Exercice 1. Vrai ou faux?

1. Si $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=a$ et $\underset{x\to b}{\lim }f(x)=a$ alors ${\lim }_{x\to b}\left(g\circ f\right)(x)=a$.

2. Soit la fonction $u$ telle que $x-2\le u(x)\le x+3$ pour tout $x>1$. Alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{u(x)}{\sqrt{x}}=+\infty$.

3. Si une fonction $f$ définie et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ telle que: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$ alors :

   a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(-x+1)=0$ $\text{b)}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x+\frac{1}{x}\right)=1$ $\text{c)}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)+x}{f(|x|)-1}=+\infty$.

Exercice 2. Étudier les limites suivantes.

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sin \frac{\pi }{x}$

2. $\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{\pi }{x}$

3. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{\frac{2x^2}{1-x}}$

4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)}^3$

5. $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}-1}\right)$

Exercice 3. Calculer la limite suivante. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

En déduire : $$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sqrt{4+\cos x}-2}{\cos x}\text{et}\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sqrt{4+\sin x}-2}{x}$$

Exercice 4. On considère la fonction $f$ définie sur $[2,+\infty [$ par $f(x)=\frac{3x+\sin x}{x-1}$

Montrer que , pour tout $x\ge 2$ , $\left|f(x)-3\right|\le \frac{4}{x-1}$.

En déduire la limite de $f$ en $+\infty ?.$

Exercice 5. Soit la fonction $f$ définie par : $f:x\mapsto x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)+1$ $\forall x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$

1. Montrer que $\forall x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ $1-x^2\le f(x)\le 1+x^2$

2. En déduire :

   1. $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$

   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x^3}$

   3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-1}{x}$.

Exercice 6. Soi $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ telle que: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$, $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty$ et $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$.

1. Interpréter graphiquement ces limites.

2. En déduire les limites suivantes.

   1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(\sqrt{x}\right)$

   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(-1+\frac{1}{x}\right)$

   3. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(\frac{1}{x}\right)$

   4. $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{f(x)-1}{2f(x)+1}\right)}^2$

Exercice 7. Étudier les limites suivantes.

1. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{10}-1}{x-1}$

2. $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x\sqrt{x+2}+1}{x+1}$

3. $\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\lim }\frac{2\sin x-1}{6x-\pi }$

4. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\cos }^{5}x+\sin 2x-1}{x}$

Exercice 8. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tel que $f(1)=0$ et $f^{\prime }(1)=-1$.

${\mathcal{C}}_f$ admet une asymptote d’équation $y=3$ en $-\infty$ et une asymptote d’équation $y=x+4$ en $+\infty$.

1. Calculer les limites suivantes.

   1. $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(\frac{x-1}{x^2}\right)$

   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x+f(x)}$

   3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{f(x)-x+3}$

2. On considère la limite suivante $\underset{x\to +\infty }{\lim }xf\left(1+\frac{1}{x}\right)$.

   1. Justifier qu’il y a une présence de forme indéterminée.

   2. En posant $X=1+\frac{1}{x}$, calculer cette limite.