Exercice 1.

1. Rappeler la forme algébrique d’un nombre complexe $z$.

2. Déterminer la forme algébrique les nombres complexes suivants.

   a) $z=(4+\text{i}\sqrt{3})(1-\text{i})\text{b)}z=\frac{\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{3}}\text{c)}z=\frac{-1-2\text{i}}{{\left(1+\text{i}\right)}^2}\text{d)}z=\frac{3-2\text{i}}{2+\text{i}}-\frac{\text{i}+3}{1-\text{i}}$

Exercice 2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes. On donnera les solutions sous forme algébrique.

1. $5\text{i}z-3=-2z-5\text{i}$

2. $\frac{\text{i}z+1}{z-3\text{i}}=2+\text{i}$

3. $(1-\text{i})\overline{z}=1-3\text{i}$

4. $(z-\text{i}{)}^2+(z-3\text{i}{)}^2=0$

5. $2z-\overline{z}=3-6\text{i}$

6. $(3+\text{i})z-(1-2\text{i})\overline{z}=1-2\text{i}$

Exercice 3. On considère dans le plan complexe muni du repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ d’affixes respectives $z_A=3+\text{i}$, $z_B=1+3\text{i}$ , $z_C=1-\text{i}$ et $z_D=\overline{z_A}$.

1. Placer ces points dans le repère.

2. À l’aide de nombres complexes calculer $AB$, $AC$ et $BC$.

3. En déduire la nature du triangle $ABC.$

4. Le jardin potager de M. Mbaye est formé du quadrilatère $ABCD$ qu’il voudrait clôturer par un fil barbelé en laissant une porte de $0.8$ mètre. Le rouleau de 5m de ce fil lui est vendu à 3500 FCFA. (On prendra dans cette question 1 m pour unité)

   Combien va-t-il dépenser pour clôturer son jardin.

Exercice 4. Soit $z=x+\text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des réels et $M$ son image.

Soit $Z=\frac{z+2-\text{i}}{z-\text{i}}$

1. Écrire Re$(Z)$ et Im$(Z)$ en fonction de $x$ et $y$ .

2. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tel que $Z$ soit réel.

3. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tel que $Z$ soit imaginaire pur.

4. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tel que $|Z|=1$.

5. Déterminer l’ensemble des points $M(z)$ tel que $|Z|=2$.

Exercice 5. Identifier la réponse juste et donner la justification.

1. Pour tout nombre complexe $z$ et tout réel $y$, le conjugué de $z+\text{i}y$ est égale à :

   a) $z-\text{i}y\text{b)}\overline{z}-\text{i}y\text{c)}z-\text{i}\overline{y}$

2. La partie imaginaire du complexe $z$ est égale à :

   a) $\frac{z+\overline{z}}{2}\text{b)}\frac{z-\overline{z}}{2\text{i}}\text{c)}\frac{z-\overline{z}}{2}$

3. Le module du nombre complexe $z+\text{i}$ est égal :

   a/ $\left|z\right|+1\text{b)}\sqrt{z^2+1}\text{c)}\left|\text{i}z-1\right|$

4. Le système $\{\begin{array}{l}(1-\text{i})z+\text{i}{z}^{\prime }=2-3\text{i}\\ (1+\text{i})z-(2+3\text{i})z^{\prime }=3\text{i}\end{array}$

   a pour ensemble solution dans ${\mathbb{C}}^2$

   $\text{a)}\left(2+\text{i},-\text{i}\right)\text{b)}\left(2+\text{i},\text{i}\right)\text{c)}\left(2-\text{i},-\text{i}\right)$

Exercice 6. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. L’unité graphique est le mètre.

$\bullet$ M.DIOP a un terrain de forme rectangulaire dont les dimensions $x$ et $y$ sont tels que:

$(2+3\text{i})z+(1-3\text{i})\overline{z}=6+3\text{i}\text{ouˋ}z=x+\text{i}y$

Il voudrait construire sur ce terrain une école, et pour cela il a besoin de recouvrir toute la superficie de ce terrain avec des carreaux. Le carton de carreaux coûte 14 000 FCFA et peut recouvrir une superficie de 5$m^2$.

$\bullet$ Le terrain que M.NDIAYE possède est situé en plein quartier administratif dont la forme est celle des points $M$ d’affixes $z\ne -1+2\text{i}y$ tel que $\frac{z-7+4\text{i}}{z+1-2\text{i}}$ soit un imaginaire pur. Il souhaite l’hypothéquer avec une voiture dont la valeur est estimée à 1 170 000 FCFA. Sachant que son terrain a une valeur de $15000$ F CFA le mètre carré.

Votre travail en tant qu’élève de TS2, consiste à résoudre les tâches suivantes en justifiant votre démarche par un raisonnement bien détaillé.

Tâches:

1. Déterminer une estimation du montant nécessaire pour l’achat des carreaux devant recouvrir entièrement le terrain de M.DIOP.

2. M.NDIAYE réussira- t-il à être propriétaire de cette voiture?