Exercice 1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:

1. $-x^2-2x+3=0$

2. $x^2-2x=15$

3. $x(x+3)=x+1$

4. $4x^2-3x=0$

5. $\left(2x-1\right)\left(-3x^2+12x-8\right)=0$

6. $\left(x^2-2\right)\left(x^2+1\right)=0$

7. $\frac{30}{x}+\frac{18}{x+3}=7$

Exercice 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:

1. $x^2-13x-48\le 0$

2. $-x^2+13x+48\le 0$

3. $-x^2+13x+48>0$

4. $2x^2+2\sqrt{2}x+1>0$

5. $x^2+2\sqrt{3}x+2<0$

6. $x^2+x-2\ge 1$

7. $(x+1)(-x^2+x+6)>0$

8. $(1-4x)(x^2+5x+4)>0$

9. $\frac{x^2-3x-4}{x-3}\ge 0$

10. $\frac{x-1}{x+1}>2x$

Exercice 3. On considère le polynôme suivant: $P(x)=-2x^3+9x^2-7x-6$.

1. 1. Montrer que $2$ est une racine de $P(x)$.

   2. En déduire que $P(x)$ peut s’écrire sous la forme $P(x)=(x-2)(a{x}^2+bx+c)$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels à préciser.

   3. Factoriser $P(x)$ en produit de facteurs de polynômes de premier degré.

2. On suppose maintenant que: $P(x)=(-2x-1)(x-2)(x-3)$.

   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$.

   2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)<0$.

Exercice 4. On considère le polynôme suivant : $P(x)=3x^3+17x^2+9x-5$.

1. Montrer que $P(x)$ est factorisable par $x+1$ puis l’écrire sous la forme : $P(x)=(x+1)Q(x)$ où $Q(x)$ est un polynôme à préciser.

2. Factoriser $Q(x)$.

3. En déduire que $P(x)=(3x-1)(x+5)(x+1)$.

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\le 0$.

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$ puis $3(2x-5{)}^3+17(2x-5{)}^2+9(2x-5)-5=0$.

Exercice 5. Soit le polynôme $P(x)=2x^4+5x^3-5x^2-5x+3$.

1. Calculer $P(1)$ et $P(-3)$. Que peut-on en déduire?

2. Montrer que : $P(x)=(x-1)(2x^3+7x^2+2x-3)$.

3. On pose Q$(x)=2x^3+7x^2+2x-3$.

   1. Trouver trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : Q$(x)=(x+3)(a{x}^2+bx+c)$.

   2. En déduire une factorisation de $P(x)$.

4. Étudier dans $\mathbb{R}$, le signe de $P(x)$.

Exercice 6. On considère le polynôme suivant: $h(x)=4x^3+x^2-4x-1$.

1. Vérifier que $1$ est une racine de $h(x)$.

2. En déduire une factorisation de $h(x)$ par la méthode de HORNER.

3. Soit $R(x)=\frac{(4x+1)(x+1)(x-1)}{4x^2-7x-2}$

   1. Montrer que $(4x+1)(x-2)=4x^2-7x-2$.

   2. Simplifier $R(x)$.

   3. Étudier, suivant les valeurs du réel $x$ ,le signe de $R(x)$.

Exercice 7. On considère le polynôme suivant: $P(x)=3x^4+14x^3-8x^2-14x+5$.

1. Vérifier que $1$ et $-5$ sont des racines de $P(x)$.

2. En utilisant la méthode de HORNER, trouver le quotient $Q(x)$ de la division de $P(x)$ par $(x-1)$.

3. Puis en utilisant de nouveau la méthode de HORNER, trouver le quotient $Q^{\prime }(x)$ de la division de $Q(x)$ par $(x+5)$.

4. Factoriser $Q^{\prime }(x)$ puis $P(x)$.

5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\ge 0$.

6. Soit $F(x)=\frac{(3x-1)(x^2-1)(x+5)}{x^2+x-2}$.

   1. Montrer que $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$.

   2. Simplifier $F(x)$.

   3. Étudier, suivant les valeurs du réel $x$ ,le signe de $F(x)$.

Exercice 8.

1. Soit $P(x)=x^3+b{x}^2+cx+d$ où $b$, $c$ et $d$ sont des réels.

   Sachant que $P(1)=4$, $P(-1)=-16$ et $P(3)=0$, déterminer les réels $b$, $c$ et $d$.

2. On pose $P(x)=x^3-6x^2+9x$

   1. Factoriser $P(x)$.

   2. Etudier suivant les valeurs de $x$ , le signe de $P(x)$.

3. Une entreprise vend un produit, et le profit réalisé en fonction du nombre de produits vendus $x$ est donné par la fonction de profit suivante : $P(x)=x^3-6x^2+9x$

   Combien de produits l"entreprise doit-elle produire au moins pour réaliser un bénéfice ?