Exercice 1. Déterminer en justifiant la nature des transformations du plan suivantes :

1. $z^{\prime }=z+1-2\text{i}$

2. $z^{\prime }=\text{i}z+1$

3. $z^{\prime }=-3z-1+\text{i}$

4. $z^{\prime }=(1+\text{i})z-1+\text{i}$

Exercice 2. Déterminer l’écriture complexe des transformations suivantes :

1. Translation de vecteur $\vec{u}$ d’affixe $-2+3\text{i}$.

2. Rotation de centre $A$ d’affixe $-\text{i}$ et d’angle $\frac{3\pi }{4}$.

3. Homothétie de centre $A$ d’affixe $-1+\text{i}$ et de rapport $\frac{1}{2}$.

4. Similitude directe de centre $A$ d’affixe $-2$, de rapport $2$ et d’angle $-\frac{2\pi }{3}$.

Exercice 3. Dans chacun des cas suivants, déterminer l’écriture complexe, puis la nature et les éléments caractéristiques des transformations $s_2\circ s_1$ et $s_1\circ s_2$.

1. $s_1:z^{\prime }=2\text{i}z+1-2\text{i}\text{et}{s}_2:z^{\prime }=\frac{1}{2}\text{i}z+1-\frac{1}{2}\text{i}$

2. $s_1:z^{\prime }=(1-\text{i})z+1+\text{i}\text{et}{s}_2:z^{\prime }=-2z$

Exercice 4. Soit $f$ l’application du plan dans lui-même d’expression analytique : $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+y+2\\ y^{\prime }=-x+y+1\end{array}$$

1. Déterminer l’écriture complexe de $f$.

2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.

Exercice 5. Dans le plan complexe, on considère les points $A$ et $C$ d’affixes respectives $1+\text{i}\sqrt{3}$ et $1-\text{i}\sqrt{3}$, et l’application $f$ définie par $z^{\prime }=e^{2\text{i}\frac{\pi }{3}}z$.

1. Déterminer les images des points $A$ et $C$ par $f$.

2. En déduire l’équation de l’image de la droite (AC).

Exercice 6. Soit le plan muni d’un repère orthonormé $(o,\vec{u},\vec{v})$, $\Omega$ est le point de coordonnées $(2,1)$, $S$ est la similitude de centre $\Omega$, de rapport $\sqrt{2}$ et d’angle $\frac{\pi }{4}$, $(D)$ est la droite $3x+3y-4=0$, $(C)$ le cercle de centre $O$ et de rayon 3.

1. Soit $M(x,y)$ un point et $M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ son image par $S$. Exprimer $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ en fonction de $x$ et $y$.

2. En déduire l’équation de $(D^{\prime })$ image de $(D)$ par $S$.

3. En déduire l’équation de $C^{\prime }$ image de $C$ par $S$.

Exercice 7. Soit $S$ la similitude directe d’écriture complexe : $z^{\prime }=3\text{i}z-9-3\text{i}$. Déterminer l’image par $S$ :

1. Du cercle de centre $K(1-3\text{i})$ et de rayon 1.

2. De la droite $(D)$ d’équation $x=1$.

Exercice 8. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(o,\vec{u},\vec{v})$. On donne $Z_A=-1-\text{i}$, $Z_B=2-\text{i}$, $Z_C=-1+2\text{i}$. On considère la similitude $S$ de centre $B$ qui transforme $A$ en $C$.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude $S$.

2. Donner l’écriture complexe de $S$.

3. $\mathcal{C}$ est le cercle circonscrit au triangle $ABC$, déterminer les caractéristiques de ${\mathcal{C}}^{\prime }$ image par $S$.

Exercice 9. On considère les points $Z_A=2\text{i}$, $Z_B=-\sqrt{3}+2\text{i}$, $Z_C=-2\sqrt{3}-\text{i}$.

1. Donner l’écriture complexe de la similitude directe qui transforme $A$ en $B$ et $B$ en $C$.

2. Déterminer l’affixe du centre, le rapport et l’angle de cette similitude.

Exercice 10. A et B ont pour affixes $Z_A=3\text{i}$ et $Z_B=4+\text{i}$. $r$ est la rotation de centre $A$ et d’angle $\frac{\pi }{2}$.

1. Montrer que $z^{\prime }=\text{i}z+3+3\text{i}$.

2. Montrer que $Z_C=2+7\text{i}$ si $r(B)=C$.

3. Montrer que $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

4. Soit $D$ le milieu de $[AC]$, $h(z)=\frac{1}{2}z+\frac{3}{2}\text{i}$.

   1. Montrer que $h(C)=D$.

   2. Exprimer $z^{\prime }-3\text{i}$ en fonction de $z-3\text{i}$ et en déduire la nature de $h$.

5. $S$ est la similitude de centre $A$, de rapport $\frac{1}{2}$ et d’angle $\frac{\pi }{2}$. Donner son écriture complexe.

Exercice 11. Soit $a=-1-\text{i}$ et $(z_n)$ la suite définie par : $$\{\begin{array}{l}{z}_0=0,z_1=\text{i}\\ z_{n+1}=(1-a)z_n+a{z}_{n-1}\end{array}$$

1. Déterminer $z_2$ et $z_3$.

2. Soit $u_n=z_{n+1}-z_n$

   1. Déterminer $u_0$ et $u_1$.

   2. Montrer que $(u_n)$ est géométrique de raison $-a$.

   3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et $a$.

3. Montrer que $S_n=z_n$ avec $S_n=u_0+\cdots +u_{n-1}$, puis que $z_n=-1+(1+\text{i}{)}^n$.

4. 1. Déterminer le module et un argument de $a$.

   2. Donner la forme algébrique de $z_{19}$.

Exercice 12. Soit $T(z)=(1+\text{i}\sqrt{3})z+\sqrt{3}$.

1. 1. Montrer que $T$ admet un point invariant $J$.

   2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $T$.

   3. Exprimer $\overrightarrow{J{M}^{\prime }}$ en fonction de $\overrightarrow{JM}$ et donner l’angle $(\overrightarrow{JM},\overrightarrow{J{M}^{\prime }})$.

2. Soit $I$ d’affixe $-1$.

   1. Déterminer $I^{\prime }=T(I)$.

   2. Déterminer l’ensemble $\mathcal{D}$ des $z$ tels que $|z+1|=|\text{i}z+1|$.

   3. Déterminer $\mathcal{C}$ des $z$ tels que $|(1+\text{i})z-1+\text{i}|=|1-\text{i}|$.

   4. Déterminer ${\mathcal{D}}^{\prime }=T(\mathcal{D})$, ${\mathcal{C}}^{\prime }=T(\mathcal{C})$.

3. Soit $S(z)=\frac{\text{i}}{2}z-\text{i}$.

   1. Déterminer le rapport et l’angle de $T\circ S$.

   2. En déduire la nature de $T\circ S$.

   3. Donner l’écriture complexe de $T\circ S$.

4. 1. Montrer que $T^3$ est une homothétie.

   2. Déterminer les $n\in \mathbb{N}$ pour lesquels $T^n$ est une homothétie.

Exercice 13. Soit $T(z)=a^{2}z+b$ et le point $I\left(2\text{i}\right)$.

1. $T$ est une translation de vecteur $\vec{U}(0,2)$.

2. $T$ est une homothétie de rapport $-4$ et de centre $I$.

3. $T$ est une rotation de centre $I$ et d’angle $-\frac{\pi }{2}$.

4. $T$ est une similitude directe transformant $A(-1,0)$ en $I$ et de centre $B(-1,1)$.