Exercice 1. Recopier et compléter les pointillés.

1. Si la fonction $u$ est ................ alors la fonction $\sqrt{u}$ est continue sur l’intervalle $I$.

2. Si une fonction $f$ est ........ sur un intervalle $[a,b]$ et si ......... alors l’équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[a,b]$.

3. Si une fonction $f$ est ........ sur l’intervalle $[2,3]$ et si ......... alors l’équation $f(x)=m$ admet au moins une solution sur $[2,3]$.

4. Dans un repère orthonormal la courbe d’une fonction bijective et celle de sa réciproque sont symétriques ..............

Exercice 2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? On justifiera la réponse.

1. La fonction définie par $h(x)=\frac{\cos \sqrt{x}-1}{x}$ admet un prolongement par continuité en $0$.

2. L’image d’un intervalle par une fonction est un intervalle.

3. La fonction $x⟼\sqrt{x^2-1}$ est continue sur $]-\infty ;-1]$.

4. Si f est continue sur un intervalle I et si $m\in$ f(I) alors l’équation f(x) $=m$ admet au moins une solution dans I.

5. Soit la fonction $u$ telle que $x-2\le u(x)\le x+3$ pour tout $x>1$. Alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{u(x)}{\sqrt{x}}=+\infty$.

6. Si $f$ est continue et monotone sur un intervalle $I$ alors elle réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

Exercice 3. Montrer que la fonction $f$ définie par : $f(x)=\frac{x+2}{x}-(x-1)\sqrt{x+1}$ est continue sur $]0,+\infty [$ puis justifier que l’équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]0,+\infty [$.

Exercice 4.

1. Soit la fonction $h$ définie par $h(x)=\frac{\sqrt{x+1}-2}{x^2-2x-3}$.

   1. Déterminer l’ensemble de définition de $h$.

   2. Étudier la limite de $h$ en 3.

   3. Définir le prolongement par continuité de $h$ en 3.

2. Soit $g$ la fonction définie sur $]-1;+\infty [$ par $g(x)=\frac{1}{\left(\sqrt{x+1}+2\right)\left(x+1\right)}$.

   1. Montrer que $g$ est continue sur $]-1;+\infty [$.

   2. Montrer que l’équation $g(x)=1$ admet au moins une solution dans $]-0,7;-0,6[$.

Exercice 5. On considère la fonction $f$ de $\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ définie par:

$f(x)=\{\begin{array}{lc}3x-1+\frac{3x}{x-2}& \text{si}x>1\\ -x+\sqrt{1-x}& \text{si}x\le 1\end{array}$

1. Justifier que l’ensemble de définition de $f$ est ${\text{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}$.

2. Étudier les limites de $f$ aux bornes de D${}_f$.

3. Étudier la continuité de $f$ en 1 puis sur les intervalles $]-\infty ,1[$ , $]1,2[$ et $]2,+\infty [$.

4. Étudier la nature des branches infinies de la courbe ${\mathcal{C}}_f$.

5. Préciser la position relative de ${\mathcal{C}}_f$ par rapport à son asymptote oblique.