Éléments de symétrie d’une courbe
Éléments de symétrie d’une courbe
algebra
Soit une fonction numérique et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Axe de symétrie
Pour montrer que la droite d’équation est un axe de symétrie de la courbe , on peut utiliser l’une des méthodes suivantes:
Démontrer que : on a et
Démontrer que : on a , et
Démontrer que : la fonction est paire.
Dans ce cas on peut restreindre l’étude de à et on obtient la courbe complète par symétrie par rapport à la droite .
Centre de symétrie
Pour montrer que le point est un axe de symétrie de la courbe , on peut utiliser l’une des méthodes suivantes :
Démontrer que : on a et
Démontrer que : on a , et
Démontrer que : la fonction est impaire.
Dans ce cas on peut restreindre l’étude de à et on obtient la courbe complète par symétrie par rapport à
Fonction périodique
Définition 1. Une fonction est
dite périodique de période (ou t-
périodique) ssi :
t est non nul,
pour tout ,
et sont dans et .
On dit que est une période de , et la plus petite période strictement
positive est la période de . En
général la période est notée .
Pour tout de et tout
entier relatif , .
Conséquences
Pour représenter graphiquement une fonction de période , il suffit de :
choisir un intervalle de longueur inclus dans ;
tracer (en rouge )la partie de la courbe de restreinte à cet intervalle
translater la partie par les translations de vecteurs avec entier relatif.
Cas des fonctions trigonométriques
Les fonctions
et sont périodiques de période c’est à dire: et
La fonction est
périodique de période c’est à dire:
Cas général :
Les fonctions et ont pour période
La fonction a pour période
Réduction de domaine d’étude
Si est T-périodique alors on peut restreindre le domaine d’étude à tout domaine du type pour tout réel ainsi on obtient la courbe complète de sur ce domaine.
Si est T-périodique et paire ( resp. impaire ) alors on peut restreindre le domaine d’étude au domaine ainsi on obtient la courbe complète sur par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (resp. par symétrie par rapport à O origine du repère ).
Si est T-périodique et admet un axe de symétrie ( resp. un centre de symétrie ) alors on peut restreindre le domaine d’étude au domaine
ou au domaine ainsi on obtient la courbe complète sur par symétrie par rapport à l’axe (resp. par symétrie par rapport un point ).
Exercice 2. On considère la fonction définie par:
Déterminer et puis montrer que est de période
Montrer que le point est un centre de symétrie de . En déduire un domaine simple pour l’étude de
Solution.
existe
Montrons que est la période de
Donc le point est bien un centre de symétrie de .
Proposons un d’étude de
est de période et l’abscisse du centre de symétrie est , on peut appliquer la formule
Conclusion : on peut étudier sur puis obtenir la courbe complète par symétrie par rapport à sur .
◻