Similitudes directes
Similitudes directes
algebra
1. Transformations du plan complexe
Une transformation du plan complexe est une application bijective : On lui associe une unique application complexe bijective , telle que .
L’expression est appelée écriture complexe de la transformation.
2. Écriture complexe des transformations usuelles
Translation de vecteur d’affixe :
Homothétie de centre et de rapport :
Rotation de centre et d’angle :
3. Similitudes directes
Définition 1. Une similitude directe est une transformation du plan qui conserve les angles orientés et multiplie les distances par un réel , appelé rapport.
Les éléments caractéristiques d’une similitude directe sont :
le centre (point invariant),
le rapport ,
l’angle .
Elle est notée :
4. Propriétés géométriques d’une similitude directe
Le centre est le seul point invariant (sauf pour les translations).
Une similitude directe :
multiplie les longueurs par ;
multiplie les aires par ;
conserve les alignements, parallélismes, orthogonalités, barycentres, contacts et angles orientés.
L’image d’une droite est une droite ; l’image d’un cercle est un cercle.
La réciproque de est .
La composée de deux similitudes directes de même centre est une similitude directe de même centre :
5. Écriture complexe d’une similitude directe
Toute similitude directe de centre d’affixe , de rapport et d’angle admet l’écriture complexe :
Conséquence 2. Toute similitude directe a une écriture complexe de la forme : avec et .
6. Détermination de la nature d’une transformation
Soit avec :
si : est une translation d’affixe ;
si et : est une rotation ;
si : est une homothétie ;
si et : est une similitude directe non isométrique.
Le point invariant est donné par :
7. Tableau récapitulatif