Similitudes directes plan complexe

Similitudes directes plan complexe

algebra

Exercice 1. Déterminer en justifiant la nature des transformations du plan suivantes :

Exercice 2. Déterminer l’écriture complexe des transformations suivantes :

  1. Translation de vecteur d’affixe .

  2. Rotation de centre d’affixe et d’angle .

  3. Homothétie de centre d’affixe et de rapport .

  4. Similitude directe de centre d’affixe , de rapport et d’angle .

Exercice 3. Dans chacun des cas suivants, déterminer l’écriture complexe, puis la nature et les éléments caractéristiques des transformations et .

Exercice 4. Soit l’application du plan dans lui-même d’expression analytique :

  1. Déterminer l’écriture complexe de .

  2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

Exercice 5. Dans le plan complexe, on considère les points et d’affixes respectives et , et l’application définie par .

  1. Déterminer les images des points et par .

  2. En déduire l’équation de l’image de la droite (AC).

Exercice 6. Soit le plan muni d’un repère orthonormé , est le point de coordonnées , est la similitude de centre , de rapport et d’angle , est la droite , le cercle de centre et de rayon 3.

  1. Soit un point et son image par . Exprimer et en fonction de et .

  2. En déduire l’équation de image de par .

  3. En déduire l’équation de image de par .

Exercice 7. Soit la similitude directe d’écriture complexe : . Déterminer l’image par :

  1. Du cercle de centre et de rayon 1.

  2. De la droite d’équation .

Exercice 8. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal . On donne , , . On considère la similitude de centre qui transforme en .

  1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude .

  2. Donner l’écriture complexe de .

  3. est le cercle circonscrit au triangle , déterminer les caractéristiques de image par .

Exercice 9. On considère les points , , .

  1. Donner l’écriture complexe de la similitude directe qui transforme en et en .

  2. Déterminer l’affixe du centre, le rapport et l’angle de cette similitude.

Exercice 10. A et B ont pour affixes et . est la rotation de centre et d’angle .

  1. Montrer que .

  2. Montrer que si .

  3. Montrer que est rectangle isocèle en .

  4. Soit le milieu de , .

    1. Montrer que .

    2. Exprimer en fonction de et en déduire la nature de .

  5. est la similitude de centre , de rapport et d’angle . Donner son écriture complexe.

Exercice 11. Soit et la suite définie par :

  1. Déterminer et .

  2. Soit

    1. Déterminer et .

    2. Montrer que est géométrique de raison .

    3. Exprimer en fonction de et .

  3. Montrer que avec , puis que .

    1. Déterminer le module et un argument de .

    2. Donner la forme algébrique de .

Exercice 12. Soit .

    1. Montrer que admet un point invariant .

    2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .

    3. Exprimer en fonction de et donner l’angle .

  1. Soit d’affixe .

    1. Déterminer .

    2. Déterminer l’ensemble des tels que .

    3. Déterminer des tels que .

    4. Déterminer , .

  2. Soit .

    1. Déterminer le rapport et l’angle de .

    2. En déduire la nature de .

    3. Donner l’écriture complexe de .

    1. Montrer que est une homothétie.

    2. Déterminer les pour lesquels est une homothétie.

Exercice 13. Soit et le point .

  1. est une translation de vecteur .

  2. est une homothétie de rapport et de centre .

  3. est une rotation de centre et d’angle .

  4. est une similitude directe transformant en et de centre .