Nombres complexes 2

algebra

Initiation sur les nombres complexes

Exercice 1.

Rappeler la forme trigonométrique d’un nombre complexe $z$ .
Mettre sous la forme trigonométrique les nombres complexes $z$ suivants.

$a) z = 23 - 6 i b) z = - \frac{3}{2} + i \frac{3}{2} c) z = (2 + 2 i) (- 3 + i)^{2} d) z = 2 i e^{i \frac{π}{6}}$

$e) z = (- 3 + 3 i) e^{i \frac{π}{3}} f) z = 1 + cos 2 θ + i sin 2 θ g) z = sin \frac{π}{5} + i cos \frac{π}{5}$

$h) z = \frac{1 + 2 + i}{1 - 2 + i}$

Exercice 2. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants.

$z_{1} = (1 + i)^{17} z_{2} = (- 3 + i)^{2021} z_{3} = \frac{( 1 + i ) ^{3}}{( 3 + i ) ^{4}} z_{4} = e^{i \frac{π}{3}} + e^{- i \frac{π}{6}} z_{5} = \frac{- i ( 3 - i ) ^{2}}{2 ( 1 - i 3 ) ^{7}}$

Exercice 3. Le plan complexe est rapporté d’un repère orthonormé direct $(O; u, v)$ . On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d’affixes respectives $1 + i$ , $3 + 2 i$ et $3 i$ .

Donner une mesure de chacun des angles orientés suivants : $(u, O A)$ , $(u, OC)$ , $(v, O A)$ , $(v, OC)$ , $(C A, CB)$ et $(A B, A C)$ .
Soit $Z = \frac{z _{C} - z _{A}}{z _{B} - z _{A}}$ .
1. Calculer $∣ Z ∣$ et un argument $Z$ .
2. Interpréter géométriquement $∣ Z ∣$ et un argument $Z$ . En déduire la nature du triangle $A BC$ .

Exercice 4. Soit $z_{1} = 2 + i 6$ , $z_{2} = 2 - 2 i$ et $Z = \frac{z _{1}}{z _{2}}$ .

Ecrire $Z$ sous forme algébrique.
Ecrire $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique.
En déduire $Z$ sous forme trigonométrique.
Déterminer les valeurs de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .

Exercice 5. Soit $ω = 3 + 1 + i (3 - 1)$

Ecrire $ω^{2}$ sous forme algébrique.
Déterminer le module et un argument de $ω^{2}$ . En déduire le module et un argument de $ω$ .

Exercice 6. Identifier la réponse juste et donner la justification.

Si $\frac{π}{6}$ est un argument de $\frac{9}{z}$ alors un argument de $\frac{i}{z ^{2}}$ est:
$a) \frac{π}{6} b) - \frac{5 π}{6} c) \frac{5 π}{6}$
Soit $z$ un nombre complexe non nul d’argument $θ$ . Un argument de $\frac{- 1 + i 3}{z}$ est:
$a) - \frac{π}{3} + θ b) \frac{2 π}{3} + θ c) \frac{2 π}{3} - θ$
Un argument de $sin (x) + i cos (x)$ est:
$a) - x b) x c) \frac{π}{2} - xv d) \frac{π}{2} + x$
Le nombre complexe $(3 + i)^{1689}$
a/ est un réel b/ est un imaginaire pur c/ n’est ni réel ni imaginaire pur.
Le conjugué de $e^{i θ}$ est :

$a) - e^{i θ} b) e^{- i θ} c) e^{i θ}$

Exercice 7. On considère les trois nombres complexes suivants : $z_{1} = (1 - i) (1 + 2 i)$ , $z_{2} = \frac{2 + 6 i}{3 - i}$ et $z_{3} = \frac{4 i}{i - 1}$ .

Soit $M_{1}$ , $M_{2}$ et $M_{3}$ leurs images respectives dans le plan.

Donner leurs formes agébriques.
Placer $M_{1}$ , $M_{2}$ et $M_{3}$ dans le plan complexe.
Calculer $\frac{z _{3} - z _{1}}{z _{2} - z _{1}}$ . En déduire que le triangle $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{3}$ est rectangle isocèle .
Déterminer l’affixe du point $M_{4}$ telle que le quadrilatère $M_{1} M_{2} M_{4} M_{3}$ soit un carré .
Montrer que les points $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ et $M_{4}$ appartiennent à un même cercle dont on précisera les éléments .

Exercice 8. $x \in R$ . Soient les nombres complexes suivants:

$Z^{'} = - 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ et $Z = (1 - x) (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$

Calculer le module et un argument de $Z^{'}$ .
Calculer le module et un argument de $Z$ .

( On discutera selon les valeurs de $x)$

Donner pour chaque cas la forme trigonométrique et la forme algébrique de $Z$ .
Montrer que $Z^{2004}$ est un nombre réel dont on précisera le signe.
Montrer que l’équation $∣ Z ∣ = 2$ a deux solutions $Z_{1}$ et $Z_{2}$ .

Ecrire $Z_{1}$ et $Z_{2}$ forme algébrique.
Placer les points A et B d’affixes respectives $2 e^{i \frac{π}{3}}$ et $- 2 e^{i \frac{π}{3}}$ dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé $(O; u, v) .$

Vérifier que les points A, B et $O$ sont alignés.