Calcul de probabilité (TS2)

Calcul de probabilité (TS2)

algebra

Compétences que doit maîtriser le candidat :

  • connaître le vocabulaire de la probabilité ( univers, épreuve, événements).

  • savoir calculer la probabilité d’un événement dans les cas d’équiprobabilité et de non équiprobabilité.

  • Reconnaître une probabilité conditionnelle

  • montrer que deux événements sont indépendants

  • Utiliser la formule des probabilités totales

  • Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

  • Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire.

  • Déterminer et représenter la fonction de répartition d’une variable aléatoire.

  • Reconnaître une loi binomiale

  • Connaître la formule de la loi binomiale et l’utiliser pour résoudre des problèmes.

Méthodologie

  1. Équiprobabilité
    Dans le cas d’un tirage << équiprobable>>, chaque événement élémentaire a la même probabilité d’apparition.
    Dans ce cas, pour tout événement A
    P(A)

    • Exemple: Dans un supermarché, il y a 150 cartons de lait, dont 8 sont avariés. Un client prend 2 cartons au hasard. Quelle est la probabilité qu’il soit mécontent ?

    • Réponse
      Le nombre de cas possibles est le nombre de façons de choisir deux objets parmi 150, c’est-à-dire .
      L’ordre dans lequel il choisit ses cartons n’a pas d’importance et les répétitions ne sont pas possibles ( il prend obligatoirement deux cartons distincts)
      Le nombre de cas favorables peut être obtenu de la manière suivante : le client est mécontent s’il obtient au moins un carton avarié .
      .

    • Méthode Faire la distinction entre le << et >> qui correspond à et le << ou >> qui correspond à . Se servir de la formule :

  2. Calcul d’une probabilité conditionnelle

    • Méthode
      On applique la formule de définition :

      Les probabilités figurant sur les sous branches sont des probabilités conditionnelles.

      tikzpicture-1

    • énoncé:  Un sac contient trois jetons rouges et quatre jetons blancs. On en tire simultanément et hasard deux.
      Calculer la probabilité pour qu’un tirage contenant un rouge contienne également un blanc?
      Attention à l’énoncé: il s’agit de calculer la probabilité que le tirage contient un jeton blanc sachant qu’il contient déjà un jeton rouge!

    • Méthode
      Dans l’écriture de la définition, il faut commencer par regarder ce qui conditionne.
      Par exemple : Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80% de chances d’atteindre sa cible. 80% est la probabilité de d’atteindre la cible sous condition (sachant ) qu’on est entraîné.

    • Formule:

    • Exemple: Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80 % de chances d’atteindre sa cible. Parmi les participants, 40 % sont des tireurs entraînés. Quelle est la probabilité d’être un tireur entraîné et de gagner ?réponse:

  3. Utiliser la formule des probabilités totales

    • Méthode
      On utilise la formule dans le cas particulier important où la partition se réduit à
      La formule devient : .

    • énoncé Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80% de chances d’atteindre sa cible. Parmi les participants, 40 % sont des tireurs entraînés. Les autres ont 50% de chances d’atteindre la cible. On choisit un participant au hasard, quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible ?

    • réponseOn désigne par A l’événement << être un tireur entraîné >> et par G l’événement << atteindre la cible>>

    • Indépendance deux événements
      Définition: On dit que les événements A et B sont indépendants si,

    • Propriété: A et B sont indépendants si, et seulement si, P ou P.

  4. Etude d’une variable aléatoire
    Déterminer une loi de probabilité
    Méthode

    • première étape : regarder les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X ;

    • deuxième étape : regarder ce que signifie chacun des événements ;

    • troisième étape : calculer les probabilités de chacun des événements déterminés précédemment.
      On peut utiliser un tableau pour représenter la loi de probabilité.

      NB: on a

  5. Espérance mathématique
    L’espérance mathématique de X notée E(X) , est définie par : E(X).

  6. Variance et écart type
    La variance de X, notée est définie par: .
    L’écart type de X, noté est .

  7. Déterminer une fonction de répartition
    Méthode
    Il suffit d’appliquer la définition .
    Pour calculer cette probabilité, il faut << cumuler les valeurs>>.

  8. Reconnaître une loi binomiale
    Méthode
    Il faut repérer l’épreuve de Bernoulli, déterminer la valeur de p (probabilité de succès à une épreuve de Bernoulli). Puis déterminer la valeur de , nombre de fois où cette épreuve de Bernoulli est répétée (épreuves indépendantes).
    Loi binomiale
    La loi de probabilité correspondant à un schéma de Bernoulli est appelée loi binomiale de paramètre et , c’est-à-dire pour tout entier de on a : P

    L’espérance mathématique de X est E(X) et la variance V(X)
    Exemple: Lors d’une compétition de tir à l’arc, on a constaté qu’un tireur entraîné a 80 % de chances d’atteindre sa cible. Parmi les participants, 40 % sont des tireurs entraînés. Les autres ont 50% de chances d’atteindre la cible.
    On choisit un tireur au hasard, on lui fait faire 10 tirs consécutifs, indépendants.
    Calculer la probabilité qu’il atteigne exactement 7 fois la cible.