Éléments de symétrie d’une courbe

algebra

Soit $f$ une fonction numérique et $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Axe de symétrie

Pour montrer que la droite $Δ$ d’équation $x = a$ est un axe de symétrie de la courbe $C$ , on peut utiliser l’une des méthodes suivantes:

Démontrer que : $\forall x \in D_{f}$ on a $2 a - x \in D_{f}$ et $f (a - x) = f (x)$
Démontrer que : $\forall x \in D_{f}$ on a $a - x \in D_{f}$ , $a + x \in D_{f}$ et $f (2 a - x) = f (a + x)$
Démontrer que : la fonction $g (x) = f (a - x)$ est paire.

Dans ce cas on peut restreindre l’étude de $f$ à $[a, + \infty [\cap D_{f}$ et on obtient la courbe complète par symétrie par rapport à la droite $Δ$ .

Centre de symétrie

Pour montrer que le point $I (a, b)$ est un axe de symétrie de la courbe $C$ , on peut utiliser l’une des méthodes suivantes :

Démontrer que : $\forall x \in D_{f}$ on a $2 a - x \in D_{f}$ et $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$
Démontrer que : $\forall x \in D_{f}$ on a $a - x \in D_{f}$ , $a + x \in D_{f}$ et $f (a - x) + f (a + x) = 2 b$
Démontrer que : la fonction $g (x) = f (a - x) + b$ est impaire.

Dans ce cas on peut restreindre l’étude de $f$ à $[a, + \infty [\cap D_{f}$ et on obtient la courbe complète par symétrie par rapport à $I .$

Fonction périodique

Définition 1. Une fonction $f$ est dite périodique de période $t$ (ou t- périodique) ssi :
$\cdot$ t est non nul,
$\cdot$ pour tout $x \in D_{f}$ , $x + t$ et $x - t$ sont dans $D_{f}$ et $f (x + t) = f (x)$ .
On dit que $t$ est une période de $f$ , et la plus petite période strictement positive est la période de $f$ . En général la période est notée $T$ .
Pour tout $x$ de $D_{f}$ et tout entier relatif $k$ , $f (x + k T) = f (x)$ .

Conséquences

Pour représenter graphiquement une fonction $f$ de période $T$ , il suffit de :

choisir un intervalle $I$ de longueur $T$ inclus dans $D_{f}$ ;
tracer (en rouge )la partie $C$ de la courbe de $f$ restreinte à cet intervalle $I :$
translater la partie $C$ par les translations de vecteurs $(k T) i$ avec $k$ entier relatif.

$tikzpicture-1$

Cas des fonctions trigonométriques
$-$ Les fonctions $x \mapsto cos x$ et $x \mapsto sin x$ sont périodiques de période $2 π$ c’est à dire: $cos (x + 2 π) = cos x$ et $sin (x + 2 π) = sin x$
$-$ La fonction $x \mapsto tan x$ est périodique de période $π$ c’est à dire: $tan (x + π) = tan x$
Cas général :
Les fonctions $x \mapsto cos (a x + b)$ et $x \mapsto sin (a x + b)$ ont pour période $T = \frac{2 π}{∣ a ∣}$
La fonction $x \mapsto tan (a x + b)$ a pour période $T = \frac{π}{∣ a ∣}$

Réduction de domaine d’étude

Si $f$ est T-périodique alors on peut restreindre le domaine d’étude à tout domaine du type $[a, a + T] \cap D_{f}$ pour tout réel $a,$ ainsi on obtient la courbe complète de $f$ sur ce domaine.
Si $f$ est T-périodique et paire ( resp. impaire ) alors on peut restreindre le domaine d’étude au domaine $[0, \frac{T}{2}] \cap D_{f}$ ainsi on obtient la courbe complète sur $[- \frac{T}{2}, \frac{T}{2}] \cap D_{f}$ par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (resp. par symétrie par rapport à O origine du repère ).
Si $f$ est T-périodique et $C$ admet un axe de symétrie $Δ$ ( resp. un centre de symétrie $I$ ) alors on peut restreindre le domaine d’étude au domaine
$[a, a + \frac{T}{2}] \cap D_{f}$ ou au domaine $[a - \frac{T}{2}, a] \cap D_{f}$ ainsi on obtient la courbe complète sur $[a - \frac{T}{2}, a + \frac{T}{2}] \cap D_{f}$ par symétrie par rapport à l’axe $Δ$ (resp. par symétrie par rapport un point $I$ ).

Exercice 2. On considère la fonction $f$ définie par: $f (x) = \frac{sin x}{sin x + cos x}$

Déterminer $D_{f}$ et puis montrer que $f$ est de période $π .$
Montrer que le point $A (- \frac{π}{4}; \frac{1}{2})$ est un centre de symétrie de $C_{f}$ . En déduire un domaine simple pour l’étude de $f$

Solution.

$f (x)$ existe $\Leftrightarrow sin x + cos x \neq = 0$
$\Leftrightarrow sin x \neq = - cos x$
$\Leftrightarrow sin x \neq = sin (x - \frac{π}{2})$
$\Leftrightarrow x \neq = \frac{3 π}{4} + kπ, k \in Z$
Montrons que $π$ est la période de $f .$
$x \in D_{f} \Leftrightarrow x \neq = \frac{3 π}{4} + kπ \Leftrightarrow x + π \neq = \frac{7 π}{4} + kπ \Leftrightarrow x + π \in D_{f} .$
$x \in D_{f} \Leftrightarrow x \neq = \frac{3 π}{4} + kπ \Leftrightarrow x - π \neq = - \frac{π}{4} + kπ \Leftrightarrow x - π \in D_{f} .$
$f (x + π) = \frac{sin ( x + π )}{sin ( x + π ) + cos ( x + π )} = \frac{- sin x}{- sin x - cos x} = \frac{sin x}{sin x + cos x} = f (x)$
$2 a - x = - \frac{π}{2} - x$
$x \in D_{f} \Leftrightarrow x \neq = \frac{3 π}{4} + kπ \Leftrightarrow - \frac{π}{2} - x \neq = - \frac{7 π}{4} + kπ \Leftrightarrow - \frac{π}{2} - x \in D_{f} \Leftrightarrow 2 a - x \in D_{f}$ $f (2 a - x) + f (x) = \frac{sin ( - \frac{π}{2} - x )}{sin ( - \frac{π}{2} - x ) + cos ( - \frac{π}{2} - x )} + \frac{sin x}{sin x + cos x}$ $f (2 a - x) + f (x) = \frac{cos x}{cos x + sin x} + \frac{sin x}{sin x + cos x} = 1$ Donc le point $A$ est bien un centre de symétrie de $C_{f}$ .
Proposons un d’étude de $f .$
$f$ est de période $T = π$ et l’abscisse du centre de symétrie est $a = - \frac{π}{4}$ , on peut appliquer la formule $[a, a + \frac{T}{2}] \cap D_{f}$
$[- \frac{π}{4}, - \frac{π}{4} + \frac{π}{2}] \cap D_{f} = [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}] \cap D_{f} =] - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$
Conclusion : on peut étudier $f$ sur $] - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ puis obtenir la courbe complète par symétrie par rapport à $A$ sur $[- \frac{3 π}{4}, - \frac{π}{4} [\cup] - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ .

◻