Exercice 1. Exprimer en fonction de $\ln 3$ chacun des nombres suivants

1. $\ln \frac{1}{9}$

2. $\ln 63-\ln 7$

3. $\ln \sqrt{27}$

4. $4\ln 6-\ln 16$

5. $\ln (3{\mathrm{e}}^2)$

Exercice 2. Exprimer en fonction de $\ln 2$ les nombres suivants.

1. $\ln 32$

2. $\ln \frac{1}{16}$

3. $\ln 40-\ln 5$

4. $\ln 4\sqrt{2}$

5. $4\ln 2-\ln 8$

6. $\ln \frac{1}{1024}$

Exercice 3. Exprimer en fonction de $\ln 3$ et $\ln 5$ les nombres suivants.

1. $\ln \frac{27}{25}$

2. $4\ln 15+\ln 81$

3. $\ln 25-\ln 15$

4. $\ln 15\sqrt{25}$

5. $4\ln 6-2\ln 20$

6. $\ln 675$

Exercice 4. Exprimer chacun des nombres suivants sous la forme $\ln A$ où $A$ est un réel strictement positif.

1. $\ln 4+\ln 5$

2. $4\ln 6-\ln 7$

3. $\frac{1}{2}\ln 3-\ln 5$

4. $1-2\ln 6$

5. $-\ln 2+1$

6. $3\ln 5+2\ln 3$

7. $-2\ln 3+2\ln 2$

Exercice 5. Simplifier au maximum.

1. $\ln 8-\ln 2$

2. $4\ln 6+\ln 3$

3. $\ln 25-\ln 30+\ln 10$

4. $\ln 50+\ln 2-\ln 10$

5. $2\ln 2-\ln 16+\ln 128$

6. $3\ln {\mathrm{e}}^{}+2\ln {\mathrm{e}}^2$

7. $-2\ln {\mathrm{e}}^3+\ln {\mathrm{e}}^{-2}-\ln {\mathrm{e}}^2$

8. $3\ln \left(\frac{2}{{\mathrm{e}}^{}}\right)+\ln 2{\mathrm{e}}^3+1$

Exercice 6. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. $\ln x=5$

2. $\ln x+4=0$

3. $\ln (3-2x)=5$

4. $2\ln x-6=0$

5. $1-4\ln x=\ln x-9$

6. ${\left(\ln x\right)}^2=1$

Exercice 7. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. $\ln (x+2)=\ln 2$

2. $\ln (2x-6)=1$

3. $4\ln (1-x)=8$

4. $\ln (x+1)=\ln x$

5. $\ln (2x-3)=\ln (x-2)$

6. $\ln (2x)=\ln (x+1)$

Exercice 8. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. $\ln (x+1)+\ln x=0$

2. $\ln (3-x)=3\ln 2$

3. $\ln (3-x)\times \ln (x+1)=0$

4. $\ln (5x-6)-2\ln x=0$

Exercice 9. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. $\ln (x-2)-\ln (x+1)=2\ln 2$

2. $\ln (x-2)+\ln (x+3)=\ln (5x-9)$

3. $\ln (x-1)=\ln (2-x)$

4. $\ln (-x+1)+\ln (-x+2)=\ln (x+7)$

5. $2\ln (x+1)+\ln (x-1)=3\ln x$

6. $\ln \left(\frac{x-1}{2x-1}\right)=0$

Exercice 10. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. ${\left(\ln x\right)}^2-\ln x-2=0$

2. ${\left(\ln (x-1)\right)}^2-\ln (x-1)-2=0$

3. $3{\left(\ln x\right)}^2+\ln x-1=0$

4. ${\left(\ln x\right)}^2-6\ln x+9=0$

5. $\ln x^2-6\ln x+4=0$

Exercice 11. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. $\ln (3x-4)=\ln (2x+1)$

2. $\ln (4-2x)=\ln (x-1)$

3. $(\ln x{)}^2-3\ln x+2=0$

4. $2(\ln x{)}^2-5\ln x-3=0$

5. $\ln (x^2-3x+2)=2\ln (x+4)$

6. $\ln (2x^2-10x+8)=\ln (3x^2-3x-18)$

Exercice 12. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

1. $\ln x\le 1$

2. $2\ln x>\ln 3$

3. $4\ln x+6\ge 0$

4. $3\ln x-4\le \ln x$

5. $(1,2{)}^n\ge 4n\in \mathbb{N}$

6. $(0,02{)}^n\ge 4n\in \mathbb{N}$

7. $(5,5{)}^n<20n\in \mathbb{N}$

8. $(0,007{)}^n\le 0.001n\in \mathbb{N}$

Exercice 13. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

1. $\ln (x+1)\le 0$

2. $\ln (x-6)>1$

3. $2\ln (3-x)<1$

4. $\ln (x-2)>\ln x$

5. $\ln (x-2)>1$

6. $(1-3x)\ln x\ge 0$

Exercice 14. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

1. $\ln (5x+20)>\ln (3x-9)$

2. $\ln (8-2x)\le \ln (5x-25)$

3. $\ln (x^2-1)\le \ln (2x+2)$

4. $\ln (x^2+1)<\ln (2x^2+x+2)$

Exercice 15. On considère le polynôme $P(x)=2x^3-9x^2+x+12$.

1. Montrer que $-1$ est une racine de $P(x)$.

2. En déduire une factorisation de $P(x)$.

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $P(x)=0$.

4. En déduire les solutions des équation et inéquation suivantes.

   1. $2(\ln (x){)}^3-9(\ln (x){)}^2+\ln (x)+12=0$.

   2. $2(\ln (2x+3){)}^3-9(\ln (2x+3){)}^2+\ln (2x+3)+12=0$.

   3. $2(\ln (x){)}^3-9(\ln (x){)}^2+\ln (x)+12<0$.

   4. $\ln (2x-3)+2\ln (x-2)=\ln (-2x^2+19x-24)$

Exercice 16.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $x^3+2x^2-x-2=0$

2. En déduire la résolution des équations suivantes.

   1. ${\left(\ln x\right)}^3+2{\left(\ln x\right)}^2-\ln x-2=0$

   2. ${\left(\ln (x-1)\right)}^3+2{\left(\ln (x-1)\right)}^2-\ln (x-1)-2=0$

   3. $\ln (x^2+2x-1)=\ln 2-\ln x$

Exercice 17. Résoudre les systèmes d’équations suivants

1. $\{\begin{array}{l}-\ln x+2\ln y=1\\ 3\ln x-5\ln y=-1\end{array}$

2. $\{\begin{array}{l}2\ln x-3\ln y=5\\ \ln x+2\ln y=-1\end{array}$

3. $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ \ln x-\ln y=\ln 3\end{array}$

4. $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ \ln x+\ln y=\ln 2\end{array}$

5. $\{\begin{array}{l}\ln \left(xy\right)=4\\ \left(\ln x\right)\left(\ln y\right)=-12\end{array}$

6. $\{\begin{array}{l}\ln \left(xy\right)=-2\\ \left(\ln x\right)\left(\ln y\right)=-15\end{array}$

7. $\{\begin{array}{l}\ln x+\ln y=2\\ \left(\ln x\right)\left(\ln y\right)=-24\end{array}$

8. $\{\begin{array}{l}2\ln (x+3)+3\ln (4-y)=4\\ 5\ln (x+3)-3\ln (4-y)=-11\end{array}$

9. $\{\begin{array}{l}\ln x^3-\ln y^2=-4\\ \ln x+\ln y^4=1\end{array}$

Exercice 18. Dans chaque cas déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f.$

1. $f(x)=x+\ln \left(x+3\right)$

2. $f(x)=\ln x+\ln (x+3)$

3. $f(x)=\ln \left(-x^2+2x+3\right)$

4. $f(x)=\ln \left(x^2-1\right)$

5. $f(x)=\frac{4}{\ln (x-2)}$

6. $f(x)=\frac{1}{\ln x-1}$

7. $f(x)=\frac{\ln (1-x)}{x+2}$

Exercice 19. Calculer la dérivée de $f$ dans chaque cas.

1. $f(x)=\ln x-x-1$

2. $f(x)=2x+\ln (3x-1)$

3. $f(x)=x\ln x$

4. $f(x)=\ln x\ln (2-x)$

5. $f(x)=\frac{1}{\ln x}$

6. $f(x)=\frac{x+1}{\ln x}$

7. $f(x)={\left(\ln x\right)}^2$

8. $f(x)=\ln (2x^2+3x)$

9. $f(x)=\ln \left(\frac{2x+3}{3x-6}\right)$

Exercice 20. Etudier et représenter graphiquement $f$ dans chaque cas.

1. $f(x)=\ln x$

2. $f(x)=\ln x^2$

3. $f(x)={\left(\ln x\right)}^2$

4. $f(x)=x\ln x$

5. $f(x)=x^2\ln x$

6. $f(x)=x\ln \left|x\right|$

7. $f(x)=\frac{x}{\ln x}$

8. $f(x)=\frac{\ln x}{x}$

9. $f(x)=\ln (x-2)$

10. $f(x)=\ln (4-2x)$

Exercice 21. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\ln (-2x^2+x+1)$
et de représentation $\mathcal{C}$.

1. Montrer que le domaine de définition de $f$ est
   $D=\left]-\frac{1}{2},1\right[$.

2. Calculer les limites aux bornes de $D$.

3. Démontrer que pour tout $x\in D$,
   $f^{\prime }(x)=\frac{-4x+1}{-2x^2+x+1}$

4. Dresser le tableau de variation de $f.$

5. Déterminer les points d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.

6. Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse $0$.

Exercice 22. Soit la fonction $f$ définie par :
$f(x)=\ln \left(\frac{3x-6}{x}\right)$, de représentation $\mathcal{C}$.

1. Montrer que le domaine de définition de $f$ est
   $D=\left]-\infty ,0\right[\cup \left]2,+\infty \right[$.

2. Calculer les limites aux bornes de $D$.
   Préciser les asymptotes à $\mathcal{C}$.

3. Démontrer que pour tout $x\in D$, $f^{\prime }(x)=\frac{6}{x(3x-6)}$

4. Etudier le signe de $f^{\prime }(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f.$

5. Déterminer le point A intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.

6. Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse $3$.

7. Montrer que le point I($1,\ln 3)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}$.

8. Construire $\mathcal{C}$.

Exercice 23. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{1}{x}+2\ln \left(x+1\right)$, de représentation $\mathcal{C}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f.$

2. Calculer les limites aux bornes de ce domaine.
   Préciser les asymptotes à $\mathcal{C}$.

3. Démontrer que pour tout $x\in D$,
   $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-x-1}{x^2(x+1)}$

4. Dresser le tableau de variation de $f.$

5. Construire $\mathcal{C}$.

Exercice 24. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\left(\ln x-2\right)\ln x$, de représentation $\mathcal{C}$.

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f.$

2. Calculer les limites aux bornes de ce domaine.

3. Déterminer $f^{\prime }(x)$.

4. Dresser le tableau de variation de $f.$

5. Montrer que $\mathcal{C}$. coupe l’axe des abscisses en deux points A et B dont on précisera les coordonnées.

6. Déterminer les équations des tangentes en A et B.

Exercice 25.

1. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\left(\ln ax+b\right)$ où $a$ et $b$ sont des réels et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique.

   1. Déterminer $f^{\prime }(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

   2. Calculer les réels $a$ et $b$ pour que $\mathcal{C}$ passe par le point I($1$, $0$) et admette en ce point une tangente (T) parallèle à la droite (D) : $y=-x.$

2. Dans la suite on prend $a=-1$ et $b=2$ et donc $f(x)=\ln \left(-x+2\right)$

   1. Dresser le tableau de variation de $f.$

   2. Ecrire une équation de la tangente (T).

   3. Caluler $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$.
      En déduire la nature de la branche infinie à $\mathcal{C}$.

   4. Déterminer les coordonnées du point J intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées.

   5. Tracer la courbe $\mathcal{C}$.

Exercice 26. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x-2+\ln \left(\frac{x-2}{x+2}\right)$, de représentation $\mathcal{C}$.

1. Etudier le signe de $\frac{x-2}{x+2}$ en déduire le domaine de définition de $f$.

2. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition et préciser les asymptotes à $\mathcal{C}$.

3. Calculer $f^{\prime }(x)$.

4. Dresser le tableau de variation de $f.$

5. Montrer que la droite d’équation $y=x-2$ est une asymptote à $\mathcal{C}$

6. Montrer que le point I($0,2)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}$.

7. Construire $\mathcal{C}$.

Exercice 27. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=-\frac{1}{2}x+\ln \left(\frac{x-1}{x}\right)$, de représentation $\mathcal{C}$.

1. Résoudre l’inéquation $\frac{x-1}{x}>0$

2. En déduire le domaine de définition D de $f$.

3. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition.

4. Montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+x+2}{2x(x-1)}$ pour $x\in D$.

5. Dresser le tableau de variation de $f.$

6. Montrer que la droite d’équation $(\Delta )$: $y=-\frac{1}{2}x$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}$ .

7. Etudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $(\Delta )$ sur les intervalles $\left]-\infty ,0\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$.

8. Montrer que le point I$\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}$.

9. Construire $\mathcal{C}$.

Exercice 28. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{1+2\ln x}{2x}$, de représentation $\mathcal{C}$.

1. Déterminer le domaine de définition D de $f$.

2. Calculer les limites aux bornes du domaine de définition.
   On précisera les asymptotes éventuelles.

3. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x\in D$.

4. Dresser le tableau de variation de $f.$

5. Déterminer le point A intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.

6. Déterminer l’équation de la tangente au point A.

7. Construire les tangentes, les asymptote et la courbe $\mathcal{C}$.