Éléments de symétrie d’une courbe

Éléments de symétrie d’une courbe

algebra

Soit une fonction numérique et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Axe de symétrie

Pour montrer que la droite d’équation est un axe de symétrie de la courbe , on peut utiliser l’une des méthodes suivantes:

  • Démontrer que : on a et

  • Démontrer que : on a , et

  • Démontrer que : la fonction est paire.

Dans ce cas on peut restreindre l’étude de à et on obtient la courbe complète par symétrie par rapport à la droite .

Centre de symétrie

Pour montrer que le point est un axe de symétrie de la courbe , on peut utiliser l’une des méthodes suivantes :

  • Démontrer que : on a et

  • Démontrer que : on a , et

  • Démontrer que : la fonction est impaire.

Dans ce cas on peut restreindre l’étude de à et on obtient la courbe complète par symétrie par rapport à

Fonction périodique

Définition 1. Une fonction est dite périodique de période (ou t- périodique) ssi :
t est non nul,
pour tout ,   et sont dans et .
On dit que est une période de , et la plus petite période strictement positive est la période de . En général la période est notée .
Pour tout de et tout entier relatif , .

Conséquences

Pour représenter graphiquement une fonction de période , il suffit de :

  • choisir un intervalle de longueur inclus dans ;

  • tracer (en rouge )la partie de la courbe de restreinte à cet intervalle

  • translater la partie par les translations de vecteurs avec entier relatif.

tikzpicture-1

Cas des fonctions trigonométriques
Les fonctions et sont périodiques de période c’est à dire: et
La fonction est périodique de période c’est à dire:
Cas général :
Les fonctions et ont pour période
La fonction a pour période

Réduction de domaine d’étude

  • Si est T-périodique alors on peut restreindre le domaine d’étude à tout domaine du type pour tout réel ainsi on obtient la courbe complète de sur ce domaine.

  • Si est T-périodique et paire ( resp. impaire ) alors on peut restreindre le domaine d’étude au domaine ainsi on obtient la courbe complète sur par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (resp. par symétrie par rapport à O origine du repère ).

  • Si est T-périodique et admet un axe de symétrie ( resp. un centre de symétrie ) alors on peut restreindre le domaine d’étude au domaine
    ou au domaine ainsi on obtient la courbe complète sur par symétrie par rapport à l’axe (resp. par symétrie par rapport un point ).

Exercice 2. On considère la fonction définie par:

  1. Déterminer et puis montrer que est de période

  2. Montrer que le point est un centre de symétrie de . En déduire un domaine simple pour l’étude de

Solution.

  1. existe



    Montrons que est la période de



  2. Donc le point est bien un centre de symétrie de .
    Proposons un d’étude de
    est de période et l’abscisse du centre de symétrie est , on peut appliquer la formule

    Conclusion : on peut étudier sur puis obtenir la courbe complète par symétrie par rapport à sur .

 ◻