Exercice 1. Reproduire et compléter le tableau suivant.

$$\begin{array}{cccc}\underset{x\to 0}{\lim }f(x)& +\infty & -5& 2\\ \underset{x\to 0}{\lim }g(x)& -3& 0^{-}& \\ \underset{x\to 0}{\lim }\left(f(x)+g(x)\right)& & & \\ \underset{x\to 0}{\lim }f(x)\times g(x)& & & \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}& & & 0^{-}\end{array}$$

Exercice 2. Calculer les limites suivantes en utilisant la somme, le produit ou le quotient de limites:

1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }2x+1+\frac{3}{x-1}$

2. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{2}{x}+3\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)$

3. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x+1\right)\left(3x-2\right)$

4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}+3}{2-\frac{1}{x}}$

Exercice 3. Calculer les limites de la fonction $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ si elles existent.

1. $f(x)=-8x^3+x-2$

2. $f(x)=-x^2+x-2$

3. $f(x)=(2x-5)(-5x+1)$

4. $f(x)=-2(3-2x{)}^3$

5. $f(x)=\sqrt{2x-3}$

6. $f(x)=\sqrt{3-x}$

Exercice 4. Etudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son domaine de définition en précisant les asymptotes éventuelles de la courbe de $f$.

1. $f(x)=\frac{3x-1}{x-6}$

2. $f(x)=\frac{-8x+3}{2x-4}$

3. $f(x)=2+\frac{3}{x+2}$

4. $f(x)=1-\frac{6}{1-x}$

Exercice 5. Même question qu’à l’exercice précédent.

1. $f(x)=\frac{2x^2-7}{x^2-9}$

2. $f(x)=\frac{5x}{x^2-4}$

3. $f(x)=\frac{3x^2-3}{x^2}$

4. $f(x)=2+\frac{x+1}{x^2+2}$

Exercice 6. Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite $\Delta$ est une asymptote à la courbe de la fonction $f$ puis étudier la positive relative de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$.

1. $f(x)=2x+1+\frac{2}{x-3}\Delta :y=2x+1$

2. $f(x)=-x+4-\frac{5}{x-1}\Delta :y=-x+4$

3. $f(x)=4-x-\frac{5x}{x^2+2}\Delta :y=4-x$

Exercice 7. Déterminer une équation de l’asymptote oblique de la courbe de $f$ dans chacun des cas suivants.

1. $f(x)=\frac{x^2+3x-1}{x-1}$

2. $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x+1}$

3. $f(x)=\frac{x^2-x+3}{2x-4}$

4. $f(x)=\frac{3x^2+4x}{x+3}$

Exercice 8. Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son $D_f$.

1. $f(x)=-x^4-3x^2+4$

2. $f(x)=\frac{x^2-10x+24}{x^2-3x-4}$

3. $f(x)=\frac{x^2-6x-7}{-x+1}$

4. $f(x)=\sqrt{8-4x}$