Fonction de raccordement

algebra

Recherche d’un ensemble de définition d’une fonction de raccordement

$f_{1}$ et $f_{2}$ sont deux fonctions numériques d’ensembles de définition respectifs $D_{1}$ et $D_{2}$ .

Soit la fonction $f$ définie par : $f (x) = {f_{1} (x) si x < a f_{2} (x) si x \geq a$ $a$ réel.

$f_{1}$ désigne la restriction de $f$ à l’intervalle $] - \infty, a [$ et $f_{2}$ désigne la restriction de $f$ à l’intervalle $[a, + \infty [$ . On a alors :

$f (x)$ existe si et seulement si ${f_{1} (x) existe dans R x < a$ ou ${f_{2} (x) existe dans R x \geq a$

$f (x)$ existe si et seulement si ${x \in D_{1} x < a$ ou ${x \in D_{2} x \geq a$

$f (x)$ existe si et seulement si $x \in D_{1} \cap] - \infty, a [$ ou $x \in D_{2} \cap [a, + \infty [$

On note $S_{1}$ l’ensemble des solutions du premier système et $S_{2}$ celui du second.

Finalement l’ensemble de définition de la fonction $f$ est la réunion $S_{1} \cup S_{2}$ . $D_{f} = S_{1} \cup S_{2}$

Exemple 1. On considère la fonction $f$ définie par : $f (x) = {x + 4 si x \geq 2 x + 3 - \frac{2}{x - 1} si x < 2$

Déterminons l’ensemble de définition de $f$ .
Solution
$f (x)$ existe si et seulement si ${x + 4 \geq 0 x \geq 2$ ou ${x - 1 \neq = 0 x < 2$
$f (x)$ existe si et seulement si ${x \geq - 4 x \geq 2$ ou ${x \neq = - 1 x < 2$
$f (x)$ existe si et seulement si $x \geq 2$ ou $x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 2 [$
donc $f (x)$ existe si et seulement si $x \in] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 2 [\cup [2, + \infty [$
D’où $D_{f} =] - \infty, - 1 [\cup] - 1, + \infty [$