Etude de fonctions ln

PROBLÈME 1

Partie A

Soit $g$ la fonction définie par: $g(x)=2x-2-x\ln (x)$

1. Étudier les variations de $g$ puis dresser son tableau de variations.

2. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$ telles que: $\alpha \in \left]0,\mathrm{e}\right[$ et $\beta \in \left]\mathrm{e},+\infty \right[$.

   Préciser la valeur exacte de $\alpha$ et établir que $4,5<\beta <5$.

3. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]0,+\infty \right[$ par: $$\{\begin{array}{l}f(x)=\frac{{\left(\ln (x)\right)}^2}{x-1}\text{si}x\ne 1\\ f(1)=0\end{array}$$

1. 1. Étudier la continuité de $f$ en $1$.

   2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$.

2. 1. Montrer que pour $x\ne 1$ et $x>0$: $f^{\prime }(x)=\frac{\ln (x)}{x(x-1{)}^2}\times g(x)$.

   2. Dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que $f(\beta )=\frac{4(\beta -1)}{{\beta }^2}$.

4. Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point d’abscisse $1$.

5. Soit $h$ la restriction de $f$ à l’intervalle $\left]0,1\right]$.

   1. Montrer que $h$ admet une bijection réciproque $h^{-1}$ puis établir le tableau de variation de $h^{-1}$.

6. Tracer $\mathcal{C}$ et celle de $h^{-1}$ dans le même repère.

PROBLÈME 2

On considère la fonction $f$ définie par:
$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{x\ln (x)}{x+1}\text{si}x>0\\ \ln (1-x)\text{si}x\le 0\end{array}$

Partie A

1. Montrer que ${\text{D}}_f=\mathbb{R}$ et calculer les limites de $f$ aux bornes de ${\text{D}}_f$ .

   1. Étudier la continuité de $f$ en $0$.

   2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
      Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. Étudier les branches infinies de ${\mathcal{C}}_f$

Partie B

1. Soit $h(x)=\ln (x)+x+1$

   1. Dresser le tableau de variations de $h$.

   2. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et montrer que
      $0,27<\alpha <0,28$.

   3. En déduire le signe de $h(x)$.

2. 1. Montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{h(x)}{(x+1{)}^2}$ pour $x>0$ en déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ .

   2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x<0$

   3. Montrer que $f(\alpha )=-\alpha$.
      Établir le tableau de variations de $f$.

   4. Tracer la courbe ${\mathcal{C}}_f$ dans un RON.

Partie C

Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ à l’intervalle $I=\left[\alpha ,+\infty \right[$.

1. Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à déterminer.

2. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_{g^{-1}}$ au point d’abscisse $0$.

3. Tracer ${\mathcal{C}}_{g^{-1}}$ dans le repère précèdent.