Exercice 1. Ecrire plus simplement en un seul logarithme, chacune des expressions suivantes.

$A=3\ln 2+\ln 5-2\ln 5$ $B=2\ln 2+2\ln 5+1$

$C=\frac{1}{2}\ln 3+\ln {\text{e}}^2-\ln \frac{2}{\text{e}}+3$ $D=\ln (3+\sqrt{5})+\ln (3-\sqrt{5})$

Exercice 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1) $\ln (x-1)=\ln (2-x)$

2) $\ln (x-2)-\ln (x+1)=2\ln 2$

3) $\ln (x-2)+\ln (x+3)=\ln (5x-9)$

4) $\ln \left(\frac{x-1}{2x-1}\right)=0$

Exercice 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.

1) $\ln (x-4)\le \ln (10-x)$

3) $\ln (x-1)+\ln (x+2)\ge \ln (4x-8)$

4) $\ln \left(\frac{x-1}{2x-1}\right)>0$

Exercice 4. On considère le polynôme $P(x)=2x^3-9x^2+x+12$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $P(x)\le 0$.

2. En déduire les solutions de l’équation et l’ inéquation suivantes.

   a) $2{\ln }^{3}x-9{\ln }^{2}x+\ln (x)+12=0$.

   b) $\ln (2x-3)+2\ln (x-2)\le \ln (-2x^2+19x-24)$

Exercice 5. Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ les systèmes suivants:

1) $\{\begin{array}{l}\ln (x+2)+3\ln (y-1)=4\\ 2\ln (x+2)-\ln (y-1)=2\end{array}$ 2) $\{\begin{array}{l}x-y=\frac{3}{2}\\ \ln x+\ln y=0\end{array}$

Exercice 6. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ puis calculer sa fonction dérivée f${}^{\prime }$.

) $f(x)=\frac{\ln (x)+1}{\ln (x)-1}$ 2) $f(x)=\frac{\ln (1+2x)}{x}$

3) $f(x)=\frac{x+\ln (x)}{2x}$ 4) $f(x)=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$

Exercice 7. Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes.

1) $f(x)=\sqrt{3-\ln (x)}$ 2) $f(x)=(\ln x{)}^2-2\ln x-3$

) $f(x)=\frac{\ln (x)}{1-\ln (x)}$ 4)$f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x+1}$

Exercice 8. Etudier le signe des expressions suivantes:

$A(x)=\ln x(\ln x+1)$ $B(x)=1-\ln (1-x)$

$C(x)=2{\ln }^2(x)-\ln (x)-1$ $D(x)=\ln (x)-x+1$

Exercice 9. Soit $f(x)=x-1+\ln \left|\frac{x+1}{x-1}\right|$

1. Déterminer les limites aux bornes de $D_f$.

2. Dresser le tableau de variations de $f.$

3. Montrer que le point I$(0;1)$ est à la fois centre de symétrie et point d’inflexion de la courbe de $f$.

4. Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ tel que $0<\alpha <\frac{1}{2}$.

5. Représenter $f.$

Exercice 10. Soit $f(x)=\ln (-x^2+4x-3)$.

1. 1. Étudier les variations de $f$.

   2. En déduire le signe de $f(x)$ sur $D_f$.

2. Soit $g$ la restriction de $f$ à $I=]2,3[$.

   Montrer que $g$ est une bijection de $]2,3[$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

Soit $F(x)=(x-1)\ln (x-1)-(3-x)\ln (3-x)-2x$

1. Montrer que $F$ est une primitive sur $I$ de $f$.

2. Etudier les variations de $F$ et tracer $C_F$.