’amplitude .
Solution.
est définie, continue et dérivable sur
Donc est strictement croissante sur
est continue et strictement croissante sur à valeurs dans sur Or donc d’après la conséquence du T.V.I il existe un unique réel tel que .
De plus doncEncadrement de d’amplitude par la méthode du balayage .
Recherchons d"abord un encadrement de par deux décimaux consécutifs d’ordre
Calculons de proche en proche les images par des nombres décimaux d’ordre de l’intervalle jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.On obtient
Recherchons ensuite un encadrement de par deux décimaux consécutifs d’ordre
Calculons de proche en proche les images par des nombres décimaux d’ordre de l’intervalle jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.On obtient
◻
Conséquence 3
Si est continue et strictement
monotone sur l’intervalle et si
Alors l’équation admet une unique solution
.
Remarque 47. Pour montrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle ; on pose et on applique le T.V.I à la fonction sur l’intervalle .
Exemple 48. Montrons que l’équation admet une unique solution telle que
Réponse
Remarquons que
Posons la fonction pour .
est dérivable sur comme
somme de deux fonctions dérivables.
Pour , ;
donc est strictement décroissante.
De plus et .
Donc est continue et strictement décroissante sur
l’intervalle
et d’où
l’équation admet une unique solution .
Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone
Théorème 49 (Théorème de la bijection ). Soit une fonction continue et strictement monotone sur
l’intervalle ; alors réalise
une bijection de vers l’intervalle .
En plus sa bijection réciproque est continue
et strictement monotone sur l’intervalle et a
le même sens de variation que
Les courbes représentatives de et , dans un repère orthonormé sont symétriques par
rapport à la droite d’équation (la première
bissectrice du repère).
Si de plus est dérivable sur et ne s’annule pas sur alors dérivable sur et
Remarque 50. Posons
Si est dérivable en et alors est
dérivable en et
Attention
Si est dérivable en et ou n’existe pas alors n’est pas dérivable en
Exercice 51. Soit la fonction définie par .
Etablir le tableau de variations de .
Soit la restriction de à l’intervalle . Montrer que réalise une bijection de vers un intervalle à préciser.
Justifier que est dérivable en 2 puis calculer .
Solution.
est définie, continue et dérivable sur
est continue et strictement croissante sur donc réalise une bijection de vers
Or
D’où .Pour répondre à cette question, il faut calculer l’ antécédent de par
Le seul antécédent dans est 0.
Or est dérivable en 0 et donc est dérivable en 2.
On a
◻