Similitudes directes

Similitudes directes

algebra

1. Transformations du plan complexe

Une transformation du plan complexe est une application bijective : On lui associe une unique application complexe bijective , telle que .

L’expression est appelée écriture complexe de la transformation.

2. Écriture complexe des transformations usuelles

  • Translation de vecteur d’affixe :

  • Homothétie de centre et de rapport :

  • Rotation de centre et d’angle :

3. Similitudes directes

Définition 1. Une similitude directe est une transformation du plan qui conserve les angles orientés et multiplie les distances par un réel , appelé rapport.

Les éléments caractéristiques d’une similitude directe sont :

  • le centre (point invariant),

  • le rapport ,

  • l’angle .

Elle est notée :

4. Propriétés géométriques d’une similitude directe

  • Le centre est le seul point invariant (sauf pour les translations).

  • Une similitude directe :

    • multiplie les longueurs par ;

    • multiplie les aires par ;

    • conserve les alignements, parallélismes, orthogonalités, barycentres, contacts et angles orientés.

  • L’image d’une droite est une droite ; l’image d’un cercle est un cercle.

  • La réciproque de est .

  • La composée de deux similitudes directes de même centre est une similitude directe de même centre :

5. Écriture complexe d’une similitude directe

Toute similitude directe de centre d’affixe , de rapport et d’angle admet l’écriture complexe :

Conséquence 2. Toute similitude directe a une écriture complexe de la forme : avec et .

6. Détermination de la nature d’une transformation

Soit avec :

  • si : est une translation d’affixe ;

  • si et : est une rotation ;

  • si : est une homothétie ;

  • si et : est une similitude directe non isométrique.

Le point invariant est donné par :

7. Tableau récapitulatif