1 Fonctions numériques. Rappels et compléments

Fonctions numériques. Rappels et compléments

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Limites

Lorsque nous écrivons $\infty$ cela signifie que c’est valable pour $+ \infty$ comme pour $- \infty$

Il existe quatre cas d’indétermination dans les opérations sur les limites: $<< + \infty - \infty >>; << \frac{\infty}{\infty} >>; << \frac{0}{0} >>; << 0 \times \infty >>$

Limites usuelles

$n \in N^{*}$

$x \to + \infty lim x^{n} = + \infty$
$x \to - \infty lim x^{n} = {+ \infty - \infty si n pair si n impair$
$x \to + \infty lim x = + \infty$
$x \to \infty lim \frac{1}{x ^{n}} = 0$
$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x} = 0$

Remarque 1. Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limites à l’infini.

Limite de la composée de deux fonctions

Propriété 2. Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $a$ , $b$ et $c$ trois réels pouvant éventuellement être $+ \infty$ ou $- \infty$ . $Si x \to a lim f (x) = b et x \to b lim g (x) = c alors x \to a lim g [f (x)] = c$

Exemple 3. Calculons $x \to + \infty lim cos (\frac{x + 1}{x ^{2} - 2})$

On a: $x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x ^{2} - 2} = 0$ et $x \to 0 lim cos x = cos 0 = 1$ donc par composée $x \to + \infty lim cos (\frac{x + 1}{x ^{2} - 2}) = 1$

Comparaisons de limites

Théorème 4. Soient $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions et $l \in R$ et $a = + \infty$ ou $a = - \infty$ ou $a \in R$ .

$Hypoth \overset{e}{ˋ} se 1 f \leq g f \leq g ∣ f (x) - l ∣ \leq g (x) g \leq f \leq h Hypoth \overset{e}{ˋ} se 2 x \to a lim f (x) = + \infty x \to a lim g (x) = - \infty x \to a lim g (x) = 0 x \to a lim g (x) = l et x \to a lim h (x) = l Conclusion x \to a lim g (x) = + \infty x \to a lim f (x) = - \infty x \to a lim f (x) = l x \to a lim f (x) = l$

Remarque 5. Le dernier théorème est parfois appelée << le théorème des gendarmes >>.

Exemple 6.

Soit $f (x) = x + 3 cos x$ .
Pour tout $x \in R$ : $x - 3 \leq f (x) \leq x + 3$
$\cdot$ On a : $x - 3 \leq f (x)$ et $x \to + \infty lim x - 3 = + \infty$ donc $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$
$\cdot$ On a : $f (x) \leq x + 3$ et $x \to - \infty lim x - 3 = - \infty$ donc $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$
Calculons $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x}$ .
Pour tout $x \geq 1$ : $- 1 \leq sin x \leq 1$
En multipliant par $\frac{1}{x}$ : on a $- \frac{1}{x} \leq \frac{sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$
Or $x \to + \infty lim (- \frac{1}{x}) = x \to + \infty lim \frac{1}{x} = 0$ donc $x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0$

Limites et nombre dérivé

Théorème 7. Soit $f$ une fonction dérivable.

$Si x \to a lim f^{^{'}} (x) = l, (l r \overset{e}{ˊ} el fini ou pas) alors x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = l$

Exemple 8. Calculons $x \to 0 lim \frac{sin x}{x}$

Posons $f (x) = sin x$
On a $f (0) = 0$ et $f^{^{'}} (x) = cos x$ $Donc x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = x \to 0 lim f^{^{'}} (x) = x \to 0 lim cos x = 1$

Branches infinies d’une courbe

Soit une fonction numérique $f$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

Asymptotes

Asymptote verticale

Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction $f$ admet une limite infinie en un réel $a$ .

Définition 9. Si $x \to a^{+} lim f (x) = \infty$ ou $x \to a^{-} lim f (x) = \infty$ ou $x \to a lim f (x) = \infty$ alors la droite d’équation (D) $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $C$ .

$tikzpicture-1$

$x \to a^{+} lim f (x) = + \infty$

$tikzpicture-2$

$x \to a^{-} lim f (x) = - \infty$

Asymptote horizontale

Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction $f$ admet une limite finie à l’infini.

Définition 10. Si $x \to \infty lim f (x) = b$ (réel) alors la droite $y = b$ est une asymptote horizontale à la courbe $C$ en $\infty$ .

$tikzpicture-3$

Exemple 11. Pour la fonction $f : x \mapsto 3 + \frac{5}{x - 1}$

la droite d’équation $y = 3$ est asymptote horizontale
la droite d’équation $x = 1$ est asymptote verticale à la courbe de $f .$

Asymptote oblique

Définition 12. Soit $f$ une fonction et $Δ$ la droite d’équation $y = a x + b$ .

Si $x \to \infty lim (f (x) - (a x + b)) = 0$ alors la droite d’équation $y = a x + b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ en $\infty$ .

$tikzpicture-4$

Exemple 13. Pour la fonction $f : x \mapsto x + \frac{2}{x - 1}$ dont la courbe est représentée ci dessous, la droite d’équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe.

Remarque 14. Si $f$ s’écrit sous la forme $f (x) = a x + b + g (x)$ et si $x \to \infty lim g (x) = l (r \overset{e}{ˊ} el)$ alors la droite $y = a x + b + l$ est une asymptote à $C$ en $\infty.$

Exemple 15. Pour la fonction $f : x \mapsto 2 x + 5 - \frac{2 x}{x - 1}$ la droite d’équation $y = 2 x + 3$ est asymptote oblique à sa courbe en $\infty$ car $x \to \infty lim \frac{2 x}{x - 1} = 2$ .

Position relative d’une courbe et son asymptote

Pour étudier la position relative de la courbe $C$ d’une fonction $f$ par rapport à son asymptote $Δ : y = a x + b$ , on étudie le signe de la différence $f (x) - a x - b$ .

Si $f (x) - a x - b > 0$ alors $C$ est située au-dessus de la courbe de $Δ$
Si $f (x) - a x - b < 0$ alors la courbe de $C$ est située en-dessous de la courbe de $Δ$
Si $f (x) - a x - b = 0$ alors la courbe de $C$ et $Δ$ sont sécantes.

On tiendra compte de l’ensemble sur lequel on doit étudier la position relative des deux courbes.

Recherche de branches infinies

Lorsque $x \to \infty lim f (x) = \infty$ , la courbe $C$ présente une branche infinie qu’il faut étudier.

Si $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ alors la courbe $C$ présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des abscisses.
Si $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = \infty$ alors la courbe $C$ présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées.
Si $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = a$ réel non nul alors on calcule $x \to \infty lim (f (x) - a x)$

$∙$ Si $x \to \infty lim (f (x) - a x) = b$ (réel) alors la droite $(D)$ d’équation : $y = a x + b$ est asymptote à la courbe $C$ .

$∙$ Si $x \to \infty lim (f (x) - a x) = \infty$ alors la courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’équation $y = a x$ .

Exercice 16. On considère la fonction $f$ définie par : $f (x) = {x + 4 si x \geq 2 x + 3 - \frac{2}{x - 1} si x < 2$

Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$ .
Etudier la nature des branches infinies de la courbe $C$ de $f$ .
Etudier la position relative de $C$ par rapport à son asymptote oblique.

Solution.

$f (x)$ existe ssi ${x + 4 \geq 0 x \geq 2$ ou ${x - 1 \neq = 0 x < 2$

$f (x)$ existe ssi ${x \geq - 4 x \geq 2$ ou ${x \neq = - 1 x < 2$

$f (x)$ existe ssi $x \geq 2$ ou $x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 2 [$
donc $f (x)$ existe ssi $x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 2 [\cup [2, + \infty [$

D’où $D_{f} =] - \infty, - 1 [\cup] - 1, + \infty [$

Limites aux bornes de $D_{f}$ $x \to + \infty lim x + 4 = + \infty$ par composée $x \to + \infty lim x + 4 = + \infty$ d’où $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$
$x \to - \infty lim x + 3 - \frac{2}{x - 1} = x \to - \infty lim x + 3 - x \to - \infty lim \frac{2}{x - 1} = - \infty$ d’où $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$
L’étude de la limite en $1$ se fait uniquement sur la restriction $x \mapsto x + 3 - \frac{2}{x - 1}$
$⎩ ⎨ ⎧ x \to 1^{+} lim x + 3 = 4 x \to 1^{+} lim - \frac{2}{x - 1} = - \infty$ donc $x \to 1^{+} lim f (x) = - \infty$
$⎩ ⎨ ⎧ x \to 1^{-} lim x + 3 = 4 x \to 1^{-} lim - \frac{2}{x - 1} = + \infty$ donc $x \to 1^{-} lim f (x) = + \infty$
Puisque $x \to 1^{+} lim f (x) = - \infty$ et $x \to 1^{-} lim f (x) = + \infty$ donc la droite d’équation $x = 1$ est une asymptote verticale à la courbe de $f .$
Puisque la restriction de $f$ sur $] - \infty, 2 [$ s’écrit sous la forme $x \mapsto x + 3 - \frac{2}{x - 1}$ et que $x \to - \infty lim \frac{2}{x - 1} = 0$ donc la droite $Δ$ d’équation $y = x + 3$ est une asymptote oblique à la courbe de $f .$
D’autre part $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ doc $C_{f}$ présente une branche infinie en $+ \infty.$
Calculons $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$
$x \to + \infty lim \frac{x + 3}{x} = x \to + \infty lim \frac{x + 3}{x x + 3} = x \to + \infty lim \frac{x + 3}{x} \times x \to + \infty lim \frac{1}{x + 3} = 1 \times 0 = 0$ d’où $C_{f}$ admet un branche parabolique d’axe (Ox).
Etudions la position relative de $Δ$ et $C_{f}$ .
Pour cela étudions le signe de $f (x) - (x + 3) = - \frac{2}{x - 1}$ pour $x < 2$

$x signe de - \frac{2}{x - 1} - \infty + 1 ∣ - 2$

Sur $] - \infty, 1 [$ $- \frac{2}{x - 1} > 0$ donc $C_{f}$ est au dessus de $Δ.$
Sur $] - \infty, 1 [$ $- \frac{2}{x - 1} < 0$ donc $C_{f}$ est au dessous de $Δ.$

◻

Continuité

Continuité en un réel

Définition 17. Une fonction $f$ est continue en un réel $a$ ssi $a \in D_{f}$ et $x \to a lim f (x) = f (a)$ .

Illustration graphique

$tikzpicture-5$

$\cdot$ $f$ continue en $a$ signifie: dans le tracé de la courbe on << ne lève pas >> la main quand on passe au point d’abscisse $a .$
La courbe n’y présente aucun saut, aucun trou, aucune asymptote verticale.
$\cdot$ Par exemple ici la fonction n’est pas continue en $0.$

Exemple 18. Soit $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 1}{x - 1} si x \neq = 1 \frac{1}{2} si x = 1$

Etudions la continuité de $f$ en 1.
Pour $x \neq = 1$ , $f (x)$ existe si et seulement, si $x \geq 0$ et $x - 1 \neq = 0$

si et seulement, si $x \geq 0$ et $x \neq = 1$

si et seulement, si $x \in [0, 1 [\cup] 1, + \infty [$

Or $f (1) = \frac{1}{2}$ d’où $f (x)$ existe si et seulement, si $x \in [0, + \infty [$
$x \to 1 lim f (x) = x \to 1 lim \frac{x - 1}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2}$
donc $x \to 1 lim f (x) = f (1) = \frac{1}{2}$ d’où $f$ est continue en $1.$

Continuité à droite - continuité à gauche

Propriété 19. $f$ est continue en $a$ si et seulement, si $x \to a^{+} lim f (x) = x \to a^{-} lim f (x) = f (a)$ .

Prolongement par continuité

Définition 20. Soit $f$ une fonction non définie en $a$ et $l$ un nombre réel tel que $x \to a lim f (x) = l .$
On appelle prolongement par continuité de $f$ en $a$ , la fonction $g$ définie par : $g (x) = {f (x) si x \neq = a l si x = a$ NB: La fonction $g$ est définie et continue en $a$ .

Exemple 21. Montrons que la fonction $f : x \mapsto \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2}$ est prolongeable par continuité en 2 et trouvons son prolongement par continuité.

Réponse:
$f (x)$ existe si et seulement, si $x \neq = 2$ .
$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 1) = 3$ finie donc $f$ est prolongeable par continuité en $2.$
Son prolongement par continuité en $2$ est la fonction $g$ définie par : $g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2} si x \neq = 2 3 si x = 2$

Dérivabilité

Dérivabilité en un réel

Définition 22. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .
$f$ est dérivable en $a$ s’il existe un nombre réel $l$ tel que $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = l$
$l$ est le nombre dérivé de $f$ en $a .$ On le note $f^{^{'}} (a)$ .

Autre formulation de la définition
On fait le changement de variable suivant $h = x - a$
$f$ est dérivable en $a$ s’il existe un nombre réel $l$ tel que $h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h} = l$

Exemple 23. Soit $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x - 1}{x - 1} si x \neq = 1 \frac{1}{2} si x = 1$
Etudions la dérivabilité de $f$ en 1.

Réponse:
On avait trouvé que $D_{f} = [0, + \infty [$
$x \to 1 lim \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{\frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{2}}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{2 x - ( x + 1 )}{2 ( x - 1 ) ^{2}} = x \to 1 lim \frac{- x ^{2} + 2 x - 1}{2 ( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + x + 1 )} = x \to 1 lim \frac{- 1}{2 ( 2 x + x + 1} = - \frac{1}{8}$
Donc $f$ est dérivable en $1$ et de nombre dérivé $f^{'} (1) = - \frac{1}{8}$ .

Propriété

Propriété 24. Si $f$ est dérivable en a, alors $f$ est continue en a

Contre-exemple 25. La réciproque de cette propriété est fausse.
La fonction $x \mapsto ∣ x ∣$ est continue en $0$ mais elle n’est pas dérivable en $0$ .

Propriété : Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche

Propriété 26. $f$ est dérivable en $a$ si et seulement, si : $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = l r \overset{e}{ˊ} el$ $f_{d}^{^{'}} (a) = f_{g}^{^{'}} (a)$ $Le nombre d \overset{e}{ˊ} riv \overset{e}{ˊ} de f \overset{a}{ˋ} droite en a = Le nombre d \overset{e}{ˊ} riv \overset{e}{ˊ} de f \overset{a}{ˋ} gauche en a$

Notation 27. Les notations $f_{d}^{^{'}} (a)$ et $f_{g}^{^{'}} (a)$ s’utilisent que lorsque la limite du taux de variation est un réel.

Cas de non dérivabilité

$\cdot$ Si $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ ou $- \infty$ alors $f$ n’est pas dérivable en $a$ .
$\cdot$ Si $f_{d}^{^{'}} (a) \neq = f_{g}^{^{'}} (a)$ alors $f$ n’est pas dérivable en $a$ .

Interprétation graphique de la dérivabilité

Si $f$ est dérivable en $a$ alors sa courbe $C$ admet au point d’abscisse $a$ c-à-d le point $A (a, f (a))$ une tangente de coefficient directeur ( ou pente) $f^{^{'}} (a)$ d’équation: $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

$tikzpicture-6$

Méthode 28 (Méthode pour construire la tangente). Si la pente s’écrit sous la forme $f^{'} (a) = \frac{Δ y}{Δ x}$ . Alors on part de $A$ , on << avance >> vers la droite du dénominateur(positif) $Δ x$ et on << monte >> (ou << descend >>) du numérateur $Δ y$ : ce qui donne un deuxième point que l’on relie à $A .$ .

Remarque 29. $f^{'} (a) = 0$ si et seulement si $C$ admet au point d’abscisse $a$ une tangente horizontale d’équation $y = f (a) .$
Dans ce cas, le point $A (a, f (a))$ est soit un extremum ( maximum ou minimum) soit un point d’inflexion.

$tikzpicture-7$

$tikzpicture-8$

$tikzpicture-9$

$A$ est un minimum, $B$ est un maximum, $C$ est un point d’inflexion
Si $f$ est dérivable à droite et à gauche de $a$ telle que $f_{d}^{^{'}} (a) \neq = f_{g}^{'} (a)$ alors $C$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes de pentes respectives $f_{d}^{'} (a)$ et $f_{g}^{'} (a)$ : le point $A$ est un point anguleux.
Détaillons les cas d’une limite infinie.

$∙ x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty La courbe de f admet au point A (a, f (a)) une demi-tangente verticale dirig \overset{e}{ˊ} e vers le haut. ∙ x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty La courbe de f admet au point A (a, f (a)) une demi-tangente verticale dirig \overset{e}{ˊ} e vers le bas. ∙ x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty La courbe de f admet au point A (a, f (a)) une demi-tangente verticale dirig \overset{e}{ˊ} e vers le bas. ∙ x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty La courbe de f admet au point A (a, f (a)) une demi-tangente verticale dirig \overset{e}{ˊ} e vers le haut.$
Si $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ et $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales dirigées vers le haut d’équation $x = a$ . A est un point de rebroussement.
Si $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ et $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales dirigées vers le bas d’équation $x = a$ . A est un point de rebroussement.
Si $x \to a^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ et $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales de même équation $x = a$ l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion.
Si $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = + \infty$ et $x \to a^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = - \infty$ alors la courbe de $f$ admet au point $A (a, f (a))$ deux demi-tangentes verticales de même équation $x = a$ l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion à tangente verticale.

Continuité et dérivabilité sur un intervalle

Définition 30.

$f$ est continue ( resp. dérivable ) sur l’intervalle $I$ si elle est continue ( resp. dérivable ) en tout réel $x \in I .$
La fonction qui à tout réel $x$ de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$ s’appelle fonction dérivée ou dérivée de $f$ et est notée $f^{'} : x \mapsto f^{'} (x)$ .
L’ensemble des réels $x$ pour lesquels $f^{'} (x)$ existe est appelé ensemble ou domaine de dérivabilité de $f$ : c’est le domaine de définition de $f^{'} .$

Rappelons ci-dessous les fonctions dérivées de certaines fonctions usuelles.

$Fonction f d \overset{ˊ}{e} finie par : f (x) = k, k \in R f (x) = x^{n}, n \in Q f (x) = \frac{1}{x} f (x) = x f (x) = cos x f (x) = sin x f (x) = tan x D \overset{ˊ}{e} rivable sur R R R^{*} R_{+}^{*} R R] (2 k - 1) \frac{π}{2}, (2 k + 1) \frac{π}{2} [, k \in Z Fonction d \overset{ˊ}{e} riv \overset{ˊ}{e} e f^{'} (x) 0 n x^{n - 1} - \frac{1}{x ^{2}} \frac{1}{2 x} - sin x cos x 1 + tan^{2} x ou \frac{1}{cos ^{2} x}$

Propriété 31. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues (resp. dérivables) sur un intervalle $I .$

les fonctions $f + g$ et $f g$ sont continues ( resp. dérivables ) sur $I .$
Si de plus $g \neq = 0$ sur $I$ alors les fonctions $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues (resp. dérivables) sur $I .$

Cas particuliers

Les fonctions polynômes sont continues et dérivables sur $R .$
Les fonctions rationnelles sont continues et dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
Les fonctions $x \mapsto cos x$ et $x \mapsto sin x$ sont continues et dérivables sur $R .$
La fonction $x \mapsto tan x$ est continue et dérivable sur tout intervalle du type $] (2 k - 1) \frac{π}{2}, (2 k + 1) \frac{π}{2} [$ , $k \in Z$ .

Image d’un intervalle par une fonction continue

Nous admettons le théorème suivant.

Théorème 32. Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ alors $f (I)$ est un intervalle .

Cas particuliers
Le tableau suivant donne les images de quelques intervalles simples par une fonction continue et strictement monotone . $a$ et $b$ peuvent être éventuellement $+ \infty$ ou $- \infty.$

$I = [a, b] I = [a, b [I =] a, b] I =] a, b [f (I) si f continue et strictement croissante [f (a), f (b)] [f (a), x \to b^{-} lim f (x) [] x \to a^{+} lim f (x), f (b)]] x \to a^{+} lim f (x), x \to b^{-} lim f (x) [f (I) si f continue et strictement d \overset{e}{ˊ} croissante [f (b), f (a)]] x \to b^{-} lim f (x), f (a)] [f (b), x \to a^{+} lim f (x) [] x \to b^{-} lim f (x), x \to a^{+} lim f (x) [$

Continuité et dérivabilité de la composée de deux fonctions

Propriété 33. $\cdot$ Si $f$ est continue sur l’intervalle $I$ et $g$ continue sur l’intervalle $f (I)$ alors la fonction $g \circ f$ est continue sur $I$ .
$\cdot$ Si $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et $g$ dérivable sur l’intervalle $f (I)$ alors la fonction $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ , on a: $(g \circ f (x))^{'} = f^{'} (x) \times g^{'} [f (x)]$

Exemple 34. Soit $h (x) = cos (\frac{1}{x}) .$ Calculons $h^{'} (x)$ .

On a $D_{h} =] - \infty, 0 [\cup] 0, + \infty [$

Attention : Avant de dériver une fonction, il est recommandé de justifier sa dérivabilité même si la question ne le précise pas.
La fonction rationnelle $x \mapsto \frac{1}{x}$ est définie sur $R^{*}$ donc dérivable sur chacun des intervalles $] - \infty, 0 [$ et $] 0, + \infty [.$
La fonction $x \mapsto cos x$ est dérivable sur $R$ ; en particulier sur chacun des intervalles $] - \infty, 0 [$ et $] 0, + \infty [$
D’ où par composée $h$ est dérivable sur chacun des intervalles $] - \infty, 0 [$ et $] 0, + \infty [$ .
Pour tout $x \neq = 0$ : $h^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}} sin (\frac{1}{x})$

Conséquence 35. $\cdot$ Si $f$ est dérivable (resp. continue) sur $I$ et $g$ dérivable sur $R$ alors $g \circ f$ est dérivable (resp. continue) sur $I .$
$\cdot$ Si $f$ est continue et positive sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$ .
$\cdot$ Si $f$ est dérivable et strictement positive sur $I$ alors $f$ est dérivable sur $I$ .

Formules de dérivation

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables, $r \in Z^{*}$ et $k \in R$
$Fonction D \overset{ˊ}{e} riv \overset{ˊ}{e} e k u k u^{'} u + v u^{'} + v^{'} uv u^{'} v + v^{'} u \frac{u}{v} \frac{u ^{'} v - v ^{'} u}{v ^{2}} \frac{1}{v} - \frac{v ^{'}}{v ^{2}} u \frac{u ^{'}}{2 u} u^{r} r u^{'} u^{r - 1}$

$v \circ u u^{'} \times (v^{'} \circ u) sin u u^{'} cos u cos u - u^{'} sin u tan u \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u} ou u^{'} (1 + tan^{2} u)$

Exercice 36. Soit $f (x) = \frac{( x + 1 ) x - 2}{x - 1} .$

Justifier la continuité de $f$ sur son $D_{f}$ .
Etudier la dérivabilité de $f$ sur son $D_{f}$ .
Calculer $f^{'} (x) .$

Solution.

$f (x)$ existe si et seulement, si $x \geq 2$ et $x \neq = 1$ donc $D_{f} = [2, + \infty [$
1 méthode
La fonction $x \mapsto \frac{x + 1}{x - 1}$ est une fonction rationnelle définie sur $[2, + \infty [$ donc continue sur $[2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 2$ est continue et positive sur $[2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est continue sur $[2, + \infty [$ par composée.
On en déduit que $f$ est continue sur $D_{f}$ comme produit et composée de fonctions continues.
2 méthode
La fonction $x \mapsto x + 1$ est continue sur $[2, + \infty [$ ,
La fonction $x \mapsto x - 1$ est continue et non nulle sur $[2, + \infty [$ ,
La fonction $x \mapsto x - 2$ est continue et positive sur $[2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est continue sur $[2, + \infty [$ par composée.
On en déduit que $f$ est continue sur $D_{f}$ comme produit, quotient et composée de fonctions continues.
1 méthode
La fonction $x \mapsto \frac{x + 1}{x - 1}$ est une fonction rationnelle définie sur $[2, + \infty [$ donc dérivable sur $[2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable et strictement positive sur $] 2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ . par composée.
On en déduit que $f$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ comme produit et composée de fonctions dérivables.
2 méthode
La fonction $x \mapsto x + 1$ est dérivable sur $[2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 1$ est dérivable et non nulle sur sur $] 2, + \infty [$
La fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable et strictement positive sur $] 2, + \infty [$ donc la fonction $x \mapsto x - 2$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ par composée.
On en déduit que $f$ est dérivable sur $] 2, + \infty [$ comme produit, quotient et composée de fonctions dérivables.
$\forall x > 2$ , $f^{'} (x) = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}} \times x - 2 + \frac{1}{2 x - 2} \times \frac{x + 1}{x - 1}$
Soit $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 7}{2 ( x - 1 ) ^{2} x - 2}$

◻

Dérivée et sens de variations

Théorème 37. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I .$

$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \geq 0$
et $f^{'}$ ne s’annule qu’en un nombre fini de points de $I$ .
$f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \leq 0$
et $f^{'}$ ne s’annule qu’en un nombre fini de points de $I$ .
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \geq 0$ .
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si : $\forall x \in I$ , $f^{'} (x) \leq 0$ .

Signe d’une fonction à partir de ses variations

$tikzpicture-10$

Si $f (x)$ admet un minimum positif sur I alors $f$ est positive sur I.

$tikzpicture-11$

Si $f (x)$ admet un maximum négatif sur I alors $f$ est négative sur I.

$tikzpicture-12$

$f (x)$ est négatif si $x \leq α$ .
$f (x)$ est positif si $x \geq α$ .

$tikzpicture-13$

$f (x)$ est positif si $x \leq α$ .
$f (x)$ est négatif si $x \geq α$ .

Dérivées successives

Définition 38. Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ , sa fonction dérivée $f^{'}$ est appelée fonction dérivée première et est notée $f^{(1)} .$
Si $f^{'}$ est dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable alors dans ce cas la fonction dérivée de $f^{'}$ c’est à dire $(f^{'})^{'}$ est appelée fonction dérivée seconde de $f$ et est notée $f^{''}$ ou $f^{(2)} .$
Si $f^{''}$ est à son tour dérivable sur $I$ , alors sa fonction dérivée est appelée fonction dérivée troisième de $f$ et est notée $f^{'''}$ ou $f^{(3)} .$
Par itération si la dérivée n-ième de $f$ existe, on la note $f^{(n)} .$

Exemple 39. $f (x) = x sin x$
$f^{'} (x) = sin x + x cos x$ , $f^{''} (x) = 2 cos x + x sin x$ , $f^{(3)} (x) = - 3 sin x + x cos x$ , etc.

Remarque 40. $\cdot$ $f^{(n)}$ est aussi appelée dérivée d’ordre n de $f .$
$\cdot$ En Physique $f^{'}$ , $f^{''},$ $\dots$ , $f^{(n)}$ sont notées respectivement $\frac{df}{d x}$ , $\frac{d ^{2} f}{d x ^{2}}$ , $\dots$ , $\frac{d ^{n} f}{d v ^{n}}$ .

Notion de différentielle

Une petite variation $Δ x$ de la variable $x$ provoque une petite variation $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ des images.
Lorsque $Δ x$ est voisin de $0$ , on assimile $d x = Δ x$ et on peut écrire: $\frac{d y}{d x} = f^{'} (x)$ ou $d y = f^{'} (x) d x$ ou $d y = f^{'} (x) Δ x$ .

Exemple 41. Pour la fonction $y = 2 x^{2} - x$ avec $x = 1$ et $Δ x = 0, 01$
Vérifier que la différentielle $d y = 0, 03$ et l’accroissement $Δ y = 0, 0302$

Position d’une courbe par rapport à sa tangente

Nous admettons le résultat suivant:
Si $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$ et si $f^{''}$ est négative sur $I,$ alors la courbe $C$ de $f$ est en dessous de toutes ses tangentes. On dit que $C$ est concave.
Si $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $I$ et si $f^{''}$ est positive sur $I,$ alors la courbe $C$ de $f$ est en dessus de toutes ses tangentes. On dit que $C$ est convexe.

Point d’inflexion

Définition 42. On dit que la courbe de $f$ admet un point d’inflexion d’abscisse $x_{0}$ si la courbe y traverse sa tangente.

$tikzpicture-14$

La courbe traverse sa tangente (en bleu).

Théorème 43. Si $f$ est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ contenant $x_{0}$ et si $f^{''}$ s’annule en changeant de signe en $x_{0}$ alors le point de la courbe d’abscisse $x_{0}$ est un un point d’inflexion.

Exemple 44. Reprenons l’exemple précédent $f : x \mapsto x^{3} - 3 x^{2}$
$f$ est dérivable sur $R$ car fonction polynôme.
On a $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x$ et $f^{''} (x) = 6 x - 6$
$f^{''} (x) = 0 ⟺ x = 1$

$x signe de f^{''} (x) - \infty + 10 - + \infty$

D’après le tableau de signes, $f^{''}$ s’annule en $1$ en changeant de signe; donc le point $(1, - 2)$ est un point d’inflexion de la courbe.

Inégalité des accroissements finis

Nous admettons le théorème de l’inégalité des accroissements finis et nous donnons ici les deux formes.

Théorème 45. Première forme
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . On suppose qu’il existe deux réels $m$ et $M$ tels que : $m \leq f^{'} (x) \leq M$ pour tout $x \in I$ .
Alors pour tous $a$ et $b$ de $I$ $(b > a)$ on a : $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$
Deuxième forme
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . On suppose qu’il existe un réel $M$ tel que : $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ pour tout $x \in I$ .
Alors pour tous $a$ et $b$ de $I$ on a : $∣ f (b) - f (a) ∣ \leq M ∣ b - a ∣$

Exercice 46. Soit $f$ la fonction définie sur $[0, \frac{π}{4}]$ par $f (x) = sin x$
Démontrer que $\forall x \in [0, \frac{π}{4}]$ on a: $\frac{2}{2} x \leq sin x \leq x$

Solution. La fonction $f$ est dérivable sur $I = [0, \frac{π}{4}]$ et $\forall \in I$ on a: $f^{'} (x) = cos x$
Or $\forall x \in [0, \frac{π}{4}]$ on a $\frac{2}{2} \leq cos x \leq 1$ donc pour $a = 0$ et $b = x \in I$ ,
le T.I.A.F donne: $- 1 \times \frac{2}{2} (x - 0) \leq sin x - sin 0 \leq 1 \times (x - 0)$
d’où $\frac{2}{2} x \leq sin x \leq x$ . ◻

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 47 (T.V.I). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ .
Pour tout nombre réel $β$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe au moins un réel $α \in [a, b]$ tel que $f (α) = β .$

Conséquence 1

Si $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a, b]$ alors pour tout nombre réel $β$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe un unique un réel $α \in [a, b]$ tel que $f (α) = β .$

Conséquence 2

$a$ , $b$ , $c$ et $d$ désignent soit des réels, soit $+ \infty$ , soit $- \infty.$
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle $] a, b [$ telle que : $x \to a lim f (x) = c et x \to b lim f (x) = d$ Alors pour tout nombre réel $β$ compris entre $c$ et $d$ , l’équation $f (x) = β$ admet une solution unique $α \in] a, b [$ .

Exercice 48. Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = x^{3} + x + 1$ .

Etudier les variations de $f$ .
Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une seule solution $α$ dans $R$ .
En déduire que $α \in] - 1, 0 [$
Déterminer un encadrement de $α$ d’amplitude $0, 01$ .

Solution.

$f$ est définie, continue et dérivable sur $R .$
$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ $\forall x \in R$ Donc $f$ est strictement croissante sur $R$
$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim x^{3} + x + 1 = x \to + \infty lim x^{3} = + \infty$
$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim x^{3} + x + 1 = x \to - \infty lim x^{3} = - \infty$

$tikzpicture-15$
$f$ est continue et strictement croissante sur $R$ à valeurs dans sur $R .$ Or $0 \in R$ donc d’après la conséquence du T.V.I il existe un unique réel $α$ tel que $f (α) = 0$ .
De plus $f (- 1) f (0) = - 1 \times 1 < 0$ donc $f (- 1) < 0 < f (0)$ $\Leftrightarrow f (- 1) < f (α) < f (0)$ $\Leftrightarrow - 1 < α < 0 car f est strictement croissante.$
Encadrement de $α$ d’amplitude $0, 01$ par la méthode du balayage .
$\cdot$ Recherchons d"abord un encadrement de $α$ par deux décimaux consécutifs d’ordre $1.$
Calculons de proche en proche les images par $f$ des nombres décimaux d’ordre $1$ de l’intervalle $[- 1, 0 [$ jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.

$x f (x) - 0, 9 - - 0, 8 - - 0, 7 - - 0, 6 + - 0, 5 - 0, 4 - 0, 3 - 0, 2 - 0, 1$

On obtient $- 0, 7 < α < - 0, 6$

$\cdot$ Recherchons ensuite un encadrement de $α$ par deux décimaux consécutifs d’ordre $2.$
Calculons de proche en proche les images par $f$ des nombres décimaux d’ordre $2$ de l’intervalle $] - 0, 7, - 0, 6 [$ jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.

$x f (x) - 0, 69 - - 0, 68 + - 0, 67 - 0, 66 - 0, 65 - 0, 64 - 0, 63 - 0, 62 - 0, 61$

On obtient $- 0, 69 < α < - 0, 68$

◻

Conséquence 3

Si $f$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $[a, b]$ et si $f (a) f (b) < 0$
Alors l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [a, b]$ .

Remarque 49. Pour montrer que l’équation $f (x) = x$ admet une unique solution dans l’intervalle $I$ ; on pose $g (x) = f (x) - x$ et on applique le T.V.I à la fonction $g$ sur l’intervalle $I$ .

Exemple 50. Montrons que l’équation $cos x = x$ admet une unique solution $α$ telle que $\frac{π}{6} \leq α \leq \frac{π}{4} .$
Réponse
Remarquons que $cos x = x \Leftrightarrow cos x - x = 0$
Posons la fonction $f (x) = cos x - x$ pour $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ .
$f$ est dérivable sur $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ comme somme de deux fonctions dérivables.
Pour $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ , $f^{'} (x) = - sin x - 1 < 0$ ; donc $f$ est strictement décroissante.
De plus $f (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} - \frac{π}{6} > 0$ et $f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} - \frac{π}{4} < 0$ .
Donc $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$
et $f (\frac{π}{6}) f (\frac{π}{4}) < 0$ d’où l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ .

Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone

Théorème 51 (Théorème de la bijection ). Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle $I$ ; alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers l’intervalle $f (I)$ .
En plus sa bijection réciproque $f^{- 1}$ est continue et strictement monotone sur l’intervalle $f (I)$ et a le même sens de variation que $f .$
Les courbes représentatives de $f$ et $f^{- 1}$ , dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ (la première bissectrice du repère).

$\cdot$ Si de plus $f$ est dérivable sur $I$ et $f^{'}$ ne s’annule pas sur $I$ alors $f^{- 1}$ dérivable sur $f (I)$ et $(f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ))} \forall y \in f (I)$

Remarque 52. Posons $f (a) = b$
Si $f$ est dérivable en $a$ et $f^{'} (a) \neq = 0$ alors $f^{- 1}$ est dérivable en $b$ et $(f^{- 1})^{'} (b) = \frac{1}{f ^{'} ( a )} .$
Attention
Si $f$ est dérivable en $a$ et $f^{'} (a) = 0$ ou n’existe pas alors $f^{- 1}$ n’est pas dérivable en $b .$

Exercice 53. Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 2$ .

Etablir le tableau de variations de $f$ .
1. Soit $g$ la restriction de $f$ à l’intervalle $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ . Montrer que $g$ réalise une bijection de $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ vers un intervalle $J$ à préciser.
2. Justifier que $g^{- 1}$ est dérivable en 2 puis calculer $(g^{- 1})^{'} (2)$ .

Solution.

$f$ est définie, continue et dérivable sur $R .$
$f^{'} (x) = 8 x + 4$ $\forall x \in R$
$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim 4 x^{2} + 4 x + 2 = x \to + \infty lim 4 x^{2} = + \infty$
$x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim 4 x^{2} + 4 x + 2 = x \to - \infty lim 4 x^{2} = + \infty$

$tikzpicture-16$
1. $g$ est continue et strictement croissante sur $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ donc réalise une bijection $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ de vers $g ([- \frac{1}{2}, + \infty [)$
  Or $g ([- \frac{1}{2}, + \infty [) = [g (- \frac{1}{2}), x \to + \infty lim g (x) [= [1, + \infty [$
  D’où $J = [1, + \infty [$ .
2. Pour répondre à cette question, il faut calculer l’ antécédent de $2$ par $g .$
  $g (x) = 2 \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 x + 2 = 2 \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 x = 0 \Leftrightarrow x = 0 o u x = - 1$
  Le seul antécédent dans $[- \frac{1}{2}, + \infty [$ est 0.
  Or $g$ est dérivable en 0 et $g^{'} (0) = f^{'} (0) = 4 \neq = 0$ donc $g^{- 1}$ est dérivable en 2.
  On a $(g^{- 1})^{'} (2) = \frac{1}{g ^{'} ( 0 )} = \frac{1}{4} .$

◻