1 Fonctions numériques. Rappels et compléments

Fonctions numériques. Rappels et compléments

algebra

Limites

Lorsque nous écrivons cela signifie que c’est valable pour comme pour

Il existe quatre cas d’indétermination dans les opérations sur les limites:

Limites usuelles

Remarque 1. Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limites à l’infini.

Limite de la composée de deux fonctions

Propriété 2. Soient et deux fonctions, , et trois réels pouvant éventuellement être ou .

Exemple 3. Calculons

On a: et donc par composée

Comparaisons de limites

Théorème 4. Soient , et trois fonctions et et ou ou .

Remarque 5. Le dernier théorème est parfois appelée << le théorème des gendarmes >>.

Exemple 6.

  • Soit .
    Pour tout :
    On a : et donc
    On a : et donc

  • Calculons .
    Pour tout :
    En multipliant par : on a
    Or donc

Limites et nombre dérivé

Théorème 7. Soit une fonction dérivable.

Exemple 8. Calculons

Posons
On a et

Branches infinies d’une courbe

Soit une fonction numérique et sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

Asymptotes

Asymptote verticale

Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction admet une limite infinie en un réel .

Définition 9. Si ou ou alors la droite d’équation (D) est une asymptote verticale à la courbe .

tikzpicture-1

tikzpicture-2

Asymptote horizontale

Elle traduit, graphiquement, le fait que la fonction admet une limite finie à l’infini.

Définition 10. Si (réel) alors la droite est une asymptote horizontale à la courbe en .

tikzpicture-3

Exemple 11. Pour la fonction

  • la droite d’équation est asymptote horizontale

  • la droite d’équation est asymptote verticale à la courbe de

Asymptote oblique

Définition 12. Soit une fonction et la droite d’équation .

Si alors la droite d’équation est une asymptote oblique à la courbe de en .

tikzpicture-4

Exemple 13. Pour la fonction dont la courbe est représentée ci dessous, la droite d’équation est asymptote oblique à la courbe de .

Remarque 14. Si s’écrit sous la forme et si alors la droite est une asymptote à en

Exemple 15. Pour la fonction la droite d’équation est asymptote oblique à sa courbe en car .

Position relative d’une courbe et son asymptote

Pour étudier la position relative de la courbe d’une fonction par rapport à son asymptote , on étudie le signe de la différence .

  • Si alors est située au-dessus de la courbe de

  • Si alors la courbe de est située en-dessous de la courbe de

  • Si alors la courbe de et sont sécantes.

On tiendra compte de l’ensemble sur lequel on doit étudier la position relative des deux courbes.

Recherche de branches infinies

Lorsque , la courbe présente une branche infinie qu’il faut étudier.

  • Si alors la courbe présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des abscisses.

  • Si alors la courbe présente une branche parabolique dans la direction de l’axe des ordonnées.

  • Si réel non nul alors on calcule

    Si (réel) alors la droite d’équation : est asymptote à la courbe .

    Si alors la courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’équation .

Exercice 16. On considère la fonction définie par :

  1. Déterminer les limites aux bornes de .

  2. Etudier la nature des branches infinies de la courbe .

  3. Etudier la position relative de par rapport à son asymptote oblique.

Solution.

  1. existe ssi ou

    existe ssi ou

    existe ssi ou
    donc existe ssi

    D’où

    Limites aux bornes de par composée d’où
    d’où
    L’étude de la limite en se fait uniquement sur la restriction
    donc
    donc

  2. Puisque et donc la droite d’équation est une asymptote verticale à la courbe de
    Puisque la restriction de sur s’écrit sous la forme et que donc la droite d’équation est une asymptote oblique à la courbe de
    D’autre part doc présente une branche infinie en
    Calculons
    d’où admet un branche parabolique d’axe (Ox).

  3. Etudions la position relative de et .
    Pour cela étudions le signe de pour

    Sur donc est au dessus de
    Sur donc est au dessous de

 ◻

Continuité

Continuité en un réel

Définition 17. Une fonction est continue en un réel ssi et .

Exemple 18. Soit

Etudions la continuité de en 1.
Pour , existe si et seulement, si et

si et seulement, si et

si et seulement, si

Or d’où existe si et seulement, si

donc d’où est continue en

Continuité à droite - continuité à gauche

Propriété 19. est continue en si et seulement, si .

Prolongement par continuité

Définition 20. Soit une fonction non définie en et un nombre réel tel que
On appelle prolongement par continuité de en , la fonction définie par : NB: La fonction est définie et continue en .

Exemple 21. Montrons que la fonction est prolongeable par continuité en 2 et trouvons son prolongement par continuité.

Réponse:
existe si et seulement, si .
finie donc est prolongeable par continuité en
Son prolongement par continuité en est la fonction définie par :

Dérivabilité

Dérivabilité en un réel

Définition 22. Soit une fonction définie sur un intervalle et .
est dérivable en s’il existe un nombre réel tel que
est le nombre dérivé de en On le note .

Autre formulation de la définition
On fait le changement de variable suivant
est dérivable en s’il existe un nombre réel tel que

Exemple 23. Soit
Etudions la dérivabilité de en 1.

Réponse:
On avait trouvé que

Donc est dérivable en et de nombre dérivé .

Propriété

Propriété 24. Si est dérivable en a, alors est continue en a

.

Contre-exemple 25. La réciproque de cette propriété est fausse.
La fonction est continue en mais elle n’est pas dérivable en .

Propriété : Dérivabilité à droite - dérivabilité à gauche

Propriété 26. est dérivable en si et seulement, si :

Notation 27. Les notations et s’utilisent que lorsque la limite du taux de variation est un réel.

Cas de non dérivabilité

Si ou alors n’est pas dérivable en .
Si alors n’est pas dérivable en .

Interprétation graphique de la dérivabilité

  1. Si est dérivable en alors sa courbe admet au point d’abscisse c-à-d le point une tangente de coefficient directeur ( ou pente) d’équation: .

    Remarque 28. si et seulement si admet au point d’abscisse une tangente horizontale d’équation
    Dans ce cas, le point est soit un extremum ( maximum ou minimum) soit un point d’inflexion.

  2. Si est dérivable à droite et à gauche de telle que alors admet au point deux demi-tangentes de pentes respectives et : le point est un point anguleux.

  3. Détaillons les cas d’une limite infinie.

    Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le haut. Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le bas.
    Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le bas. Si , la courbe de admet au point une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.
  4. Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales dirigées vers le haut d’équation . A est un point de rebroussement.

  5. Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales dirigées vers le bas d’équation . A est un point de rebroussement.

  6. Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales de même équation l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion.

  7. Si et alors la courbe de admet au point deux demi-tangentes verticales de même équation l’une dirigée vers le haut et l’autre vers le bas. A est un point d’inflexion à tangente verticale.

Continuité et dérivabilité sur un intervalle

Définition 29.

  • est continue ( resp. dérivable ) sur l’intervalle si elle est continue ( resp. dérivable ) en tout réel

  • La fonction qui à tout réel de associe le nombre dérivé de en s’appelle fonction dérivée ou dérivée de et est notée .
    L’ensemble des réels pour lesquels existe est appelé ensemble ou domaine de dérivabilité de : c’est le domaine de définition de

Rappelons ci-dessous les fonctions dérivées de certaines fonctions usuelles.

Propriété 30. Soient et deux fonctions continues (resp. dérivables) sur un intervalle

  • les fonctions et sont continues ( resp. dérivables ) sur

  • Si de plus sur alors les fonctions et sont continues (resp. dérivables) sur

Cas particuliers

  • Les fonctions polynômes sont continues et dérivables sur

  • Les fonctions rationnelles sont continues et dérivables sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

  • Les fonctions et sont continues et dérivables sur

  • La fonction est continue et dérivable sur tout intervalle du type , .

Image d’un intervalle par une fonction continue

Nous admettons le théorème suivant.

Théorème 31. Si est une fonction continue sur un intervalle alors est un intervalle .

Cas particuliers
Le tableau suivant donne les images de quelques intervalles simples par une fonction continue et strictement monotone . et peuvent être éventuellement ou

Continuité et dérivabilité de la composée de deux fonctions

Propriété 32. Si est continue sur l’intervalle et continue sur l’intervalle alors la fonction est continue sur .
Si est dérivable sur l’intervalle et dérivable sur l’intervalle alors la fonction est dérivable sur et pour tout , on a:

Exemple 33. Soit Calculons .

On a

Attention : Avant de dériver une fonction, il est recommandé de justifier sa dérivabilité même si la question ne le précise pas.
La fonction rationnelle est définie sur donc dérivable sur chacun des intervalles et
La fonction est dérivable sur ; en particulier sur chacun des intervalles et
D’ où par composée est dérivable sur chacun des intervalles et .
Pour tout :

Conséquence 34. Si est dérivable (resp. continue) sur et dérivable sur alors est dérivable (resp. continue) sur
Si est continue et positive sur alors est continue sur .
Si est dérivable et strictement positive sur alors est dérivable sur .

Formules de dérivations

Soient et deux fonctions dérivables, et

Exercice 35. Soit

  1. Etudier la continuité de sur son .

  2. Etudier la dérivabilité de sur son .

  3. Calculer

Solution.

  1. existe si et seulement, si et donc
    1 méthode
    La fonction est une fonction rationnelle définie sur donc continue sur
    La fonction est continue et positive sur donc la fonction est continue sur par composée.
    On en déduit que est continue sur comme produit et composée de fonctions continues.
    2 méthode
    La fonction est continue sur ,
    La fonction est continue et non nulle sur ,
    La fonction est continue et positive sur donc la fonction est continue sur par composée.
    On en déduit que est continue sur comme produit, quotient et composée de fonctions continues.

  2. 1 méthode
    La fonction est une fonction rationnelle définie sur donc dérivable sur
    La fonction est dérivable et strictement positive sur donc la fonction est dérivable sur . par composée.
    On en déduit que est dérivable sur comme produit et composée de fonctions dérivables.
    2 méthode
    La fonction est dérivable sur
    La fonction est dérivable et non nulle sur sur
    La fonction est dérivable et strictement positive sur donc la fonction est dérivable sur par composée.
    On en déduit que est dérivable sur comme produit, quotient et composée de fonctions dérivables.

  3. ,
    Soit

 ◻

Dérivée et sens de variations

Théorème 36. Soit une fonction dérivable sur un intervalle

  • est strictement croissante sur si et seulement si : ,
    et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de .

  • est strictement décroissante sur si et seulement si : ,
    et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de .

  • est croissante sur si et seulement si : , .

  • est décroissante sur si et seulement si : , .

Signe d’une fonction à partir de ses variations

Si admet un minimum positif sur I alors est positive sur I.

Si admet un maximum négatif sur I alors est négative sur I.

est positif si .
est négatif si .

est négatif si .
est positif si .

Dérivées successives

Définition 37. Soit une fonction dérivable sur , sa fonction dérivée est appelée fonction dérivée première et est notée
Si est dérivable sur , on dit que est deux fois dérivable alors dans ce cas la fonction dérivée de c’est à dire est appelée fonction dérivée seconde de et est notée ou
Si est à son tour dérivable sur , alors sa fonction dérivée est appelée fonction dérivée troisième de et est notée ou
Par itération si la dérivée n-ième de existe, on la note

Exemple 38.
, , , etc.

Remarque 39. est aussi appelée dérivée d’ordre n de
En Physique , , sont notées respectivement , , , .

Notion de différentielle

Une petite variation de la variable provoque une petite variation des images.
Lorsque est voisin de , on assimile et on peut écrire: ou ou .

Exemple 40. Pour la fonction avec et
Vérifier que la différentielle et l’accroissement

Position d’une courbe par rapport à sa tangente

Nous admettons le résultat suivant:
Si est une fonction deux fois dérivable sur et si est négative sur alors la courbe de est en dessous de toutes ses tangentes. On dit que est concave.
Si est une fonction deux fois dérivable sur et si est positive sur alors la courbe de est en dessus de toutes ses tangentes. On dit que est convexe.

Point d’inflexion

Définition 41. On dit que la courbe de admet un point d’inflexion d’abscisse si la courbe y traverse sa tangente.

Théorème 42. Si est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant et si s’annule en changeant de signe en alors le point de la courbe d’abscisse est un un point d’inflexion.

Exemple 43. Reprenons l’exemple précédent
est dérivable sur car fonction polynôme.
On a et

D’après le tableau de signes, s’annule en en changeant de signe; donc le point est un point d’inflexion de la courbe.

Inégalité des accroissements finis

Nous admettons le théorème de l’inégalité des accroissements finis et nous donnons ici les deux formes.
Première forme
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On suppose qu’il existe deux réels et tels que : pour tout .
Alors pour tous et de on a :
Deuxième forme
Soit une fonction dérivable sur un intervalle . On suppose qu’il existe un réel tel que : pour tout .
Alors pour tous et de on a :

Exercice 44. Soit la fonction définie sur par
Démontrer que on a:

Solution. La fonction est dérivable sur et on a:
Or on a donc pour et ,
le T.I.A.F donne:
d’où . ◻

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 45 (T.V.I). Soit une fonction continue sur un intervalle .
Pour tout nombre réel compris entre et , il existe au moins un réel tel que

Conséquence 1

Si une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle alors pour tout nombre réel compris entre et , il existe un unique un réel tel que

Conséquence 2

, , et désignent soit des réels, soit , soit
Soit une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle telle que : Alors pour tout nombre réel compris entre et , l’équation admet une solution unique .

Exercice 46. Soit la fonction définie par .

  1. Etudier les variations de .

  2. Montrer que l’équation admet une seule solution dans .
    En déduire que

  3. Déterminer un encadrement de d’amplitude .

Solution.

  1. est définie, continue et dérivable sur
    Donc est strictement croissante sur

  2. est continue et strictement croissante sur à valeurs dans sur Or donc d’après la conséquence du T.V.I il existe un unique réel tel que .
    De plus donc

  3. Encadrement de d’amplitude par la méthode du balayage .
    Recherchons d"abord un encadrement de par deux décimaux consécutifs d’ordre
    Calculons de proche en proche les images par des nombres décimaux d’ordre de l’intervalle jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.

    On obtient

    Recherchons ensuite un encadrement de par deux décimaux consécutifs d’ordre
    Calculons de proche en proche les images par des nombres décimaux d’ordre de l’intervalle jusqu’à ce qu’on observe un changement de signe.

    On obtient

 ◻

Conséquence 3

Si est continue et strictement monotone sur l’intervalle et si
Alors l’équation admet une unique solution .

Remarque 47. Pour montrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle ; on pose et on applique le T.V.I à la fonction sur l’intervalle .

Exemple 48. Montrons que l’équation admet une unique solution telle que
Réponse
Remarquons que
Posons la fonction pour .
est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables.
Pour , ; donc est strictement décroissante.
De plus et .
Donc est continue et strictement décroissante sur l’intervalle
et d’où l’équation admet une unique solution .

Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone

Théorème 49 (Théorème de la bijection ). Soit une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle ; alors réalise une bijection de vers l’intervalle .
En plus sa bijection réciproque est continue et strictement monotone sur l’intervalle et a le même sens de variation que
Les courbes représentatives de et , dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d’équation (la première bissectrice du repère).

Si de plus est dérivable sur et ne s’annule pas sur alors dérivable sur et

Remarque 50. Posons
Si est dérivable en et alors est dérivable en et
Attention
Si est dérivable en et ou n’existe pas alors n’est pas dérivable en

Exercice 51. Soit la fonction définie par .

  1. Etablir le tableau de variations de .

    1. Soit la restriction de à l’intervalle . Montrer que réalise une bijection de vers un intervalle à préciser.

    2. Justifier que est dérivable en 2 puis calculer .

Solution.

  1. est définie, continue et dérivable sur


    1. est continue et strictement croissante sur donc réalise une bijection de vers
      Or
      D’où .

    2. Pour répondre à cette question, il faut calculer l’ antécédent de par

      Le seul antécédent dans est 0.
      Or est dérivable en 0 et donc est dérivable en 2.
      On a

 ◻