Limites

algebra

Limite d’une fonction composée

Soient $a$ , $b$ et $c$ des réels ou $+ \infty$ ou $- \infty$ .

Propriété 1. Si $x \to a lim f (x) = b$ et $x \to b lim g (x) = c$ alors $x \to a lim g (f (x)) = c$

Exemple 2. $Calculons x \to + \infty lim cos (\frac{π x}{2 x + 1})$

$La fonction x \mapsto cos (\frac{π x}{2 x + 1})$ est la composée $g \circ f$ où $f : x \mapsto \frac{π x}{2 x + 1}$ et $g : x \mapsto cos x$

$x \to + \infty lim \frac{π x}{2 x + 1} = x \to + \infty lim \frac{π x}{2 x} = \frac{π}{2} et x \to \frac{π}{2} lim cos x = 0$

$Donc x \to + \infty lim cos (\frac{π x}{2 x + 1}) = 0$

Remarque 3. En pratique pour calculer $x \to a lim g (f (x))$ on peut faire un changement de variable en posant par exemple $X = f (x)$ et la limite devient $X \to b lim g (X)$ .

L’objectif du changement de variable dans un calcul de limites lorsqu’on est en présence d’une forme indéterminée(FI), est de se ramener à une limite connue (limite usuelle ou limite déjà calculée)

Exemple 4. Pour calculer $x \to + \infty lim x sin (\frac{π}{x})$

On peut poser $X = \frac{π}{x}$ et la limite devient :

$X \to 0 lim π \frac{sin X}{X} = π$

$Donc x \to + \infty lim x sin (\frac{π}{x}) = π$

Théorèmes de comparaison

Théorème 1 ( Minoration et majoration)

Théorème 5. Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f (x) \leq g (x)$ .

$Si x \to a lim f (x) = + \infty alors x \to a lim g (x) = + \infty$
$Si x \to a lim g (x) = - \infty alors x \to a lim f (x) = - \infty$

Théorème 2 (ou théorème des gendarmes

Théorème 6. Soient $f, g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un réel tels que $h (x) \leq f (x) \leq g (x) .$

$Si x \to a lim h (x) = x \to a lim g (x) = l alors x \to a lim f (x) = l$

Théorème 3

Théorème 7. Soit $f$ et $g$ deux fonctions et $l$ un réel telles que $∣ f (x) - l ∣ \leq g (x) .$

$Si x \to a lim g (x) = 0 alors x \to a lim f (x) = l$

Utilisation de la dérivée

Théorème 8. $Si x \to a lim f^{'} (x) = l (fini ou infini)$ alors $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = l$

Exemple 9. Pour calculer $x \to 1 lim \frac{x ^{5} + cos ( 2 π x ) - 2}{x - 1}$ , on peut procéder comme suit: $x \to 1 lim \frac{x ^{5} + cos ( 2 π x ) - 2}{x - 1} = x \to 1 lim (x^{5} + cos (2 π x))^{'} = x \to 1 lim 5 x^{4} - 2 π sin (2 π x) = 5$