Exponentielle

analysis

Exercice 1. Simplifier au maximum les expressions suivantes.

$\frac{( e ^{2} ) ^{5}}{e ^{5}}$
$e^{2} \times \frac{1}{e ^{- 2}}$
$\frac{e ^{- 3} \times e ^{2}}{e ^{7}}$
$\frac{1}{1 + e} - \frac{e ^{- 1}}{1 + e ^{- 1}}$

Exercice 2. Simplifier chacune des expressions.

$e^{- 2 x} \times e^{2 x}$
$(e^{x})^{3} \times e^{- 2 x}$
$e^{2 x + 1} \times e^{1 - x}$
$\frac{e ^{2 x + 3}}{e ^{2 x - 1}}$
$\frac{e ^{x + 2}}{e ^{- x + 2}}$
$\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{e ^{x}}$
$\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{e ^{- x}}$
$(e^{x} + e^{- x})^{2} - 1 - e^{- 2 x}$
$\frac{e ^{3 x} + e ^{x}}{e ^{2 x} + 1}$

Exercice 3. Démontrer les égalités suivantes.

$(e^{x} + e^{- x})^{2} - (e^{x} - e^{- x})^{2} = 2$ .
$e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = (e^{x} - 1) (e^{x} - 4)$
$e^{- x} - e^{- 2 x} = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{2 x}}$
$\frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1} = \frac{1 - e ^{- x}}{1 + e ^{- x}}$
$\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} = \frac{e ^{2 x} - 1}{e ^{2 x} + 1}$

Exercice 4. Résoudre dans $R$ les équations suivantes.

$e^{3 x} = 1$
$e^{- 3 x + 5} = e^{- 2 x + 5}$
$e^{- 3 x + 5} \times e^{x + 1} = e^{5}$
$e^{- 3 x + 5} = e^{2}$
$e^{x} + 4 = 0$
$e^{2 x - 1} = 16$
$e^{- x} - \frac{1}{2} = 0$
$e^{(x + 1) (2 x + 1)} = 1$
$e^{x^{2} + 3 x + 4} = e^{2}$
$e^{x^{2} + x + 1} = e^{3 x + 5}$
$e^{x^{2} + 1} \times e^{2 x} = e^{2 x^{2}}$

Exercice 5. Résoudre dans $R$ les équations suivantes.

$(e^{x} - 1) (e^{x} - 2) = 0$
$e^{2 x} - 4 e^{x} + 3 = 0$
$e^{2 x} - 5 e^{x} = 14$
$e^{2 x} + e^{x} = 2$
$e^{x} + e^{- x} = 2$
$e^{- x} + 2 e^{x} = 3$
$e^{- 2 x} + 2 e^{- x} - 3 = 0$
$e^{3 x} + 3 e^{2 x} + 2 e^{x} = 0$
$e^{3 x} - e^{2 x} - 2 e^{x} = 0$

Exercice 6. Résoudre dans $R$ les inéquations suivantes.

$e^{2 x} > 3$
$e^{- 2 x} \leq 3$
$e^{- 2 x} \leq e^{x + 5}$
$e^{x^{2}} > e^{9}$
$e^{x^{2}} > e^{3 x + 2}$
$(e^{x} - 1) (e^{x} - 2) > 0$
$(2 e^{x} - 4) (e^{x} - 3) < 0$
$(e^{x} + 5) (e^{2 x} - 2) > 0$
$\frac{e ^{x} - 3}{e ^{x} - 2} \geq 0$
$\frac{e ^{x} - 3}{e ^{x} - 2} \geq 2$

Exercice 7. Résoudre dans $R$ les inéquations suivantes.

$e^{2 x} - e^{x} < 0$
$e^{2 x} - 5 e^{x} - 14 < 0$
$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 \geq 0$
$e^{2 x} - 12 e^{x} + 20 > 0$
$- e^{2 x} + 11 e^{x} - 30 > 0$
$e^{2 x} - 25 < 0$

Exercice 8. On considère le polynôme $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ .

Calculer $P (2)$ puis montrer que :
$P (x) = (x + 2) (x - 3) (2 x - 1)$ .
Résoudre dans $R$ l’équation $P (x) = 0$ .
En déduire les solutions des équations suivantes.
1. $2 (ln (x))^{3} - 3 (ln (x))^{2} - 11 ln (x) + 6 = 0$ .
2. $2 e^{3 x} - 3 e^{2 x} - 11 e^{x} + 6 = 0$ .

Exercice 9. On considère le polynôme $P (x) = x^{3} - 9 x^{2} - x + 9$ .

Calculer $P (9)$ en déduire une factorisation de $P (x)$ .
Résoudre dans $R$ l’équation $P (x) = 0$ .
Résoudre dans $R$ l’équation $\frac{e ^{2 x} + 9 e ^{- x}}{9 e ^{x} + 1} = 1$ .

Exercice 10.

Développer, réduire et ordonner $P (x) = (x + 2) (x - 3) (x + 1)$
Résoudre $R$ , $P (x) = 0$ et $P (x) \leq 0$ .
En déduire la résolution des équations suivantes.
1. $(ln x)^{3} - 7 (ln x)^{2} - 6 = 0$
2. $e^{3 x} - 7 e^{x} - 6 = 0$ .

Exercice 11.

Résoudre dans $R$ l’équation $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$
En déduire la résolution des équations suivantes.
1. $(ln x)^{3} - 3 (ln x)^{2} + 2 ln x = 0$
2. $e^{3 x} - 3 e^{2 x} + 2 e^{x} = 0$ .

Exercice 12. On considère le polynôme $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + 14 x + c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont des réels.

Déterminer $a$ , $b$ et $c$ sachant que $P (0) = - 20$ , $P (- 2) = 0$ et $P (- 1) = - 24$
On pose $P (x) = - 2 x^{3} + 8 x^{2} + 14 x - 20$
1. Factoriser $P (x)$ .
2. Résoudre dans $R$ l’équation $P (x) = 0$ .
3. En déduire les solutions des équations suivantes.
4. $- 2 e^{3 x} + 8 e^{2 x} + 14 e^{x} - 20 = 0$ .
5. $- 2 (ln (x))^{3} + 8 (ln (x))^{2} + 14 ln (x) - 20 = 0$ .

Exercice 13. Résoudre les systèmes d’équations suivants.

${2 e^{x} - e^{y} = 15 e^{x} + 2 e^{y} = 40$
${2 e^{x} - 3 e^{y} = - 5 3 e^{x} + 4 e^{y} = 18$
${5 e^{- x} - 3 e^{- y} = 3 7 e^{- x} + 6 e^{- y} = 11$
${e^{x} \times e^{2 y + 2} = 0 e^{x + 7} \times e^{y} = e$
${e^{x - y} = 12 e^{x + y} = \frac{4}{3}$

Exercice 14.

Résoudre dans $R^{2}$ : ${2 X - Y = 7 3 X + 4 Y = 5$
En déduire la résolution dans $R^{2}$ des systèmes :

${2 e^{x} - e^{y} = 7 3 e^{x} + 4 e^{y} = 5 {2 ln x - ln y = 7 3 ln x + 4 ln x = 5$

Exercice 15. Résoudre les systèmes d’équations suivants.

${e^{x} \times e^{y} = e^{2} x y = - 15$
${e^{x} \times e^{y} = e^{10} ln x + ln y = ln 21$
${e^{x} - 3 ln y = 11 2 e^{x} + ln y = 1$
${ln x + ln 4 = ln 3 - ln y e^{x} = e^{2 - y}$

Exercice 16. Calculer la dérivée de $f$ dans chaque cas.

$f (x) = e^{x} - x - 1$
$f (x) = (x + 5) e^{x}$
$f (x) = x^{2} e^{x}$
$f (x) = x e^{2 x}$
$f (x) = e^{x} - e^{- x}$
$f (x) = e^{x^{2} - 6 x}$
$f (x) = x e^{x^{2} - 6 x}$
$f (x) = e^{\frac{2}{x}}$
$f (x) = e^{\frac{x}{x + 2}}$
$f (x) = \frac{e ^{x} + 1}{e ^{x} - 2}$
$f (x) = \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} - 2}$
$f (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{e ^{x} - e ^{- x}}$
$f (x) = (4 e^{x} - 1) (e^{2 x} + 1)$
$f (x) = \frac{1 + e ^{x}}{1 - 2 e ^{x}}$
$f (x) = \frac{2 e ^{x}}{e ^{x} - 1}$

Exercice 17. Déterminer les limites suivantes.

$x \to + \infty lim (e^{- x} + 1)$
$x \to 0 lim (e^{- x} + 1)$
$x \to - \infty lim (e^{- x} + 1)$
$x \to + \infty lim x e^{x}$
$x \to - \infty lim x e^{- x}$
$x \to - \infty lim x e^{x}$
$x \to - \infty lim \frac{e ^{2 x} - 1}{e ^{x} + 1}$
$x \to + \infty lim \frac{1}{1 + e ^{x}}$
$x \to + \infty lim (e^{x} + \frac{1}{x})$
$x \to + \infty lim \frac{1}{1 + e ^{- 2 x}}$

Exercice 18. Déterminer les limites suivantes.

$x \to + \infty lim (e^{2 x} - e^{x} + 1)$
$x \to + \infty lim \frac{e ^{x} + 1}{2 x}$
$x \to - \infty lim (x^{2} - 4 x + 1) e^{x}$
$x \to + \infty lim (e^{x} - x^{2} - x)$
$x \to 0 lim \frac{1 - 3 e ^{x}}{e ^{x} - 1}$

Etude de fonctions

Exercice 19. Etudier les variations de $f$ dans chaque cas.

$f (x) = x e^{x}$
$f (x) = \frac{x}{e ^{x}}$
$f (x) = x^{2} e^{x}$
$f (x) = \frac{e ^{x}}{x}$
$f (x) = e^{x + 2}$
$f (x) = e^{2 x - 2}$
$f (x) = e^{- x^{2}}$
$f (x) = e^{x^{2} + 2 x + 1}$
$f (x) = e^{3 - x}$
$f (x) = x - e^{x}$
$f (x) = x + e^{x}$

Exercice 20. Soit $f (x) = x - \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 2}$ , pour tout réel $x .$

Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$ .
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{e ^{2 x} + 1}{( e ^{x} + 2 ) ^{2}}$
En déduire le tableau de variation de $f .$
Montrer que la droite (D) d’équation $y = x$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $- \infty.$
Montrer que la droite (D’) d’équation $y = x - 1$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $+ \infty.$

Exercice 21. On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 1}$

Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$ .
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{4 e ^{2 x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ^{2}} .$ . En déduire le tableau de variations de $f .$
Montrer que le point I(0,1) est un centre de symétrie à la courbe de $f .$

Exercice 22. Soit la fonction $f$ définie par $f (x) = (x^{2} - 5 x + 7) e^{x}$

Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$ .
Montrer que le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $x^{2} - 3 x + 2$ .
Dresser le tableau de variations de $f .$
Que représente l’axe des abscisses pour la courbe de $f$ ?
Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 0.

Exercice 23. Soit la fonction $f$ définie par $f (x) = e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x$

Etudier la parité de $f$
Dans la suite on étudie $f$ sur $[0, + \infty [$ .
1. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ .
2. Montrer que $f^{'} (x) = 2 (e^{x} - e^{- x})^{2}$ .
3. Dresser le tableau de variations de $f .$
4. Représenter la courbe de $f$

Exercice 24. On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{2}{e ^{x} + 2}$

Calculer les limites de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$ et préciser les asymptotes à la courbe de $f .$
Calculer $f^{'} (x)$ . En déduire le tableau de variation de $f .$
Montrer que le point I $(ln 2, \frac{1}{2})$ est un centre de symétrie à la courbe de $f .$
Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 1.
Déterminer les coordonnées du point A intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées.

Exercice 25. On considère la fonction $f$ définie par : $f (x) = x e^{- x}$

Déterminer le domaine de définition E de $f$ puis les limites aux bornes de E.
a. Montrer que la fonction dérivée de $f$ est telle que $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ .
b. Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe en $- \infty.$
Tracer la courbe.

Exercice 26. Soit la fonction $f$ définie par : $f (x) = (1 - x) e^{x} + 1$

Déterminer le domaine de définition de $f$ puis les limites aux bornes de ce domaine.
Que peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?
Calculer la fonction dérivée de $f$ , étudier son signe puis dresser son tableau de variations de $f$ .
Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
Déterminer la nature de la branche infinie de la courbe en $- \infty.$
Tracer la courbe.

Exercice 27. Soit la fonction $f$ définie par : $f (x) = e^{x^{2} - 2 x}$

Déterminer le domaine de définition de $f$ puis les limites aux bornes.
Calculer la fonction dérivée de $f$ , étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l’équation de la tangente aux points d’abscisse $0$ et $2$ .
Résoudre dans $R$ l’équation $f (x) = 1.$

Exercice 28. Soit la fonction $f$ définie par : $f (x) = \frac{e ^{x} - 1}{e ^{x} + 1}$

Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ .
En déduire l’équation d’une asymptote à la courbe en $- \infty$
Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ . En déduire l’équation d’une deuxième asymptote à la courbe en $+ \infty$ .
Calculer la fonction dérivée de $f$ , étudier son signe puis dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l’équation de la tangente au point où la courbe coupe l’axe des ordonnées.
Montrer que pour tout $x$ réel , $f (- x) = - f (x) .$

Que peut on en déduire pour la fonction $f$ et pour sa courbe représentative ?

Exercice 29. Soit la fonction $f$ définie par : $f (x) = \frac{2 e ^{x} - 1}{e ^{x} - 1}$

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f (x) = a + \frac{b}{e ^{x} - 1}$
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f et étudier les limites aux bornes de cet ensemble de définition.
1. Déterminer la dérivée $f^{'}$ de la fonction $f$ .
2. Etudier le sens de variations de la fonction $f$ .
3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .
On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; i, j)$ (unité:2cm)
1. Montrer que le point A $(0; \frac{3}{2})$ est un centre de symétrie pour $C$ .
2. Tracer $C$ .

Exercice 30. Soit la fonction $f$ définie par : $f (x) = x + ln (2 - e^{x})$

Résoudre l’inéquation $2 - e^{x} > 0$ .
En déduire le domaine de définition $D f$ de $f .$ .
Etudier les limites $- \infty$ et en $ln 2$ de la fonction $f$ .
Calculer $f^{'}$ puis établir le tableau de variation de $f .$
1. Montrer que pour tout $x \in D f$ ,
  $f (x) = x + ln 2 + ln (1 - \frac{e ^{x}}{2})$ .
2. En déduire que la droite $y = x + ln 2$ est une asymptote en $- \infty$ à la courbe de $f .$
3. Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Tracer la courbe $C$ représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; i, j)$ (unité:1cm)