Fonction racine n-ième

Fonction racine n-ième

algebra

Théorème 1 (et définition). $n \in N^{*}$
La fonction $x \mapsto x^{n}$ est continue et strictement croissante sur $R_{+}$ donc elle est bijective de $R_{+}$ vers $R_{+}$ et admet une bijection réciproque appelée fonction racine n-ième et notée $x \mapsto x^{\frac{1}{n}}$ ou $x \mapsto n x$ .

Exemple 2.

$1 x = x$ ,
$2 x = x = x^{\frac{1}{2}}$ (racine carrée) ,
$3 x = x^{\frac{1}{3}}$ appelée la racine cubique de $x .$

Notation 3. $n x^{p} = (x^{p})^{\frac{1}{n}} = x^{\frac{p}{n}}$

Résolution de l’équation $x^{n} = a$

si $n$ est pair et $a \geq 0$ alors $x = n a$ ou $x = - n a$
si $n$ est impair et $a \geq 0$ alors $x = n a$
si $n$ est pair et $a < 0$ alors pas de solution.
si $n$ est impair et $a \leq 0$ alors $x = - n - a$

Exemple 4.

$x^{3} = 8 ⟺ x = 38 = 8^{\frac{1}{3}} = (2^{3})^{\frac{1}{3}} = 2$
$x^{3} + 1 = 0 ⟺ x^{3} = - 1 ⟺ x = - 31 = - 1$
$x^{4} = 3 ⟺ x = 43$ ou $x = - 43$