Exercice 1. Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^3-3x^2+4$

On note ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe dans un repère orthonormé.

1. Étudier le sens de variations de $f$ puis établir son tableau de variations.

2. Justifier que l’équation $f(x)=2$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.

3. Montrer que $f$ admet sur $\left[2,+\infty \right[$ une bijection réciproque $f^{-1}$ dont on précisera l’ensemble de définition.

4. Montre que le point $(1,2)$ est un point d’inflexion de ${\mathcal{C}}_f$.

5. Tracer ${\mathcal{C}}_f$ et ${\mathcal{C}}_{f^{-1}}$.

Exercice 2. Soit la fonction $f$ définie par: $f(x)=\frac{x^3+x^2-4}{x^2-4}$

On note par ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe dans un repère orthonormé.

1. 1. Déterminer les asymptotes à la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

   2. Soit l’asymptote oblique $\Delta$ de ${\mathcal{C}}_f$. Étudier la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à $\Delta$.

2. Étudier le sens de variations de $f$ puis établir son tableau de variations.

3. Soit $I$ le point d’intersection de $\Delta$ et ${\mathcal{C}}_f$.

   Montrer que $I$ est un centre de symétrie de ${\mathcal{C}}_f$.

4. Tracer ${\mathcal{C}}_f$ (unité 1cm).

Exercice 3. On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{2x-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}.$

1. Déterminer Df puis calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. 1. Montrer que sa dérivée est définie par : $f^{\prime }(x)=\frac{x+4\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}{\left(2+\sqrt{x}\right)}^2}.$

   2. Résoudre l’équation : $X^2+4X-1=0$ puis en déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ ainsi que les variations de $f$ sur Df.

   3. Dresser alors le tableau de variations de la fonction $f$ sur Df.

      On veillera notamment à calculer la valeur exacte de l’extremum de $f$.

3. Déterminer la branche infinie de la courbe de $f$ puis construire cette courbe (unité 8cm).

Exercice 4. Soit la fonction $f$ définie par: $f(x)=(1-x)\sqrt{\left|1-x^2\right|}$

${\mathcal{C}}_f$ sa courbe dans un repère orthonormé d’unité 2cm.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.

2. Etudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et $-1$.

3. Calculer $f^{\prime }(x)$ et étudier son signe.

   Dresser le tableau de variations de $f$.

4. Déterminer les branches infinies de la courbe de $f$.

5. Tracer ${\mathcal{C}}_f$ dans le repère.

Exercice 5. Partie A

Soit la fonction $P$ définie par $P(x)=4x^3-3x-8$.

1. Etablir le tableau de variations de $P$.

2. Montrer que l’équation $P(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

   Vérifier que $\alpha \in [1,45;1,46]$.

3. En déduire le signe de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Partie B

Soit la fonction $f$ définie sur $\left[0,+\infty \right[$ par : $f(x)=\frac{x^3+1}{4x^2-1}$. ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative.

1. Etudier les limites de $f$ aux bornes de $Df$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ en fonction de $P(x)$.

3. En déduire le signe de $f^{\prime }(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.

4. Montrer que $f(\alpha )=\frac{3}{8}\alpha$.

5. Montrer que la droite d’équation $\mathcal{D}:$ $y=\frac{x}{4}$ est une asymptote à ${\mathcal{C}}_f$.

6. Étudier les positions relatives de ${\mathcal{C}}_f$ et $\mathcal{D}$.

7. Tracer ${\mathcal{C}}_f$ dans un repère orthonormé.

Exercice 6. Partie A

Soit la fonction $g$ définie par : $g(x)=-x\sqrt{1+x^2}-1$.

1. Etudier les variations de $g$.

2. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

3. Déterminer la valeur exacte de $\alpha$.

4. En déduire que:
   si $\alpha <0$ alors $g(x)>0$ et si $\alpha \ge 0$ alors $g(x)\le 0$

Partie B
Soit la fonction $f$ définie par :

$f(x)=-\frac{x^3}{3}-\sqrt{1+x^2}$.

1. Calculer les limites aux bornes de $Df$.

2. Déterminer la nature des branches infinies de $\mathcal{C}$.

3. Calculer $f^{\prime }(x)$ en fonction de $g(x)$.

4. Montrer que $f(\alpha )=\frac{3-{\alpha }^4}{3\alpha }$.

5. Dresser le tableau de variations de $f$.

6. Déterminer l’équation de la tangente (T) à ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $0.$

7. Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ par rapport à (T).

8. Tracer ${\mathcal{C}}_f$ dans un repère orthonormé d’unité 2cm.

Exercice 7. On considère la fonction $f$ définie par: $$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+2-\frac{2x}{x^2+1}& \text{ si }x\le 1\\ x-1-3\sqrt{x^2-1}& \text{ si }x>1\end{array}$$

1. Calculer les limites aux bornes de $D_f$.

2. Etudier la continuité de $f$ en 1.

3. Etudier la dérivabilité de $f$ en 1. Interpréter graphiquement le résultat.

4. 1. Déterminer les asymptotes de ${\mathcal{C}}_f$.

   2. Etudier la position de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à ses asymptotes.

5. Calculer $f^{\prime }(x)$ sur les intervalles où $f$ est dérivable en justifiant la dérivabilité de $f$ sur chacun de ces intervalles puis dresser son tableau de variations.

6. Construire la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

7. 1. Soit $g$ la restriction de $f$ à l’intervalle $I=]-\infty ,1]$.

      Montrer que $g$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser.

   2. Tracer ${\mathcal{C}}_{g^{-1}}$ dans le repère.

Exercice 8. Soit $f(x)=\cos 4x+2\sin 2x$.

1. Déterminer $D_f$ puis justifier le choix de $I=[0,\pi ]$ comme intervalle d’étude de $f$.

2. Montrer que: $f^{\prime }(x)=4\left(1-2\sin 2x\right)\cos 2x$ , $x\in I$.

3. Résoudre dans $I$ l’équation $f^{\prime }(x)=0.$

4. En déduire le tableau de variations de $f$.

5. Construire ${\mathcal{C}}_f$ sur $[0,\pi ]$.

Exercice 9. Soit $f(x)=\frac{{\cos }^{2}x}{\sin x}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.

2. Démontrer que $f$ est une fonction impaire et periodique de période $2\pi$.

3. Démontrer que ${\mathcal{C}}_f$ admet la droite $x=\frac{\pi }{2}$ comme axe de symétrie.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0,\frac{\pi }{2}]$.

5. Construire ${\mathcal{C}}_f$ sur $[-\pi ,\pi ]$.