Nombres complexes

algebra

Comment écrire un nombre complexe sous forme algébrique ?

Méthode 1. Pour obtenir la forme algébrique d’un nombre complexe, on développe en utilisant les propriétés de l’addition et de la multiplication et en tenant compte de ce que $i^{2} = - 1$ . Dans le cas d’un quotient, si le dénominateur est un nombre complexe, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour rendre ce dernier réel.

Exemple 2. Soit $f$ l’application définie dans $C^{*}$ par $f (z) = \frac{1}{z}$ , donner la forme algébrique de $f (2 + 3 i)$ .

Solution. $f (2 + 3 i) = \frac{1}{2 + 3 i} = \frac{1}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i} = \frac{2 - 3 i}{4 + 9} = \frac{2 - 3 i}{13} = \frac{2}{13} - \frac{3}{13} i$ ◻

Remarque 3. Remarques utiles :

$\overline{z} = \overline{a + b i} = a - b i$
$z \cdot \overline{z} = ∣ z ∣^{2} = a^{2} + b^{2}$

Comment résoudre une équation dans $C$ ?

Méthode 4.

Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue $z$ , on isole $z$ et on donne sa forme algébrique.
Pour résoudre une équation du premier degré d’inconnue $z$ dans laquelle figurent $\overline{z}$ , on pose $z = x + y i$ et on remplace dans l’équation donnée.
Pour résoudre une équation du second degré d’inconnue $z$ à coefficients réels, on calcule le discriminant $Δ$ , suivant son signe on a alors des solutions réelles ou complexes conjuguées.

Exemple 5. Résoudre dans $C$ chacune des équations suivantes :

$2 z + 3 i = 5 - z$
$z + 2 \overline{z} = 1 + 3 i$
$z^{2} - 2 z + 5 = 0$

Solution.

$2 z + 3 i = 5 - z \Rightarrow 3 z = 5 - 3 i \Rightarrow z = \frac{5 - 3 i}{3} = \frac{5}{3} - i$
Posons $z = x + y i$ , alors $\overline{z} = x - y i$ . L’équation devient : $(x + y i) + 2 (x - y i) = 1 + 3 i$ $\Rightarrow 3 x - y i = 1 + 3 i$ Par identification : $3 x = 1$ et $- y = 3$ , donc $x = \frac{1}{3}$ et $y = - 3$ . Ainsi $z = \frac{1}{3} - 3 i$
$Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ Les solutions sont : $z = \frac{2 \pm - 16}{2} = \frac{2 \pm 4 i}{2} = 1 \pm 2 i$

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Comment déterminer un ensemble de points à partir de la forme algébrique ?

Méthode 6. Il faut savoir << traduire l’énoncé >>, les remarques suivantes sont souvent utiles pour le faire :

$z$ est un nombre réel signifie que $Im (z) = 0$ ou que $z = \overline{z}$ ou que l’image de $z$ est un point de l’axe réel
$z$ est un nombre imaginaire pur signifie que $Re (z) = 0$ ou que $z = - \overline{z}$ ou que l’image de $z$ appartient à l’axe imaginaire

Il faut aussi savoir reconnaître les ensembles de points à partir de leur équation :

$a x + b y + c = 0$ pour une droite
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ pour le cercle de centre le point $Ω$ d’affixe $a + b i$ et de rayon $R$

Exemple 7. À tout nombre complexe $z$ différent de $i$ , on associe le nombre complexe $Z = \frac{z - i}{z + i}$ . On pose $z = x + y i$ où $x$ et $y$ sont deux réels.

Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie réelle $X$ et la partie imaginaire $Y$ de $Z$ .
En déduire l’ensemble $E$ des points $M$ du plan complexe, d’affixe $z$ tels que $Z$ est réel.
En déduire l’ensemble $F$ des points $M$ du plan complexe, d’affixe $z$ tels que $Z$ est imaginaire pur.

Solution.

$Z = \frac{x + y i - i}{x + y i + i} = \frac{x + ( y - 1 ) i}{x + ( y + 1 ) i}$

En multipliant par le conjugué : $Z = \frac{[ x + ( y - 1 ) i ] [ x - ( y + 1 ) i ]}{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + ( y - 1 ) ( y + 1 ) + i [ x ( y - 1 ) - x ( y + 1 )]}{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}}$

$Z = \frac{x ^{2} + y ^{2} - 1 - 2 x i}{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}}$

Donc $X = \frac{x ^{2} + y ^{2} - 1}{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}}$ et $Y = \frac{- 2 x}{x ^{2} + ( y + 1 ) ^{2}}$
$Z$ est réel $\Leftrightarrow Y = 0 \Leftrightarrow x = 0$ Donc $E$ est l’axe imaginaire privé du point d’affixe $i$ .
$Z$ est imaginaire pur $\Leftrightarrow X = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ Donc $F$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point d’affixe $i$ .

◻

Comment utiliser les différentes formes d’un nombre complexe ?

$Que faut-il faire ? V \overset{e}{ˊ} rifier que a et b sont r \overset{e}{ˊ} els V \overset{e}{ˊ} rifier que r est un r \overset{e}{ˊ} el positif V \overset{e}{ˊ} rifier que r est positif Quelle forme faut-il choisir ? Forme alg \overset{e}{ˊ} brique z = a + b i Forme trigonom \overset{e}{ˊ} trique z = r (cos θ + i sin θ) Forme exponentielle z = r e^{i θ} Utilit \overset{ˊ}{e} Cette forme facilite les calculs de somme et de diff \overset{e}{ˊ} rence et permet de faire le lien entre les complexes et les coordonn \overset{e}{ˊ} es cart \overset{e}{ˊ} siennes des points images Cette forme \overset{e}{ˊ} tablit le lien entre les complexes et la g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trie, elle permet le calcul des distances et des angles Cette forme facilite les calculs de produit, de quotient et de puissance de nombres complexes$

Pour passer d’une forme à l’autre :

$Forme alg \overset{e}{ˊ} brique r x \leftrightarrow Forme trigonom \overset{e}{ˊ} trique/exponentielle = x^{2} + y^{2} = r cos θ et y = r sin θ$ $⎩ ⎨ ⎧ cos θ = \frac{x}{r} sin θ = \frac{y}{r}$

Exemple 8. Relier les nombres complexes proposés à leurs différentes formes :

$Complexes 1 + i - 2 + 2 i Forme alg \overset{ˊ}{e} brique 1 + i - 2 + 2 i Forme trigonom \overset{ˊ}{e} trique 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) 22 (cos \frac{3 π}{4} + i sin \frac{3 π}{4}) Forme exponentielle 2 e^{i π /4} 22 e^{i 3 π /4}$

Remarque 9. Cas particuliers à bien savoir :

$i = e^{i π /2}$
$- 1 = e^{i π}$
$- i = e^{i 3 π /2}$
$1 = e^{i 0}$

Comment utiliser la forme trigonométrique des nombres complexes en géométrie ?

Méthode 10. Pour utiliser les nombres complexes en géométrie, il est utile de connaître leur forme trigonométrique, les règles de calcul sur celle-ci et l’interprétation géométrique des modules et arguments suivants :

$∣ z_{B} - z_{A} ∣ = A B$ (distance)
$ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) = (A B, A C)$ (angle orienté)
$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{A C}{A B}$ (rapport de distances)
$ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) \equiv 0 (mod 2 π)$ signifie que $A$ , $B$ et $C$ sont alignés

Dans ce qui précède $A$ , $B$ et $C$ sont trois points tels que $A \neq = B$ et $A \neq = C$ .

Exemple 11.

Soit $z_{A} = 1$ , $z_{B} = 1 + i 3$ , $z_{C} = - 1 + i 3$ les affixes respectives de trois points $A$ , $B$ et $C$ . Déterminer la forme exponentielle de $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ . En déduire la nature du triangle $A BC$ .
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $∣ z - i ∣ = 2$ .
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $∣ z - 1∣ = ∣ z - i ∣$ .
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣$ .

Solution.

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \frac{- 1 + i 3 - 1}{i 3} = \frac{- 2 + i 3}{i 3} = \frac{( - 2 + i 3 ) ( - i 3 )}{3} = \frac{2 i 3 + 3}{3} = 1 + \frac{2 i 3}{3}$

Le module est $1 + \frac{4 \cdot 3}{9} = \frac{13}{9} = \frac{13}{3}$ et l’argument est $tan^{- 1} (\frac{2 3}{3})$ .
L’ensemble est le cercle de centre le point d’affixe $i$ et de rayon $2$ .
$∣ z - 1∣ = ∣ z - i ∣$ signifie que $M$ est équidistant des points d’affixes $1$ et $i$ . C’est la médiatrice du segment joignant ces deux points.
$∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣$ signifie que $M$ est équidistant des points d’affixes $1$ et $- 1$ . C’est l’axe imaginaire.

◻

Comment préciser la position relative de trois points ?

Méthode 12. Dans le plan complexe, $z_{A}$ , $z_{B}$ et $z_{C}$ sont trois nombres complexes distincts, d’images respectives $A$ , $B$ et $C$ . On considère le nombre complexe $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ . On a :

Si $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} \in R$ , alors $A$ , $B$ et $C$ sont alignés
Si $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = 1$ , alors $A C = A B$
Si $ar g (\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}) = \pm \frac{π}{2}$ , alors le triangle $A BC$ est rectangle en $A$
Si $\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = \pm i$ , alors le triangle $A BC$ est rectangle et isocèle en $A$

Exemple 13. Dans chacun des cas que peut-on dire des points $A$ , $B$ et $C$ ?

$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = 2$
$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = i$
$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} i$
$\frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}} = 1 + i 3$

Solution.

Le rapport est réel positif, donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés et $A C = 2 A B$ .
$∣ i ∣ = 1$ et $ar g (i) = \frac{π}{2}$ , donc le triangle $A BC$ est rectangle et isocèle en $A$ .
Le module est $1$ et l’argument est $\frac{3 π}{4}$ , donc $A C = A B$ et $(A B, A C) = \frac{3 π}{4}$ .
Le module est $2$ et l’argument est $\frac{π}{3}$ , donc $A C = 2 A B$ et $(A B, A C) = \frac{π}{3}$ .

◻

Nombres complexes

Comment écrire un nombre complexe sous forme algébrique ?

Comment résoudre une équation dans C ?

Comment déterminer un ensemble de points à partir de la forme algébrique ?

Comment utiliser les différentes formes d’un nombre complexe ?

Comment utiliser la forme trigonométrique des nombres complexes en géométrie ?

Comment préciser la position relative de trois points ?

Comment résoudre une équation dans $C$ ?