Exercice 1.

1. Simplifier au maximum les expressions suivantes:

   $A=\frac{{\text{e}}^{3+\ln x^2}}{2x}$ $B=\frac{{\text{e}}^{3x}+{\text{e}}^x}{{\text{e}}^{2x}+1}$

2. Prouver que pour tout réel $x$:

   a) $\frac{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}=\frac{{\text{e}}^{2x}-1}{{\text{e}}^{2x}+1}=\frac{1-{\text{e}}^{-2x}}{1+{\text{e}}^{-2x}}$

   b) $\ln (1+{\text{e}}^x)=x+\ln (1+{\text{e}}^{-x})$

Exercice 2. On considère le polynôme $P(x)=2x^3-9x^2+x+12$.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}:$ $P(x)\le 0$.

2. En déduire les solutions de l’équation et l’ inéquation suivantes.

   a) $2{\text{e}}^{3x}-9{\text{e}}^{2x}+{\text{e}}^x+12=0$ b) $\frac{{\text{e}}^{2x}(2{\text{e}}^x-9)}{{\text{e}}^x+12}\le -1$.

Exercice 3. Résoudre dans ${\mathbb{R}}^2$ les systèmes suivants:

a) $\{\begin{array}{l}2{\text{e}}^x+3{\text{e}}^{1+y}=13\\ {\text{e}}^x+{\text{e}}^{1+y}=5\end{array}$ b) $\{\begin{array}{l}xy=-15\\ {\text{e}}^x\times {\text{e}}^y={\text{e}}^2\end{array}$

Exercice 4. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

1) $f(x)=(x^2-5x+1){\text{e}}^{3x-1}$ 2) $f(x)=\sqrt{x}{\text{e}}^{-x^2}3)f(x)=\ln (1+{\text{e}}^x)$

$4)f(x)=\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}5)f(x)=\ln \left(\frac{{\text{e}}^x-1}{x+{\text{e}}^x}\right)$ 6) $f(x)=\text{exp}\left(\frac{1}{x^2-x}\right)$

Exercice 5. Etudier les limites suivantes:

1) $\underset{x\to +\infty }{\lim }({\text{e}}^x-x^2-x)$ 2) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-{\text{e}}^{-2x}}{3x}3)\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\text{e}}^{2x}-{\text{e}}^{-x}}{x}4)\underset{x\to -\infty }{\lim }{\text{e}}^{-2x}+3x$

5) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln (2-{\text{e}}^{-x})}{x}$ 6) $\underset{|x|\to +\infty }{\lim }(x+2){\text{e}}^{-x}$

Exercice 6. Dresser le tableau de variations des fonctions suivantes.

1) $f(x)={\text{e}}^{2x}-{\text{e}}^{-2x}-4x$ 2) $f(x)=(x^2-5x+7){\text{e}}^{2x}3)f(x)=x-\frac{{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+2}$

4) $f(x)=x-{\text{e}}^{\frac{x-2}{2}}$ 5) $f(x)=(x-1)\left(2-{\text{e}}^{-x}\right)$

Exercice 7. Soit f$(x)=1-\frac{4{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^{2x}}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. Démontrer que pour tout $x$, f$(-x)=\text{f}(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$?

2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\text{f}(x)$. Interpréter.

3. Vérifier que $\forall x\in \mathbb{R}$ f${}^{\prime }(x)=\frac{4{\text{e}}^x\left({\text{e}}^{2x}-1\right)}{{\left({\text{e}}^{2x}+1\right)}^2}$

4. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle $[0,+\infty [$.

5. Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en un unique point A d’abscisse $a$ positive. Montrer que $1,31<a<1,32$. Donner une allure de $\mathcal{C}$ dans le repère.

6. Donner le signe de f$(x)$ pour $x\in \mathbb{R}$.

Exercice 8. Soit $f(x)=\{\begin{array}{l}-x+7-4{\text{e}}^x\text{si}x\le 0\\ x+3-x\ln x\text{si}x>0\end{array}$

1. 1. Etudier la continuité de $f$ en $0$.

   2. Etudier la dérivabilité de $f$ en $0$. Interpréter le résultat graphiquement.

   3. Ecrire l’équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $\text{e}$.

2. Déterminer les limites aux bornes de D$f$.

3. Etudier les branches infinies de ${\mathcal{C}}_f$.

4. Établir le tableau de variations de $f$.

5. Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha >0$.

6. Construire la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

Exercice 9. On considère la suite $\left(U_n\right)$ de nombres réels définie pour tout entier naturel $n$ par : $\{\begin{array}{lcl}{U}_0& =& 0\\ U_{n+1}& =& \ln \left(1+{\text{e}}^{U_n}\right)\end{array}$

1. Calculer $U_3$.

2. Exprimer $U_n$ en fonction de $U_{n+1}$.

3. Soit la suite $\left(V_n\right)$ définie par: $V_n={\text{e}}^{U_n}$, $n\in \mathbb{N}$.

   1. Montrer que $(V_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

   2. Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n.$

   3. Etudier la convergence de la suite $(U_n)$ et préciser sa limite.