Exercice 1. Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, trouver :

1. le(s) plus grand(s) intervalle(s) $I$ sur le(s)quel(s) admet des primitives.

2. l’expression d’une primitive sur chaque intervalle.

1) $f(x)=3x^2-2x+5$ 2)$f(x)=(2x+1)(x^2+x-5)$ 3) $f(x)=\frac{x}{(1-x^2{)}^2}$

4) $f(x)=\frac{1}{4x^2-4x+1}$ 5) $f(x)=\frac{1}{x^3-3x^2+3x-1}$ 6) $f(x)=\cos 2x\cos 3x$
7) $f(x)={\sin }^{3}x{\cos }^{4}x$ 8) $f(x)=\cos x\sin 3x$

Exercice 2. Pour chaque fonction $f$, déterminer une primitive sur $I$, prenant la valeur $b$ au point $a$ : $$\begin{array}{rl}1)& f(x)=\frac{2}{(3-x{)}^3},I=]-\infty ,3],a=0,b=4\\ 2)& f(x)=\frac{\sin x}{{\cos }^{3}x},I=]0,\frac{\pi }{2}[,a=\frac{\pi }{3},b=1\\ 3)& f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},I=\mathbb{R},a=0,b=1\\ 4)& f(x)=\frac{x\sin x+\cos x}{x^2},I=]-\infty ,0[,a=0,b=1\\ 5)& f(x)=\frac{1+\sin x}{{\cos }^{2}x},I=[0,\frac{\pi }{2}[a=\frac{\pi }{4},b=1\end{array}$$

Exercice 3. Déterminer une primitive $F$ dans chacun des cas suivants : $$\begin{array}{rlrl}1)& f(x)=(x^2+x+1)\sqrt{x}& 8)& f(x)=\frac{12}{(x-1{)}^2}{\left(1+\frac{3}{x-1}\right)}^3\\ 2)& f(x)=(x^2+x+1)\sqrt{x+1}& 9)& f(x)=1+\frac{1}{{\tan }^{2}x}\\ 3)& f(x)=x\sqrt{3-x}& 10)& f(x)=\frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\\ 4)& f(x)=\frac{x+1}{(x^2+2x+3)\sqrt{x^2+2x+3}}& 11)& f(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\\ 5)& f(x)=\sin (x^2+2x)+(2x^2+2x)\cos (x^2+2x)& 12)& f(x)=\frac{x^3+3x}{(x^2-1{)}^3}\left(\acute{E}criref(x)=\frac{a}{(x-1{)}^3}+\frac{b}{(x+1{)}^3}\right)\\ 6)& f(x)=\frac{1}{1+\cos x}& 13)& f(x)=\frac{x^2+1}{(x^2-1{)}^2}\left(\acute{E}crire{x}^2+1=\frac{1}{2}\left((x+1{)}^2+(x-1{)}^2\right)\right)\\ 7)& f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{1}{2}\frac{x}{\sqrt{x+1}}& 14)& f(x)=\frac{3x^2+4x+4}{(x^2+2x{)}^2}\left(\acute{E}criref(x)=\frac{a}{x^2}+\frac{b}{(x+2{)}^2}\right)\end{array}$$

Exercice 4. On se propose de déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ des fonctions : $$f(x)=x{\cos }^{2}x,g(x)=x{\sin }^{2}x$$

1. Déterminer une primitive de $f+g$.

2. Linéariser ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$. En déduire qu’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que la fonction $x\mapsto a\sin 2x+b\cos 2x$ soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f-g$.

3. Conclure.

Exercice 5. Soit la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty [$ par : $f(x)=\frac{x^3}{(1+x^2{)}^3}+\frac{x^2}{(1+x^3{)}^2\sqrt{1+x^3}}$.

1. Justifier que $f$ admet des primitives sur $[0,+\infty [$.

2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $\frac{x^3}{(1+x^2{)}^3}=\frac{ax}{(1+x^2{)}^2}+\frac{bx}{(1+x^2{)}^3}$.

3. En déduire la primitive $F$ de $f$ sur $[0,+\infty [$ qui s’annule en 0.

Exercice 6. Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x)=\left(\cos 3x+\cos x\right)\cos x$.

1. Déterminer les réels $a$ , $b$, $c$ et $d$ tels que : $g(x)=a+b\cos 2x+c\cos 4x+d\cos 6x$.

2. En déduire une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 7. Une entreprise modélise la température (en °C) d’un four en fonction du temps $t$ (en minutes) par la dérivée $T^{\prime }(t)=4t-20$, valable pour $t\in [0,10]$.
On sait qu’à l’instant $t=0$, la température est de $300^{\circ }$C.
À quel instant la température est-elle minimale ? Quelle est cette température ?