Exercice 1. Montrer les dérivées suivantes.

1. $f(x)=\frac{2x-3}{(2x+1{)}^2}$ $f^{\prime }(x)=\frac{-4x+14}{(2x+1{)}^3}$

2. $g(x)=\frac{x\sqrt{x}}{2x+1}{g}^{\prime }(x)=\frac{2x^2+3x}{2\sqrt{x}{\left(2x+1\right)}^2}$.

3. $f(x)={\sin }^{2}x\cos 2x{f}^{\prime }(x)=2\sin x\cos 3x$

4. $h(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x-x^2}}{h}^{\prime \prime }(x)=\frac{6x-3}{4{\left(\sqrt{x-x^2}\right)}^5}$

5. $k(x)=\frac{1+\cos 3x}{{\cos }^{3}x}{k}^{\prime }(x)=\frac{3\sin x(1-2\cos x)}{{\cos }^{4}x}$

Exercice 2. Calculer la dérivée $f^{\prime }$ dans chacun des cas suivants en simplifiant le résultat:

1. $f(x)=\frac{-2x+3}{\sqrt{x^3-1}}$

2. $f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}$

3. $f(x)=(x^2-1)\sqrt{1-x}$

4. $f(x)=5{\sin }^2(3x-1)$

5. $f(x)=-\cos 2x+2{\sin }^{2}x$

6. $f(x)=x(1-\cos x{)}^2$

Exercice 3. Le but de l’exercice est d’appliquer la formule suivante ${\left((f\circ g)\right)}^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\times f^{\prime }\left(g(x)\right)$
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}$.

1. Calculer la dérivée des fonctions $x⟼g\left(\sqrt{x}\right)$ et $x⟼g\left(\tan x\right)$.

2. Exprimer en fonction de $g(x)$ la dérivée des fonctions $x⟼\sqrt{g(x)}$ et $x⟼\tan \left(g(x)\right)$.

Exercice 4. Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+1& \text{si ≤1.}\\ 2\cos (x-1)& \text{si x>1.}\end{array}$

Étudier la dérivabilité de $f$ en 1. Interpréter graphiquement le résultat.

Calculer $f^{\prime }(x)$.

Exercice 5. Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1+\frac{4x}{x^2+1}& \text{si x<−1.}\\ 2x+\sqrt{x+1}& \text{si x≥−1.}\end{array}$

1. Étudier la continuité de $f$ en $-1$.

2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $-1$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3. Étudier la dérivabilité de $f$ sur $]-\infty ;-1[$ et $]-1;+\infty [$.

4. Calculer $f^{\prime }(x)$ puis établir le tableau de variation de $f$.

Exercice 6. Les questions sont indépendantes

1. Déterminer les abscisses des points de la courbe de la fonction $x\mapsto x^3$ où la tangente parallèle à la droite $y=6x-1$.

2. Si $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-\infty$ alors ${\mathcal{C}}_f$ admet au point d’abscisse 2 une tangente d’équation $\cdots$

3. Si $f_d^{\prime }(1)=-3$ et $f_g^{\prime }(1)=0$ alors ${\mathcal{C}}_f$ admet au point d’abscisse 1 $\cdots$

Exercice 7. Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).$ Soit une fonction $f$ définie par $f(x)=a{x}^2+bx+c$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

• la tangente à $\mathcal{C}$ au point A$(1;-2)$ est paralléle à l’axe des abscisses;

• la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ est paralléle à la droite $2x+y+3=0$.

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.