Limites (TS2)

algebra

Exercice 1. Étudier les limites suivantes.

$x \to + \infty lim sin \frac{π}{x}$
$x \to \infty lim x sin \frac{π}{x}$
$x \to - \infty lim \frac{2 x ^{2}}{1 - x}$
$x \to + \infty lim (x - x + \frac{1}{x})^{3}$
$x \to + \infty lim x (\frac{x}{x + 1} - 1)$

Exercice 2. Calculer la limite suivante. $x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x}$

En déduire : $x \to \frac{π}{2} lim \frac{4 + cos x - 2}{cos x}$ $x \to \frac{π}{2} lim \frac{4 + sin x - 2}{x}$

Exercice 3. On considère la fonction $f$ définie sur $[2, + \infty [$ par $f (x) = \frac{3 x + sin x}{x - 1}$

Montrer que , pour tout $x \geq 2$ , $∣ f (x) - 3 ∣ \leq \frac{4}{x - 1}$ .

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty ? .$

Exercice 4. Soit la fonction $f$ définie par : $f : x \mapsto x^{2} sin (\frac{1}{x}) + 1$ $\forall x \in R^{*}$

Montrer que $\forall x \in R^{*}$ $1 - x^{2} \leq f (x) \leq 1 + x^{2}$
En déduire :
1. $x \to 0 lim f (x)$
2. $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x ^{3}}$
3. $x \to 0 lim \frac{f ( x ) - 1}{x}$ .

Exercice 5. Soi $f$ une fonction définie sur $R ∖ {- 1}$ telle que: $x \to - \infty lim f (x) = 0$ , $x \to + \infty lim f (x) = 1$ , $x \to - 1^{-} lim f (x) = + \infty$ et $x \to - 1^{+} lim f (x) = - \infty$ .

Interpréter graphiquement ces limites.
En déduire les limites suivantes.
1. $x \to + \infty lim f (x)$
2. $x \to + \infty lim f (- 1 + \frac{1}{x})$
3. $x \to 0^{-} lim f (\frac{1}{x})$
4. $x \to - \infty lim (\frac{f ( x ) - 1}{2 f ( x ) + 1})^{2}$

Exercice 6. Étudier les limites suivantes.

$x \to 1 lim \frac{x ^{10} - 1}{x - 1}$
$x \to - 1 lim \frac{x x + 2 + 1}{x + 1}$
$x \to \frac{π}{6} lim \frac{2 sin x - 1}{6 x - π}$
$x \to 0 lim \frac{cos ^{5} x + sin 2 x - 1}{x}$