Similitudes directes

1. Transformations du plan complexe

Une transformation du plan complexe $\mathcal{P}$ est une application bijective : $$f:\mathcal{P}⟶\mathcal{P},M⟼M^{\prime }$$ On lui associe une unique application complexe bijective $\phi :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, telle que $z^{\prime }=\phi (z)$.

L’expression $z^{\prime }=\phi (z)$ est appelée écriture complexe de la transformation.

2. Écriture complexe des transformations usuelles

• Translation de vecteur $\vec{u}$ d’affixe $a$ : $$z^{\prime }=z+a$$

• Homothétie de centre $\Omega (\omega )$ et de rapport $k\in \mathbb{R}$ : $$z^{\prime }-\omega =k(z-\omega )\text{ou}{z}^{\prime }=kz+\omega (1-k)$$

• Rotation de centre $\Omega (\omega )$ et d’angle $\theta$ : $$z^{\prime }-\omega =e^{i\theta }(z-\omega )\text{ou}{z}^{\prime }=e^{i\theta }z+\omega (1-e^{i\theta })$$

3. Similitudes directes

Les éléments caractéristiques d’une similitude directe sont :

• le centre $\Omega$ (point invariant),

• le rapport $k>0$,

• l’angle $\theta$.

Elle est notée : $S(\Omega ,k,\theta )$

4. Propriétés géométriques d’une similitude directe

• Le centre est le seul point invariant (sauf pour les translations).

• Une similitude directe :

  • multiplie les longueurs par $k$ ;

  • multiplie les aires par $k^2$ ;

  • conserve les alignements, parallélismes, orthogonalités, barycentres, contacts et angles orientés.

• L’image d’une droite est une droite ; l’image d’un cercle est un cercle.

• La réciproque de $S(\Omega ,k,\theta )$ est $S^{-1}(\Omega ,\frac{1}{k},-\theta )$.

• La composée de deux similitudes directes de même centre est une similitude directe de même centre : $$S(\Omega ,k,\theta )\circ S(\Omega ,k^{\prime },{\theta }^{\prime })=S(\Omega ,k{k}^{\prime },\theta +{\theta }^{\prime })$$

5. Écriture complexe d’une similitude directe

Toute similitude directe de centre $\Omega$ d’affixe $\omega$, de rapport $k>0$ et d’angle $\theta$ admet l’écriture complexe : $$z^{\prime }-\omega =k{e}^{i\theta }(z-\omega )\text{ou}{z}^{\prime }=k{e}^{i\theta }z+\omega (1-k{e}^{i\theta })$$

6. Détermination de la nature d’une transformation

Soit $f(z)=az+b$ avec $a\ne 0$ :

• si $a=1$ : $f$ est une translation d’affixe $b$ ;

• si $|a|=1$ et $a\ne 1$ : $f$ est une rotation ;

• si $a\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$ : $f$ est une homothétie ;

• si $a\notin \mathbb{R}$ et $|a|\ne 1$ : $f$ est une similitude directe non isométrique.

Le point invariant $\omega$ est donné par : $$\omega =\frac{b}{1-a}$$

7. Tableau récapitulatif

$$\begin{array}{ll}\text{Transformation}& \text{Eˊcriture complexe}\\ \text{Translation de vecteur }\vec{u}& z^{\prime }=z+b(b=\text{affixe de }\vec{u})\\ \text{Homotheˊtie de centre }\Omega ,\text{rapport }k& z^{\prime }-\omega =k(z-\omega )\\ \text{Rotation de centre }\Omega ,\text{angle }\theta & z^{\prime }-\omega =e^{i\theta }(z-\omega )\\ \text{Similitude directe de centre }\Omega ,k>0,\theta \in \mathbb{R}& z^{\prime }-\omega =k{e}^{i\theta }(z-\omega )\end{array}$$