Exercice 1 (Type 1 – Reconnaissance et calcul direct de primitives). Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :

1. $f_1(x)=x^3$

2. $f_2(x)=\frac{1}{x^2}$

3. $f_3(x)=\cos (3x)$

4. $f_4(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

5. $f_5(x)=2\cos x\sin x$

Exercice 2 (Type 2 – Application de méthodes). Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes, en posant une substitution adaptée si nécessaire :

1. $f(x)=x(3x^2-1{)}^3$

2. $f(x)=\frac{x}{(x^2+1{)}^2}$

3. $f(x)=(x^2+1{)}^5$

4. $f(x)=\frac{\cos x}{1+\sin x}$

Exercice 3 (Calcul de primitives). Soit la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty [$ par : $f(x)=\frac{x^3}{(1+x^2{)}^3}+\frac{x^2}{(1+x^3{)}^2\sqrt{1+x^3}}$.

1. Justifier que $f$ admet des primitives sur $[0,+\infty [$.

2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $\frac{x^3}{(1+x^2{)}^3}=\frac{ax}{(1+x^2{)}^2}+\frac{bx}{(1+x^2{)}^3}$.

3. En déduire la primitive $F$ de $f$ sur $[0,+\infty [$ qui s’annule en 0.

Exercice 4 (Calcul de primitives). Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x)=\left(\cos 3x+\cos x\right)\cos x$.

1. Déterminer les réels $a$ , $b$, $c$ et $d$ tels que : $g(x)=a+b\cos 2x+c\cos 4x+d\cos 6x$.

2. En déduire une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 5 (Type 3 – Justification, lien entre dérivée et primitive). Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=\ln x$.

1. Justifier que $f$ admet une primitive sur $]0,+\infty [$.

2. On considère la fonction $F(x)=x\ln x-x$. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty [$.

3. Déterminer une primitive de $g(x)=\ln (3x)$ sur $]0,+\infty [$.

Exercice 6 (Type 3 – Primitives avec exponentielle). Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{e}^x$.

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. Justifier que $f$ admet une primitive sur $\mathbb{R}$.

3. En posant $F(x)=(x-1)e^x$, montrer que $F$ est une primitive de $f$.

4. Déterminer la primitive $G$ de $f$ dont la courbe passe par le point $(0;1)$ .

Exercice 7 (Situation complexe). Une entreprise modélise la température (en °C) d’un four en fonction du temps $t$ (en minutes) par la dérivée $T^{\prime }(t)=4t-20$, valable pour $t\in [0,10]$.
On sait qu’à l’instant $t=0$, la température est de $300^{\circ }$C.
À quel instant la température est-elle minimale ? Quelle est cette température ?