Limites de fonctions composées

algebra

$a$ , $b$ et $c$ désignent soit un réel soit $\pm \infty$ .

Rappel:

Si $x \to a lim f (x) = b$ et $x \to b lim g (x) = c$ alors par composée $x \to a lim g (f (x)) = c$

Exercice 1. Justifier les limites suivantes.

$x \to 0 lim (\frac{3 x - 1}{x ^{2}})^{4} = + \infty$
$x \to - \infty lim 4 + \frac{1}{x} = 2$
$x \to + \infty lim cos (\frac{π x - 2}{x - 4}) = - 1$

Exercice 2. Etudier les limites suivantes.

$x \to + \infty lim x^{2} - x - 3$
$x \to - 2^{-} lim \frac{1 + x}{4 - x ^{2}}$
$x \to - \infty lim sin (\frac{π x - 2}{6 x - 4})$
$x \to + \infty lim (x - x)^{5}$

Exercice 3. Une fonction $f$ définie sur $R ∖ {- 1}$ tel que: $x \to - \infty lim f (x) = 0$ , $x \to + \infty lim f (x) = 1$ , $x \to - 1^{-} lim f (x) = + \infty$ et $x \to - 1^{+} lim f (x) = - \infty$ .

Interpréter graphiquement ces limites.
Déterminer les limites suivantes.
- $x \to + \infty lim f (x)$
- $x \to + \infty lim f (- 1 + \frac{1}{x})$
- $x \to - \infty lim f (- 1 + \frac{1}{x})$
- $x \to 0^{-} lim f (\frac{1}{x})$
- $x \to + \infty lim f (\frac{x ^{2} + 1}{2 x - 1})$
- $x \to - \infty lim f (\frac{2 - x ^{2}}{2 + x ^{2}})$

Exercice 4. Une fonction $f$ a pour tableau de variations celui donné ci-dessous.

$x f (x) - \infty 0 ↘ - \infty - 1 ∣∣ + \infty ↘ 20 ↗ + \infty 1$

Donner en utilisant ce tableau les limites suivantes.

$x \to + \infty lim f (- x + 1)$
$x \to + \infty lim f (2 + \frac{2}{x})$
$x \to - 1^{-} lim \frac{x - 2}{f ( x )}$
$x \to - \infty lim \frac{f ( x ) + x}{f ( ∣ x ∣ ) - 1}$

Exercice 5. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $R$ tel que $f (1) = 0$ et $f^{'} (1) = - 1$ .

$C_{f}$ admet une asymptote d’équation $y = 3$ en $- \infty$ et une asymptote d’équation $y = x + 4$ en $+ \infty$ .

Calculer les limites suivantes.
- $x \to 0 lim f (\frac{x - 1}{x ^{2}})$
- $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x + f ( x )}$
- $x \to + \infty lim \frac{1}{f ( x ) - x + 3}$
On considère la limite suivante $x \to + \infty lim x f (1 + \frac{1}{x})$ .
1. Justifier qu’il y a une présence de forme indéterminée.
2. En posant $X = 1 + \frac{1}{x}$ , calculer cette limite.